Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 9
1.1.4 Automorfismi di un campo finito
Il gruppo di automorfismi di un campo finito si può facilmente determinare.
Teorema 1.14. Sia q = p h , h primo. Allora il gruppo degli automorfismi di Fq è il
gruppo ciclico di ordine h generato da
σ : x ↦→ x p .
Dimostrazione. Si è già visto come σ sia automorfismo di ogni campo finito di
caratteristica p > 0. Si noti che la i-ma potenza di σ è
σ i : x ↦→ x pi
.
L’ordine di σ è uguale a h: chiaramente σh = id, ed inoltre se fosse σi = id per i < h
si avrebbero q > pi radici del polinomio Xpi − X.
Proviamo ora che non ci sono automorfismi diversi dalle h potenze di σ. Osserviamo
che ogni automorfismo φ di Fq fissa Zp elemento per elemento, dovendo essere φ(1) = 1,
φ(1+1) = φ(1)+φ(1) = 1+1, e così via. Sia w un generatore del gruppo moltiplicativo
di Fq, e sia m(x) il suo polinomio minimo su Zp. Chiaramente il grado di m è minore o
uguale di h, il grado dell’estensione Fq : Zp (in realtà si può dimostrare che deg(m) = h).
Si osservi che φ(w) deve essere ancora una radice di Pw dato che φ ne fissa i coefficienti.
Essendo il numero di tali radici minore o uguale a h, l’asserto è dimostrato.
1.2 Spazi proiettivi sopra un campo
Sia P r (F ) uno spazio proiettivo di dimensione r sopra un campo F . L’insieme dei suoi
punti è costituito da tutte le (r + 1)-ple di elementi di F , P = (x0 : x1 : . . . : xr), non
tutti nulli, definite a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Un insieme di n
punti si dice indipendente se mai uno di tali punti è combinazione lineare dei rimanenti,
dipendente in caso contrario.
Una retta si ottiene come combinazione lineare a coefficienti in F di due punti distinti
R e Q, cioè essa è l’insieme dei punti
P = λR + µQ, λ, µ ∈ F, (λ, µ) = (0, 0) .