Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 2. CODICI LINEARI 35
In altre parole, αq(δ) è il massimo R per cui esiste una sequenza di codici lineari definiti
su Fq tale che la distanza relativa tende a δ e il tasso di informazione tende a R.
Una diversa interpretazione della funzione αq è la seguente. Sia Uq ⊂ [0, 1] 2 l’insieme
dei punti limite delle coppie (δ(C), R(C)) associate a codici lineari su Fq. La regione
Uq è limitata nel quadrato unitario dai lati del quadrato sugli assi e dal grafico della
funzione αq : [0, 1] → [0, 1].
Si può dimostrare che αq è continua, decrescente, e che per (q − 1)/q ≤ δ ≤ 1 si ha
αq(δ) = 0. Per 0 < δ < (q − 1)/q, il valore esatto di αq(δ) è sconosciuto, ma alcune
limitazioni inferiori e superiori sono state dimostrate.
La funzione entropia q-aria Hq : [0, 1 − 1
q ] → R è definita da Hq(0) = 0 e
Hq(x) = x log q(q − 1) − x log q(x) − (1 − x) log q(1 − x)
per 0 ≤ x ≤ 1 − 1.
Questa funzione è rilevante in teoria dei codici in quanto è legata
q
alla cardinalità di sfere di Hamming.
Lemma 2.32. Per ogni λ con 0 ≤ λ ≤ 1 − 1
q
si ha
1
Hq(λ) = lim
n→+∞ n logq Vq(n, ⌈λn⌉) .
Proposizione 2.33. (a) (Disuguaglianza di Plotkin asintotica) Per 0 ≤ δ ≤ (q −
1)/q,
αq(δ) ≤ 1 − q
δ .
q − 1
(b) (Disuguaglianza di Hamming asintotica) Per 0 ≤ δ ≤ 1,
δ
αq(δ) ≤ 1 − Hq .
2
(c) (Disuguaglianza di Gilbert-Varshamov asintotica) Per 0 ≤ δ ≤ (q − 1)/q,
Dimostrazione.
αq(δ) ≥ 1 − Hq(δ) .