Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 2. CODICI LINEARI 19
• non esiste un iperpiano contenente tutti i punti di P;
• d = n − max{#P ∩ H | H iperpiano di P G(k − 1, q)}.
Due [n, k, d]q-sistemi proiettivi P e P ′ sono detti equivalenti se esiste una proiettività
di P G(k − 1, q) che manda P in P ′ . Inoltre diremo che un codice lineare C ⊂ F n q è
degenere se è contenuto in un sottospazio vettoriale di equazione xi = 0.
Proposizione 2.12. Sia k ≥ 1, d ≥ 1. C’è una corrispondenza biiettiva fra le classi di
equivalenza di [n, k, d]q-codici non-degeneri e le classi di equivalenza di [n, k, d]q-sistemi
proiettivi.
Dimostrazione. Sia G una matrice generatrice di un [n, k, d]q-codice non-degenere con
d ≥ 1 e k ≥ 1. Osserviamo che ogni colonna di G è un vettore non nullo di F k q,
e pertanto definisce un punto di P G(k − 1, q) (si noti che la colonna nulla è esclusa
dalla condizione di non degenericità del codice). Sia PG l’n-insieme di tali punti, che
indicheremo con P1, . . . , Pn. Osserviamo che per definizione di matrice generatrice ogni
parola codice non nulla è di tipo
x = (< a, P1 >, . . . , < a, Pn >)
per qualche a = (a0, . . . , ak−1) ∈ F k q, a = (0, . . . , 0). Il numero di componenti non nulle
di x è pertanto il numero di punti di PG non appartenenti all’iperpiano di equazione
a0X0 + a1X1 + . . . + ak−1Xk−1 = 0 .
Da qui segue che PG è un [n, k, d]q-sistema proiettivo.
Proviamo ora che se due matrici G e G ′ generano due codici C e C ′ equivalenti, allora
PG e PG ′ sono sistemi proiettivi equivalenti. Dalla Proposizione 2.8 si ha che C e C′
sono equivalenti se e solo se
G ′ = N · G · M
per qualche matrice N invertibile k × k e per qualche matrice M monomiale n × n.
L’osservazione chiave è che PG·M = PG, ovvero le colonne di G·M definiscono lo stesso
sistema proiettivo di G. Infatti M agisce su tali colonne semplicemente permutandole
e moltiplicandole per scalari non nulli; quindi l’insieme di punti di P G(k − 1, q)
corrispondente non varia. A questo punto è immediato verificare che PG ′ è l’insieme