Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

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Capitolo 1 Nozioni Preliminari 1.1 Campi Finiti 1.1.1 Esistenza e unicità In questa sezione verranno brevemente richiamate alcune nozioni sui campi finiti. Sia K un campo finito di cui denotiamo con u l’unità. Sia p il più piccolo intero positivo tale che sia u + u + . . . + u = 0 . p volte Tale intero si dice caratteristica di K. Se K è un campo non finito, allora un tale intero p può anche non esistere (è il caso ad esempio di Q, R e C), e in tal caso il campo si dirà di caratteristica zero. Teorema 1.1. Sia p la caratteristica di un campo finito K. Allora • p è un numero primo; • l’intersezione di tutti i sottocampi di K è un campo isomorfo a Zp, il campo delle classi di resto modulo p. Esercizio 1. Provare il Teorema 1.1. 1
CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 2 Esercizio 2. Provare che se p è la caratteristica di un campo F , allora per ogni elemento a di F . a + a + . . . + a p volte Sia F un campo (non necessariamente finito) di caratteristica p. Denotiamo con σ l’applicazione σ : F → F , x ↦→ x p . = 0 Esercizio 3. Provare che σ è un omomorfismo di F . L’omomorfismo σ viene detto omomorfismo di Frobenius del campo F . Come ogni omomorfismo di campi, l’omomorfismo di Frobenius è iniettivo. Chiaramente se F è finito, allora σ è automorfismo. Teorema 1.2. Ogni campo finito ha ordine p h , ove p è la caratteristica di K. Dimostrazione. Sia q la cardinalità di K. Il campo K può considerarsi come spazio vettoriale, di dimensione finita h, sul suo campo fondamentale Zp. Sia (e1, e2, . . . , eh) una base dello spazio vettoriale K su Zp. Allora ogni elemento a ∈ K può scriversi in uno ed un sol modo come combinazione lineare a coefficienti in Zp di (e1, e2, . . . , eh): a = a1e1 + . . . + aheh, ai ∈ Zp . Poiché ai varia in p modi in Zp, i = 1, 2, . . . , h, si ha allora che: q = #K = p h . Il prossimo obiettivo è stabilire, dati un primo p e un intero positivo h, se e quanti campi finiti con p h elementi esistono. A tale scopo ricordiamo la definizione di chiusura algebrica di un campo. Definizione 1.3. Sia F un campo. Un campo L contenente K si dice chiusura algebrica di F se:
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