Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

CAPITOLO 3. CURVE ALGEBRICHE PIANE 41
pertanto X si compone delle due rette di equazioni X0 + iX1 = 0 e X0 − iX1 =
0. Geometricamente, una curva X è irriducibile se e solo se non esiste una curva
propriamente contenuta in X .
Supponiamo ora che X : F (X0, X1, X2) non sia irriducibile. Ricordiamo che
K[X0, X1, X2] è dominio a fattorizzazione unica, e scriviamo il polinomio F come
prodotto di potenze di fattori irriducibilli (a due a due non proporzionali)
F = F r1
1 · F r2
2 · · · F rs
s .
Diremo allora che le curve Xi : Fi(X0, X1, X2) = 0 sono le componenti irriducibili di
X , e che ri è la molteplicità di Xi come componente di X . Chiaramente l’insieme dei
punti di X è l’unione degli insiemi dei punti delle curve Xi.
Per praticità di calcolo, si preferisce in molte situazioni fare uso di coordinate non
omogenee per i punti e di polinomi non omogenei per le curve.
Sia ℓ∞ la retta di P 2 (K) di equazione X0 = 0. Per ogni punto P di P 2 (K) non su ℓ∞
di coordinate omogenee (X0 : X1 : X2), si ponga
X = X1
, Y = X2
X0
(ciò è possibile essendo X0 = 0). La coppia (X, Y ) è detta la coppia delle coordinate
affini di P . Scrivendo P = (X, Y ) intenderemo che P è il punto di coordinate omogenee
(1 : X : Y ). I punti di P ∈ P 2 (K) \ ℓ∞ vengono detti punti affini di P 2 (K).
Se il punto P ∈ P2 (K) \ ℓ∞ appartiene a una curva X : F (X0 : X1 : X2) = 0, si avrà
F (1, X, Y ) = F 1, X1
,
X0
X2
= F (X0, X1, X2) = 0 .
X0
Si ponga F∗(X, Y ) = F (1, X, Y ). Il polinomio F∗ si dice il disomogeneizzato di F , e
l’equazione F∗(X, Y ) = 0 si chiama equazione affine di X .
Il processo si può anche invertire. Se si ha un polinomio non omogeneo F (X, Y ) di
grado positivo d, il suo omogeneizzato F ∗ (X0, X1, X2) si definisce come
.
X0
F ∗ (X0, X1, X2) = X d
X1
0 F ,
X0
X2
X0