algebra lineare tracce d'esame - Dipartimento di Scienze Economiche

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Dunque V ⊥ é lo spazio di dimensione 2 generato dai vettori p1 = (13, 2, −3, 0) T e p2 = (2, 1, 0, 3) T ; una base
di V ⊥ é formata dai vettori p1, p2; lo spazio immagimne di LA é il complemento ortogonale a tale sottospazio,
e quindi l’intersezione degli iperpiani di equazione 13y1 + 2y2 − 3y3 = 0 e 2y1 + y2 + 3y4 = 0.
Si noti che in ogni caso risulta dim V ⊥ = 4 − dim(V ); risulta infatti:
dim V ⊥ =
1 = 4 − 3 = 4 − dim(V ) se h = 1,
2 = 4 − 2 = 4 − dim(V ) se h = 1, .
4 - Date le matrici
⎛
3
A = ⎝ −2
2
−1
⎞
−2
2 ⎠ , e
⎛
0
B = ⎝ 1
1
0
⎞
−3
3 ⎠ ,
2 2 −1
1 1 1
a) trovare la matrice trasposta di A, la matrice 2 · A − B e la matrice prodotto A · B;
b) dire se B é invertibile e trovarne l’(eventuale) matrice inversa B −1 ;
c) trovare gli autovalori e i corrispondenti autospazi di A e di B,
d) dire se tali matrici sono diagonalizzabili e (in caso affermativo) trovare una base di R 3
formata di autovettori.
Svolgimento.
Risulta:
A T ⎛
= ⎝
3
2
−2
−1
⎞
2
2 ⎠ ,
⎛
6
2 · A − B = ⎝ −5
3
−2
⎞
−1
1 ⎠ ,
⎛
A · B = ⎝
−2 2 −1
3 3 −3
0
1
1
0
⎞
−5
5 ⎠ .
1 1 −1
Per vedere se B é invertibile e per trovare la sua eventuale inversa, applichiamo l’algoritmo di Gauss Jordan
alla matrice (B, I); con uno scambio di riga e tre successivi passi di pivot si ottengono via via le matrici:
⎛
0
⎝ 1
1
0
−3
3
|
|
1
0
0
1
⎞
0
0 ⎠
1 1 1 | 0 0 1
⎛
1
⎝ 0
0
1
3
−3
|
|
0
1
1
0
⎞
0
0 ⎠
0 0 1 | −1 −1 1
⎛
1
⎝ 0
0
1
3
−3
|
|
0
1
1
0
⎞
0
0 ⎠
1 1 1 | 0 0 1
Questo dimostra che B é invertibile e che la sua inversa é la matrice
B −1 ⎛
3
= ⎝ −2
4
−3
⎞
−3
3 ⎠ .
−1 −1 1
⎛
1
⎝ 0
0
1
3
−3
|
|
0
1
1
0
⎞
0
0 ⎠
0 1 −2 | 0 −1 1
⎛
1
⎝ 0
0
1
0
0
|
|
3
−2
4
−3
⎞
−3
3 ⎠
0 0 1 | −1 −1 1
Per trovare gli autovalori di A dobbiamo risolvere l’equazione det(A − λI) = 0; ebbene risulta:
⎛
det(A − λI) = det ⎝
3 − λ
−2
2
−1 − λ
−2
2
⎞
⎠ = . . . . . . = −λ
2 2 −1 − λ
3 + λ 2 + λ − 1 = −(λ − 1) 2 (λ + 1)
Gli autovalori di A sono quindi λ1 = −1 (autovalore semplice) e λ2 = 1, (autovalore doppio).