Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 2. CODICI LINEARI 27
• C è un [11, 6, 5]3-codice.
Esercizio 32. Sia I un insieme di n punti di P G(r, q) a 3 a 3 non allineati. Si
supponga che ogni altro punto di P G(r, q) sia allineato con due punti di I. Si dimostri
che mI = 4, a meno che n = 11, q = 3, r = 4, oppure n = 5, q = 2, r = 3.
correggerebbe t ≥ 2 errori;
Suggerimento: si consideri che se fosse mI > 4 il codice C⊥ I
si calcoli poi il raggio ricoprente di C⊥ I .
2.4.4 Disuguaglianza di Griesmer
La disuguaglianza di Singleton afferma che per un [n, k, d]q-codice vale la disuguaglianza
n ≥ d + k − 1. In questa sezione proveremo un risultato più forte, che tiene conto della
cardinalità del campo base Fq.
Adotteremo la seguente notazione: dati x = (x1, . . . , xn1) ∈ Fn1 q , y = (y1, . . . , yn2) ∈
Fn2 q poniamo
(x1 | x2) = (x1, . . . , xn1, y1, . . . , yn2) ∈ F n1+n2
q .
Lemma 2.22. Sia C un [n, k, d]q-codice con k ≥ 2. Allora esiste un [n − d, k −
1, d ′ ]q-codice con d ′ ≥ ⌈ d
q ⌉.
Dimostrazione. Il lettore può facilmente verificare che dato un qualunque vettore di
peso d è sempre possibile trovare una trasformazione monomiale che lo trasformi in
a = (1, . . . , 1, 0, 0, . . . , 0) = (1 | 0),
essendo 1 = (1, . . . , 1) ∈ Fd q, 0 = (0, . . . , 0) ∈ Fn−d q .
Pertanto, a meno di equvalenza, possiamo supporre che a ∈ C. Consideriamo ora un
matrice generatrice di C che abbia come prima riga proprio il vettore a. Scriviamo le
successive k − 1 righe di G come ci = (ui | vi), con ui ∈ Fd q, vi ∈ Fn−d q .
Sia C ′ il codice di lunghezza n − d generato da v1, . . . , vk−1.
Dimostriamo che la dimensione di C ′ è k−1. Se per assurdo i vettori v1, . . . , vk−1 fossero
linearmente indipendenti, allora esisterebbero λ1, . . . , λk−1 in Fq e non tutti nulli tali