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l’analisi matematica in italia fra le due guerre 305
Il lavoro, ora esposto, di Caccioppoli aperse la via ad una lunga serie di ricerche tendenti ad impiegare
il teorema di Hahn-Banach e le estensioni di questo nella teoria esistenziale dei problemi al contorno lineari
dell’Analisi classica.
Gli interessi di Caccioppoli si estesero alla teoria della misura e dell’integrale, a quella
delle funzioni pseudo-analitiche di una variabile complessa, alle funzioni analitiche di
due variabili complesse, al calcolo delle variazioni per gli integrali multipli, al problema
della quadratura delle superficie e, più ingenerale, della misura di varietà k-dimensionali
in uno spazio ad n dimensioni. Anche se non sempre le sue trattazioni furono completamente
esenti da imprecisioni, tanto da originare, talvolta, qualche troppo severa
critica (T. Radó, 1948) [18], le idee in esse profuse ispirarono positivamente moltissimi
matematici italiani. Il problema della quadratura delle superficie in forma parametrica
(il caso, assai più semplice, di quelle in forma ordinaria era stato completamente trattato
da Tonelli nel 1925), venne ripreso da Lamberto Cesari (1910-1990) e da Tibor Radó
(1895-1965) che, indipendentemente l’uno dall’altro, giunsero, fra il 1942 ed il 1946,
ad una soluzione esauriente di esso.
Luigi Fantappiè (1901-1956) fu un cultore di Analisi funzionale con caratteristiche
completamente diverse di quelle di Renato Caccioppoli. A Fantappiè sideve la creazione
di un’originale teoria, quella dei funzionali analitici, alla quale, forse ancora oggi, non è
stato chiesto tutto quello che essa può dare (Fantappiè, 1973) [8].
Fantappiè non si servì della geometria degli spazi funzionali dove sono definiti i
suoi funzionali, ma potè costruire la sua teoria per una via puramente algoritmica,
sfruttando unicamente il fatto che ciascuno di essi si considera come definito su classi
di funzioni analitiche della variabile complessa z e che, inoltre, se la funzione, variabile
indipendente, dipende analiticamente, oltre che da z, daunparametro complesso α,
allora il funzionale è, per definizione, funzione analitica di α. Solo in seguito venne
notato che alle classi funzionali dove vengono definiti i funzionali di Fantappiè può
darsi una struttura di spazio topologico T 0 .
Particolarmente importante è la teoria nel caso dei funzionali lineari. Per questi
Fantappiè fornì unteorema di rappresentazione mediante il quale, poi, riuscì adedificare
un rigoroso calcolo simbolico per una vasta classe di operatori lineari, rappresentando,
sotto opportune ipotesi, l’operatore come un funzionale analitico della sua funzione
caratteristica. Estese poi, seppure parzialmente, la teoria ai funzionali analitici dipendenti
da funzioni analitiche di più variabili complesse per le quali riuscì astabilire qualche
risultato di per se stesso interessante.
Sia K un insieme chiuso della sfera completa Σ e sia A la classe delle funzioni verificanti le seguenti
condizioni: 1) ogni f (z) diA è olomorfa in un aperto A contenente K ;2)seA ∋∞riesce f (∞) =0. È
ovvio che A è uno spazio lineare complesso. Sia F (f )unfunzionale definito in A tale che F (f 1 )=F (f 2 ) se,
essendo f k definita in A k (k =1; 2), è f 1 ≡ f 2 in A 1 ∩ A 2 .SeA ⊃ K e f (z; α) è definita per z ∈ A e α ∈ Ω
ed è olomorfa rispetto a z e α, F [f (z; α)] è funzione olomorfa di α in Ω. F dicesi allora un funzionale
analitico definito in A. Se sihaF (af 1 + bf 2 )=aF (f 1 )+bF (f 2 ), allora F èunfunzionale analitico lineare.
Sia K ⊂ A (A aperto) e sia D un aperto tale che K ⊂ D, D ⊂ A. Lafrontiera C di D sia costituita da una o
più curve regolari. Per α ∈ C la funzione (α − z) −1 pensata come funzione di z appartiene ad A. Siponga