Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 5
quattro elementi di K. Per stabilire il risultato dovremo allora dividere X 2 + X per
g(X): il resto della divisione sarà un polinomio di grado minore del grado di g(X) e
che sarà nella stessa classe di X 2 + X. Nel nostro caso,
e pertanto a1a2 = 1.
X 2 + X = 1 · g(X) + 1
Tale procedimento costruttivo si può applicare sempre, valendo il seguente risultato di
cui omettiamo la dimostrazione.
Lemma 1.7. Per ogni intero positivo h, nell’anello di polinomi Zp[X] esiste almeno
un polinomio g(X) irriducibile e di grado h.
Esercizio 4. Si costruiscano le tabelle additiva e moltiplicativa di un campo finito con
9 elementi.
Come conseguenza del fatto che la chiusura algebrica di un campo è unica a meno di
automorfismi, si ha il seguente risultato.
Teorema 1.8. Due campi finiti della stessa cardinalità sono isomorfi.
Dimostrazione. Sia K un campo finito di ordine p h , e sia L una sua chiusura algebrica.
Essendo K estensione finita di Zp, si ha che L è anche chiusura algebrica di Zp.
Osserviamo che ogni elemento non nullo a ∈ K è tale che a ph −1 = 1, in quanto p h − 1
è l’ordine del gruppo moltiplicativo di K. Pertanto
a ph
= a per ogni a ∈ K ,
e K coincide necessariamente con il campo delle radici di Xph − X in L.
Ora sia K ′ un altro campo finito di ordine ph . Come sopra, ogni sua chiusura algebrica
L ′ è anche chiusura algebrica di Zp, e K ′ coincide necessariamente con il campo delle
radici di Xph − X in L ′ .
Essendo L e L ′ chiusure algebriche dello stesso campo Zp, si ha che esiste un isomorfismo
φ : L → L ′ . Tale isomorfismo induce per restrizione un isomorfismo di K in K ′ . Infatti,
per ogni a ∈ K, si ha che φ(a) ∈ K ′ essendo
φ(a) ph
= φ(a ph
) = φ(a) .