Calcolo Numerico

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Algoritmo 3.2 (Metodo di bisezione, implementazione definitva). function[x,i]=bisezione(f,a,b,tolx) %BISEZIONE implementa il metodo per la ricerca %della radice di una funzione %INPUT % f funzione che contiene uno zero % a,b estremi dell’intervallo di confidenza % tolx tolleranza sul valore x tale che % f(x)=0 %OUTPUT % x ascissa per la quale si verifica f(x)=0 % i numero di iterazioni dell’algoritmo if tolx
Dalla 3.1, ricaviamo facilmente il fattore di amplificazione per il metodo di bisezione. Infatti f(x) può essere inteso come la perturbazione sui dati in ingresso (tenendo conto che il dato esatto in ingresso è f(x ∗ ) = 0), e |x − x ∗ | come la perturbazione sui dati in uscita. Di conseguenza il fattore di amplificazione per la radice di una funzione è: k = 1 |f ′ (x ∗ )| Definizione 5. (Molteplicità di una radice) x ∗ è una radice di molteplicità esatta m (m ∈ R) se f (0) (x ∗ ) = f (1) (x ∗ ) = . . . = f (m−1) (x ∗ ) = 0 e f (m) (x ∗ ) = 0 La radice viene chiamata semplice se m = 1, multipla se m > 1. Teorema 5. Se x ∗ è una radice di molteplicità esatta m per f(x), allora si può scrivere così: f(x) = (x − x ∗ ) m · g(x) (3.3) f(x) = f(x ∗ )+f ′ (x ∗ )(x−x ∗ )+. . .+ f(m−1) (m − 1)! (x∗ )(x−x∗) m−1 + f(m) m! (ζx)(x−x ∗ ) m se la radice ha molteplicità m allora tutte le derivate fino alla m−esima si annullano. Quando viene usato un metodo iterativo, risulta interessante e addirittura necessario sapere se, man mano che iteriamo l’algoritmo, l’approssimazione converge alla soluzione, e con quale velocità converge. Per questo definiamo l’ errore dell’i-esima iterazione come: ei = xi − x ∗ Diremo perciò che il metodo numerico converge se (3.4) lim i→∞ ei = 0 (3.5) Definizione 6. (Ordine di convergenza) Un metodo iterativo ha ordine di convergenza p con costante asintotica c, se si verifica che Quando i ≫ 1 abbiamo che |ei+1| lim i→∞ |ei| p = c < ∞ |ei+1| ≈ c · |ei| |ei+2| ≈ c · |ei+1| ≈ c 2 · |ei| |ei+k| ≈ c k · |ei| dove c k · |ei| → 0 per k → ∞ se e solo se 0 ≤ c < 1 24
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Riccardo Sacco Fausto Saleri ed. Sp
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