Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

Capitolo 3
Curve algebriche piane
3.1 Definizioni
Le definizioni e le proprietà fondamentali riguardanti le curve algebriche piane reali o
complesse dovrebbero essere già note al lettore dai corsi del primo e del secondo anno.
In questa sezione tali nozioni saranno rapidamente riviste in un contesto più genererale,
ovvero quello delle curve algebriche definite su un campo qualsiasi.
Nel corso di questo capitolo per K intenderemo un campo algebricamente chiuso,
generalmente coincidente con la chiusura algebrica di un campo finito Fq.
In questo corso per curva algebrica definita su K intenderemo una classe di proporzionalità
di polinomi omogenei in tre indeterminate a coefficienti in K. Per indicare che
la curva X è rappresentata dal polinomio F (X0, X1, X2) scriveremo usualmente
X : F (X0, X1, X2) = 0 .
L’idea intuitiva di curva intesa come insieme di punti si realizza nella definizione di
supporto.
Definizione 3.1. Sia X : F (X0, X1, X2) = 0 una curva algebrica defnita su K. Il
supporto di X si definisce come l’insieme dei punti del piano proiettivo P 2 (K) le cui
coordinate omogenee (X0 : X1 : X2) soddisfano l’equazione
F (X0, X1, X2) = 0 .
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