Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 2. CODICI LINEARI 25
2.4.3 Disuguaglianza di Hamming
Definizione 2.18. In F n q , il numero di vettori la cui distanza di Hamming da una
fissata parola x è minore o uguale di r si indica con Vq(n, r).
Esercizio 29. Si provi che
Vq(n, r) =
r
i=0
n
(q − 1)
i
i .
Suggerimento: si consideri che l’insieme delle parole la cui distanza di Hamming da x
è minore o uguale di r è unione disgiunta dei sottoinsiemi di vettori la cui distanza da
x è esattamente i, con i = 0, . . . , r.
Teorema 2.19. Sia C un [n, k, d]q-codice. Sia t = ⌊ d−1⌋.
Allora
2
q n−k ≥ Vq(n, t) .
Dimostrazione. Si è notato come le sfere di centro parole codice e raggio t siano
disgiunte. Essendo tali sfere in numero di q k , necessariamente si ha
q k Vq(n, t) ≤ #F n q = q n .
Nel Teorema precedente vale l’uguaglianza se e solo se le sfere di raggio t centrate in
parole codice costituiscono una partizione dello spazio F n q . In tal caso il codice si dice
perfetto.
Possiamo definire in modo equivalente un codice perfetto. Chiamiamo raggio ricoprente
ρC di un [n, k, d]q-codice C il minimo intero positivo tale che le sfere centrate in parole
di C e raggio ρ ricoprono l’intero F n q . Chiaramente t ≤ ρC, e l’uguaglianza vale per
tutti e soli i codici perfetti.
Dimostriamo il seguente risultato relativo al calcolo di ρC a partire da un sistema
proiettivo duale associato a C.
Proposizione 2.20. Sia I = n-insieme di P G(r, q). Se I è m-completo, allora ρ C ⊥ I ≤
d − 2, essendo d = mI la minima distanza di C ⊥ I .