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l’analisi matematica in italia fra le due guerre 285
un parametro complesso. Porremo, brevemente,
(2.12)
1
Ku = K (s; t)u(t)dy;
1
〈u; v〉 = u(s)v(s)ds :
0
0
L’equazione (2.11) può considerarsi ottenuta, per passaggio dal finito all’infinito, dal sistema algebrico
(2.13)
m
us + λ Kst ut = fs t = 0
(s =0; 1;::: ;m);
u ≡ (u0 ;::: ;um )edf ≡ (f0 ;::: ;fm ) sono ora (m + 1)-vettori complessi e {Kst } una matrice complessa
(m +1)× (m + 1). Anche in questo caso poniamo
(2.14)
L’equazione
m
Ku = Kst ut ;
s = 0
m
〈u; v〉 = usvs :
s = 0
(2.15) u + λKu = f;
sia che interpreti la (2.11) oppure la (2.13), ha come soluzione formale quella ottenuta con il classico metodo
delle approssimazioni successive
(2.16) u = f − λKf + λ 2 K 2 f + ::: +(−1) n λ n K n f + :::
La (2.16) fornisce un’effettiva soluzione di (2.15) se riesce |λ| < ρ, dove ρ = lim n→∞ K n − 1 n ed è
K n = sup{〈K n u; K n u〉} 1 2 per 〈u; u〉 =1
(con a si indica il coniugato del numero complesso a).
Se riesce ρ =+ ∞, secioè limn→∞ K n 1 n =0,la(2.16) èingrado di fornire l’unica soluzione della
(2.15), qualunque sia λ. Ciòsiverifica allorchésiha, per la (2.11), K (s; t) ≡ 0 per s ≤ t e contestualmente,
per la (2.13), Kst =0per s ≤ t. La(2.11) può scriversi in tal caso al modo seguente
s
u(s) +λ K (s; t)u(t)dt = f (t) :
0
Ed è questa la classica equazione integrale di Volterra di seconda specie, giàdanoi prima considerata. Fino a
questo punto vi è perfetta analogia fra la (2.13) e la (2.11) e funziona il principio del passaggio dal finito
all’infinito.
La situazione èpiùcomplicata se la (2.11) non si riduce ad un’equazione di Volterra e se è |λ| ≥ρ.
In tal caso, per quanto concerne la (2.13), bisogna distinguere le due possibilità: 1) λ non è autovalore
del sistema omogeneo associato a (2.13); 2) λ lo è. Sia Vλ il codominio della trasformazione I + λK , cioè
la varietà lineare descritta da u + λKu quando u descrive lo spazio complesso C m + 1 . Nel caso 1) si ha
Vλ = C m + 1 e quindi il sistema (2.13) ha una ed una sola soluzione, qualunque sia f . Nel caso 2) la varietà
Vλ è caratterizzata da un certo numero p di condizioni del tipo: 〈v; wh 〉 =0,v ∈ Vλ , h =1;::: ;p. È
subito visto che w1 ;::: ;wp costituiscono un sistema completo di autovettori dell’equazione omogenea
w + λK ∗ w =0;
ove K ∗ èlamatrice trasposta di K . Pertanto nel caso 2) l’equazione (2.13) ammette soluzione se e solo se
f verifica le p condizioni: 〈f; wh 〉 =0.
L’estensione di questi risultati all’equazione (2.11) non può farsi con il metodo di Volterra del passaggio
dal finito all’infinito. In effetti, interpretando K ∗ w al modo seguente
K ∗ 1
w = K (t; s)w(t)dt ;
0
sarebbe possibile acquisire i risultati, relativi ai due casi 1) e 2), considerati nel caso finito, se si sapesse che
il codominio Vλ di I + λK , ove K è ora definito da (2.12), è una varietà chiusa di L 2 (0; 1) (tale, cioè, che