σηματα και συστηματα-i

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ
Μοναδιαία βηµατική συνάρτηση (Unit Step Function)
Ut () = 1, t≥
0
Ut () = 0, t<
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4 -2 2 4
Κρουστική Συνάρτηση δέλτα του Dirac (γενικευµένη συνάρτηση)
δ () t = 0, t ≠ 0
ε
∫
−ε
δ() tdt= 1, ε > 0
1
0.5
-2 -1 1 2
-0.5
-1
1
δ( at) = δ( t), για α= −1⇒
δ(-t)=δ(t) Αρτια Συνάρτηση
a
1

du()
t
δ () t =
dt
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ
u(t+2)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-5 -4 -3 -2 -1 1
u(t-2)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4 -2 2 4
δ ( t + 2)
1
0.5
-4 -2 2 4
-0.5
-1
2

δ ( t + 2)
1
0.5
-4 -2 2 4
-0.5
-1
Μοναδιαία Συνάρτηση Ράµπας
τ
ut ( + )
2
Τετραγωνικός Παλµός
τ τ
Pτ
() t = 1, − ≤ t <
2 2
P() t = 0, αλλού
τ
3

1
0.5
-4 -2 2 4
-0.5
-1
1
ut ( + τ /2)
-τ/2
τ/2
−ut
( −τ
/2)
1
ut ( τ τ
+ ) −ut ( − ) = p τ
2 2
4

ΓΝΩΣΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ∆Η ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ
yt () = e − at
yt () = sinωt
1
0.5
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-0.5
-1
ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER
jωt
e = Cosωt + j sinωt
5

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΗΜΑΤΟΣ
2
1
Xt () = xtdt () (1)
t − t
∫
t
2 1 t
1
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟ∆Ο Τ
T
1
X(t)= xtdt ( ) (2)
T
∫
0
ΕΝΕΡΓΟΣ ΤΙΜΗ(RMS)
t
2
1
1 2 2
X(t)=[ x ( t) dt] (3)
t − t
∫
2 1 t
1
Παράδειγµα
A
Ενεργ ός Τ ιµ ή του x(t)=Asinωt απο την (3) έχουµε x(t)=
2
Κάθε σήµα (συνάρτηση του χρόνου) µπορεί να γραφτεί σαν το άθροισµα ενός άρτιου
και ενός περιτού σήµατος.
x() t = xeven
() t + xodd
() t
1
xeven() t = [ x() t + x( −t)]
2
1
xodd
() t = [ x() t −x( −t)]
2
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΗΣ δ(t):
∫
f() t δ ( t− t ) = f( t )
0 0
Για
t=0 έχουµε f(t)δ(t)=f(0)
∫
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ: Υπάρχει σταθερά Τ (περίοδος) για την οποία ισχύει:
xt ( + Τ ) = xt ( ), −∞< t

ΣΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΟΛΑ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ):
∫
E = x 2 () t dt
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ∆ΟΥ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΕΞΟ∆ΟΥ
Αδιαφανές
Μαύρο κουτί
(Black Box)
X(t)
F
Y(t)
ΣΧΕΣΗ ΕΙΣΟ∆ΟΥ-ΕΞΟ∆ΟΥ
{ }
Yt () = F xt ()
Γενικώς,η τιµή της εξόδου την χρονική στιγµή t εξαρτάται απο όλες τις τιµές της
εισόδου x(t) µέχρι και την χρονική στιγµή t και όχι µόνο απο την τιµή της εισόδου
x(t) την χρονική στιγµή t.
AITIOTHTA
Ενα σύστηµα Yt () F{ xt ()}
t
0
, η έξοδος
0
= λέγεται αιτιατό (φυσικό) εαν, για κάθε χρονική στιγµή
yt ( ) του συστήµατος εξαρτάται µόνο απο την είσοδο x(t) µέχρι την
χρονική στιγµή t 0
.
7

∆ηλαδή η έξοδος δεν εξαρτάται απο µελλοντικές τιµές της εισόδου. Όλα τα φυσικά
συστήµατα είναι αιτιατά. Μη-αιτιατά δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσµο, µπορούν
όµως να προσεγγιστούν µε χρονο-καθυστερήσεις.
Παράδειγµα
Το σύστηµα yt () = xt ( − 1) είναι αιτιατό
Το σύστηµα yt () = xt ( + 1) είναι µη αιτιατό.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ)
Ενα σύστηµα yt () = F{ xt ()} αν για κάθε t 1
,η έξοδος στην είσοδο x( t− t1)
είναι η
yt ( − t1)
. ∆ηλαδή F{( x t− t1)}
= yt ( − t1)
.
Χρονική ολίσθηση στο σήµα εισόδου, οδηγεί σε αντίστοιχη ολίσθηση στο σήµα
εξόδου.
8

Αδιαφανές
Μαύρο κουτί
(Black Box)
X(t)
F
Y(t)
x()
t
Yt ()
x( t−
t )
1
Yt ( − t)
1
9

Ένα αιτιατό σύστηµα yt () = F{ xt ()} δεν έχει µνήµη αν για κάθε t 1
η έξοδος yt (
1)
εξαρτάται µόνο απο την τιµή της εισόδου x( t
1)
την χρονική στιγµή t 1
. Το σύστηµα
αυτό ονοµάζεται και στιγµιαίο.
Π.χ. το σύστηµα yt () = kxt () δεν έχει µνήµη. Είναι ενισχυτής για κ>1 και
εξασθενητής για κ

ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ(IMPULSE RESPONSE)
Αδιαφανές
Μαύρο κουτί
(Black Box)
X(t)
F
Y(t)
Έστω το σύστηµα F το οποίο είναι γραµµικό και χρονοαµετάβλητο. Κρουστική
απόκριση ονοµάζεται η έξοδος του συστήµατος για είσοδο x() t = δ () t , την
συνάρτηση Dirac.
Αδιαφανές
Μαύρο κουτί
(Black Box)
δ(t)
F
h(t)
Κρουστική
απόκριση
ht () = F{ δ ()} t
Αν γράψουµε την x() t = ∫ x( τ ) δ( t−τ)
dτ
σύµφωνα µε την ιδιοτητα δειγµατοληψίας
της συνάρτησης δ τότε
∫ ∫ ∫ δηλαδή
yt () = F{ xt ()} = F{ x( τ ) δ( t− τ) dτ} = x( τ) F{ δ( t− τ} dτ = x( τ) ht ( −τ)
dτ
11

∫
yt () = x( τ ) ht ( −τ)
dτ
ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
(CONVOLUTION INTEGRAL)
∫
yt () = x( τ ) ht ( −τ)
dτ
Εποµένως, εαν γνωρίζουµε την κρουστική απόκτριση ενός γραµµικούχρονοαµετάβλητου
συστήµατος,µπορούµε να υπολογίσουµε την έξοδο του για
οποιαδήποτε είσοδο χ(t) µεσω του συνελικτικού ολοκληρώµατος.
ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUTION)
yt () = xt ()* ht () = x( τ ) ht ( −τ)
dτ
∫
Παράδειγµα
−at
Να υπολογιστεί η συνέλιξη yt () = xt ()* ht () οταν xt () = e ut (), a> 0και
ht () = ut ().u(t) είναι η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση(unit step function)
ut ( − τ ), t<
0
t
1
τ
ut ( − τ ), t>
0
1
t
τ
1
t
τ
Το γινόµενο µέσα στο ολοκλήρωµα είναι ≠ 0 µόνο για 0 < τ < tt , > 0
Για t < 0 εχουµε x( τ ) h( t− τ ) = 0
12

Για t > 0 έχουµε
−ατ
x( τ) ht ( − τ) = e ,0< τ < t
x( τ ) h( t− τ) = 0, αλλου
t
−aτ
1 −aτ
t 1 −at
Αρα για t>0 εχουµε yt () = ∫ e dτ
= [ − e ]
0
= (1 −e ) ut ()
α a
0
1/a
t
Λύση:
1 −at
yt () = (1 − e ) ut ()
a
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
∫
yt () = x( τ ) ht ( −τ)
dτ
Γενικά ισχύει f1()* t f2() t = f1( τ ) f2( t−τ)
dτ
• Αντιµεταθετική f1()* t f2() t = f2()* t f1()
t
• Προσεταιριστική [ f1()* t f2()]* t f3() t = f1()*[ t f2()* t f3()]
t
∫
• Συνέλιξη µε δ(t) δίνει την
f(t): f ( t)* δ( t) = δ( t)* f( t) = δ( τ) f( t− τ) dτ
= f( t)
∫
13

• Ιδιότητα δειγµατοληψίας της δ του Dirac: f () tdt ( − t0) dt=
f( t0)
• Επιµεριστική ιδιότητα: f1()*[ t f2() t + f3()] t = f1()* t f2() t + f1()* t f3()
t
∫
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
a
f t a n t b n t
∞
0
() = + ∑[ ncos ω0 +
nsin ω0
]
2 n=
1
2 π
ω0 = sπ
f0
= , T η περιοδος του σηµατος
T
ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ!!!
Οι συντελεστες a , b υπολογίζονται σε µία περίοδο:
n
a
0
n
t1
+ T
2
=
T
∫
t1
t1
+ T
t1
t1
+ T
f()
t dt
2
an
= f()cos
t ω
n 0
0tdt
>
T
∫
2
bn
= f()sin
t ω0tdt
T
∫
t1
Βιβλίο Fourier:”Théorie analytique de la chaleur” 1822. Μετάδοση Θερµότητας
Μαθηµατικες συνθήκες για σύγκλιση (Ικανές αλλα όχι απαραίτητες) Dirichlet
(1829):
1.
t1
+ T
∫
t1
f()
t dt < ∞ ,πεπερασµένο
2. Πεπερασµένο πλήθος min-max και ασυνεχειών σε µια περίοδο
Στις ασυνέχειες το ανάπτυγµα Fourier συγκλίνει στο 1 − +
f ( t0) = [ f( t0) + f( t0)]
2
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ FOURIER ΜΟΝΟ ΜΕ COS KAI ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
∞
∑
f() t = A + A cos( nω
t+
θ )
0 n
0
n=
1
a
A A a b
0
2 2 −1
n
0
= ,
n
=
n
+
n
, θn
=− tan ( )
2
an
n
b
14

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΜΙΓΑ∆ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
∞
f () t = ∑ cne ω
n=−∞
in 0t
t1
+ T
1
−inω0t
cn
= f()
t e dt
T
∫
t1
Οι συναρτήσεις
inω0t
e
Φ
n()
t = αποτελούν πλήρη βάση συναρτήσεων
T
∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ:
ΣΧΕΣΕΙΣ:
Parseval: Ενέργεια σήµατος = Ε =
t1
∫
t1
Ta T T
f tdt a b TA A T c
2 ∞ ∞ ∞
2 0
2 2 2 2 2
() = + ∑( n
+
n)
= + ∑ n
= ∑ n
4 2 n= 1 2 n= 1
n=−∞
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
Ανάπτυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθετική Fourier):
∞
∑
St () = δτ ( −kT)
k =−∞
1 1 1
c s t e dt e
T T T
T
2 −inω0t −inω0 ()
0
n
= ∫ T
= =
−
2
∫
∞
∆ιότι f () t δ ( t− t0) dt = f( t0)
−∞
∞
1
st () = ∑ e
T
n=−∞
inω0t
15

S(t)
t
-2T -T
T
2T
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
Ανάπτυξη σειράς παλµών σε σειρά Fourier (εκθετική)
τ
Pτ
() t = 1, t ≤
2
τ
Pτ
() t = 0, t >
2
−Τ
τ
−
2
τ
2
Τ
st () = p( t−kT)
k =−∞
T
τ τ τ
jn
2 2 0 jn
in
0
0t
τ
− ω ω
− ω
2 2
−inω0t −inω0t
e e − e
nω 2
0τ
∫ () ∫
[ ]
τ
[ ] sin( )
T
τ
− ω −
0 2
− ω0 ω0
2
−
−
2 2
1 1 1 1 2
cn
= s t e dt = e dt = = =
T T T jn T jn Tn
c
n
∞
∑
τ
τ
sin( nω
)
τ
τ
= =
T τ
nω
T
0
2
nωτ
2
0
2 0
sin c( )
Αφού ισχύουν:
sin x
sin cx ( ) =
x
n ωτ 0
n2
= π τ = nπ( τ )
2 2T
T
16

c
Εποµένως:
n
τ τ
= ( )sin c( nπ
( ))
T Τ
Και το ανάπτυγµα Fourier της παλµοσειράς είναι:
τ nπτ
st = ∑ c e
T T
∞
0
() sin [ ] in ω t
n=−∞
ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ
∞
τ τ nπτ
s() t = + 2 ∑ sin c( )cosnω
0t
T T T
n=
1
DC ορος(σταθερός)
n-στή αρµονική
Ισχύς του σήµατος της παλµοσειράς s(t):
τ
τ
2
E 1
2 2 1
P ∫ τ s () t dt dt
−
∫
2
τ
−
2
τ
= = = =
T T T T
17

τ
Ισχυς του DC όρου: P0 = c0 = ( )
T
2 2
2 2 2 τ 2 2 nπτ
a
Ισχύς της n-στής αρµονικής: Pn = cn + c−n = 2 cn
= 2( ) sin c ( ) =
T T 2
(RMS τιµή ηµιτονοειδούς σήµατος =
2
a
n )
2
ΠΟΣΟΣΤΟ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ:
p
n
p
τ nπτ
= = i c
P T T
n
2
100 % 100 2( )sin ( )
Π.χ. γιά duty cycle = 20%=|t/T=1/5 έχουµε
τ
p = 100( ) = 20%
0
Τ
1 nπ
nπ
pn
= i c = c
5 2 2
2 π
p1
= 40sin c ( ) = 35%
5
2 2π
p2
= 40sin c ( ) = 23%
5
2 3π
p3
= 40sin c ( ) = 10%
5
2 2
100 2( )sin ( ) 40sin ( )
Για
η
n= 5k → p5k
= 0, k = 1, 2,3,..... H 5 ,10 η , κτλ αρµονικές είναι µηδενικές
p + p + p + p = 88% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους=DC όρος + 3 αρµονικές
0 1 2 3
τ 1
Για Duty cycle=50%, = έχουµε:
T 2
18

1
p0
= 100 = 50%
2
2 nπ
pn
= 100sin c ( )
2
2 π
p1
= 100sin c ( ) = 40,5%
2
2 2π
p2
= 100sin c ( ) = 0
2
2 3π
p3
= 100sin c ( ) = 4,5%
2
p + p + p + p = 95% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους
0 1 2 3
Οι p
2k
= 0 , άρτιες αρµονικές είναι µηδενικές.
ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Πλουσιότερο φάσµα για µικρό duty cycle.
2
sin c
∞
∑
st () = A+ Acos( nω
t+
θ )
0 n
0
n=
1
τ 1
A0
= = = 0.2
T 5
n
19

A n
0.37
0.3 0.21
τ nπτ
An
= 2 sin c( ), n=
1,2,3,...
T T
1 π
A1
= 2 sin c( ) = 0.37
5 5
1 2π
A2
= 2 sin c( ) = 0.3
5 5
1 3π
A3
= 2 sin c( ) = 0.21
5 5
1 4π
A1
= 2 sin c( ) = 0.09
5 5
A = 0
5
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3
ΑΠΛΗ ΑΝΟΡΘΩΣΗ-ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΗΜΙΑΝΟΡΘΩΜΕΝΗΣ ΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ
FOURIER(AC->DC)
20

D1: Ιδανική δίοδος
V () t = Acos( ω t), u () t > 0
L
2
0 2
V () t = 0, u () t ≤ 0
L
T
2
1
−inω0t
cn
= Acosω0te dt
T
∫
T
−
2
e
cos( ω t)
=
0
+ e
2
iω0t −iω0t
T T T
2 4 4
−i( n−1) ω0t T
− i( n+
1) ω0t
T
A iω0t −inω0t −iω0t inω0t A −i( n−1) ω 1
0t − i( n+
1) ω0t
A e A e
4 4
n
[ ] [ ]
T
[ ]
T
2T ∫
T 2T ∫
T 2T ∫
T
2 T −j( n−1) ω −
0 4
2 T − j( n+
1) ω −
0 4
− − −
2 4 4
c = e e + e e dt = e dt + e dt = + =
T T T T
T T
−i( n−1) ω0 i( n−1) ω0 − i( n+ 1) ω0 i( n+ 1) ω0
4 4 4 4 sin[( n− 1) ω0 ] sin[( n+
1) ω0
]
A e −e A e −e A
= [ ] [ ]
4 A
+ = +
4
2 T −j( n−1) ω 2 T − j( n+ 1) ω T ( n− 1) ω T ( n+
1) ω
2π
ω0T
= T = 2π
T
0 0 0 0
εποµένως:
c
n
π π
sin( n− 1) sin( n+
1)
A
= [ 2 + 2]
2π
n− 1 n+
1
21

ΑΣΚΗΣΗ. ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΟΥ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ
Σε µία περίοδο
T
f () t = −A, − < t < 0
2
T
f() t = A,0< t <
2
Έχουµε:
T
T
2 0
2
1 1
a0
= f() t dt = [ − Adt+ Adt] = 0
T T
∫ ∫ ∫ εποµένως το τετραγωνικό σήµα δεν έχει
T
T
−
−
2 2
0
συνεχή (DC) συνιστώσα (Μέσος όρος µηδέν).
T
T
2 0
2
2 2
an
= f ( t) cos nω tdt = [ − Acos nω tdt + Acos nω
tdt] = 0∀n
T
∫ ∫ ∫
0 0 0
T
T T
−
−
0
2 2
Η σειρά δεν έχει συνηµιτονοειδείς όρους λόγω περιττής συµµετρίας( f ( − t) =− f( t)
).
T
T
2 0
2
T
A cos nω0t 0 cos nω0t
2
∫ ω0 ∫ ω0 ∫ ω0 T
0
T
T
ω −
0
0 2
ω0
−
−
2 2
2 2 2
bn
= f ( t)sin n tdt = [ − Asin n tdt + Asin n tdt] = {[ ] + [ − ] } =
T T T n n
0, n = αρτιο
A
2A
= (cos 0 −cos( nπ) − cos( nπ) + cos 0) = [1 − cos( nπ)] = 4 A
nπ nπ , n = περιττ ό
nπ
εποµένως:
∞
2A 1−
cos( nπ
) 4A
1 1
f( t) = ∑ sin nω0t = [sin nω0t+ sin 3ω0t+ sin 5 ω0t+
....]
π n=
1 n
π 3 5
Για
n=2k+1:
∞
4A
1
f() t = ∑ sin(2k+
1) ω0t
π 2k
+ 1
k = 0
∞
= A0
∑ n
ω0
n=
1
2 2
n
=
n
+
n
=
n
f()
t
A a b b
θ
n=
+ A cos( n t+
θ )
b
− tan ( ) =−tan ( ∞ ) =−90
a
−1 n
−1 0
n
n
22

A n
1,27A
0.42A
0.25A 0.18A
n
1 3 5 7
1 3 5 7
0
−90
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω οι ορθοκανονικές συναρτήσεις φ () t στο διάστηµα [a,b]:
i
b
∫
a
0, i ≠
φi() t φj()
t dt =
1, i =
j
j
Έστω η προσέγγιση της συνάρτησης f(t) από:
N
f
() t = ∑ aiφi()
t
i=
0
Να επιλεγούν οι συντελεστές a
i
του παραπάνω αναπτύγµατος ώστε να
23

N
2 2
ελαχιστοποιείται το RMS σφάλµα: S = [ f( t) − f
( t)] dt = [ f( t) −∑ aiφi( t)] dt(1)
∫
a
∫
a
i=
0
Λύση
∂S
Θα πρέπει = 0, k = 0,1,2,..., N
∂ak
Χρησιµοποιούµε το k για να µην µπερδευτούµε µε την µεταβλητή i του αθροίσµατος.
Παραγωγίζουµε την (1) και έχουµε:
∂S
∂a
k
b
∫
N
= 2 [ f ( t) − aφ
( t)] φ ( t) dt = 0, k = 0,1,2,3,..., N
a
∑
i=
0
i i k
Ή ισοδύναµα:
b
∫ ∑ ∫
a
N
f () t φ () t dt = a φ () t φ () t dt = a
b
k i i k k
i=
0 a
b
Αφού a φ () t φ () t dt ≠ 0 µόνο για i=k
∫
a
i
k
Το άθροισµα στα δεξιά έχει έναν µόνο µη µηδενικό όρο, τον a
k
.Έτσι προκύπτει οτι
b
οι συντελεστές ∫ f () t φk
() t dt ελαχιστοποιούν το RMS σφάλµα της προσέγγισης.
a
• Γενικευµένη ανάλυση FOURIER σε βάση ορθογώνιων συναρτήσεων
• Ειδική περίπτωση η τριγωνοµετρική σειρά FOURIER περιοδικών
συναρτήσεων σε ηµίτονα και συνηµίτονα µε αρµονικό λόγο
συχνοτήτων. ω , 1,2,3,4,....
n
= kω0 k = ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους
2π
συχνότητας ω0 = = 2π
f0
T
24

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ BONUS:
ΑΣΚΗΣΗ 1.Ορθογωνικότητα των συναρτήσεων 1, cos nω0t,
sinω 0t
στο διάστηµα [0,1]
Να αποδειχθούν οι σχέσεις:
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
0
sin
cos
ω
m
0tsin
n
0tdt T m n
ω
m
0tcos
n
0tdt = T m n
0 0
0
ω
ω
0, m≠
n
=
, =
2
0, m≠
n
,
2
sin mω
tcos nω
tdt = 0, ∀m,
n
sin mω
tdt = 0, ∀m
0, n ≠ 0
cos nω0tdt
=
Tn , = 0
=
Άρτια συνάρτηση: µόνο συνηµιτονοειδείς όρους και χρονικά αµετάβλητες.
Περιττή συνάρτηση:µόνο ηµιτονοειδείς όρους.
ΑΣΚΗΣΗ 2. Υπολογίστε τις τιµές των ολοκληρωµάτων:
a
∫
−a
a
∫
−a
4
2
( 2)[ δ( ) 3 δ( 2)]
∫
−4
4
2
t [ δ( t) δ( t 2) δ( t 5)] dt
∫
−4
δ()cos
t ωtdt
δ()sin
t ωtdt
t + t + t−
dt
+ + + +
ΑΣΚΗΣΗ 3. Αναπτύξτε σε τριγωνοµετρική σειρά FOURIER:
T
−A, − < t < 0
1. Το τετραγωνικό σήµα: f()
t =
2
T
A,0< t <
2
t T
A(1+ 2 ), − ≤ t < 0
2. Το τριγωνικό σήµα: f()
t =
T 2
t T
A(1−
2 ), 0 < t ≤
T 2
25

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
∞
∫
−iωt
F( ω) = f( t) e dt = FT[ f( t)]
−∞
Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier:
+∞
1
iωt
−1
f() t = F( ω) e dω = FT [ F( ω)]
2π
∫
−∞
Ιδιότητες:
Αν f(t) πραγµατική συνάρτηση του χρόνου τότε:
F( ω) =R ( ω) + jI ( ω) = f( t)cos ωtdt−
j f( t)sinωtdt
f() t = f () t + f () t
αρτια
∞
∫
R ( ω) = f ( t)cos ωtdt
=R ( ω)
αρτια
−∞
+∞
∫
I ( ω) =− f ( t)sin ωtdt
=I ( ω)
−∞
περιττ ή
περιττη
Οι άρτιες συναρτήσεις έχουνε πραγµατικό FT και οι περιττές φανταστικό.
∞
∫
−∞
Το πραγµατικό µέρος του FT είναι άρτια συνάρτηση ενώ το φανταστικό µέρος είναι
περιττή συνάρτηση του ω (αυτό ισχύει γενικά για µιγαδικό F.T.).
αρτ
περ
∞
∫
−∞
Παράδειγµα
−at
f() t = e u(), t a>
0
∞ − ( a+
jω
) t
−at − jωt − ( a+ jω) t − ( a+ jω)
t e
∞
0
( ω)
0
1
F( ω) = ∫e u( t) e dt = ∫e dt = ∫e
dt = [ ] =
− a+ j a+
jω
1 a−
jω
a ω
F( ω) = = = − j =R ( ω) + jI( ω)
2 2 2 2 2 2
a+ jω ω + a ω + a ω + a
F( ω) = A( ω)
e
jφω
( )
1
Α ( ω) = , Φ ( ω) =−tan
2 2
ω + a
−1
ω
a
26

e
−at
u()
t
ut ()
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός FOURIER της συνάρτησης δ-Dirac:
∫
FT t t e dt e e
− jωt − jωt − jω0
{ δ( )} = δ( ) = t=
0
= = 1
Αφού ισχύει οτι ∫ f () t δ () t dt = f(0)
(ιδιότητα δειγµατοληψίας), εποµένως
FT{ δ ( t)} = 1.
δ () t
FT
1
27

Να υπολογιστεί ο F.T. της συνάρτησης τετραγωνικού παλµού:
Λύση
T T
1, − < t <
Pτ
() t = 2 2
0, Αλλού
1
− T /2 T /2
T T T
T
2 T
jω
− jω
− jωt
2 2
sin( ω )
−iωt
− jωt
e e − e 2 T
2
( ) ( ) [ ] sin( ) 2
T
Pτ
ω = ∫Pτ
t e dt = ∫ e dt =
T
= = ω = T = Tsin c( ω )
T − jω −
2
jω ω 2 T
ω
2
−
2
2
sin x
sin cx ( ) =
x
∆ίπλευρος εκθετικός παλµός
−at
e , t ≥ 0
xt () =
at
e , t < 0
0 ∞ ( a−jω) t −( a−jω)
t
at − jωt −at − jωt e 0 e
∞
∫ ∫
−∞
0
−∞
0
1 1
X( ω) = e e dt+ e e dt = [ ] + [ ] = + =
( a− jω) ( a− jω) ( a− jω) ( a+
jω)
( a+ jω) + ( a−
jω) 2a
= =
2 2 2 2
a + ω a + ω
28

Γραµµική ιδιότητα
FT
af () t + bf () t ↔ aF ( ω) + bF ( ω)
1 2 1 2
Συµµετρική ιδιότητα
FT
Αν f() t ↔ F( ω)
FT
Τότε Ft () ↔ 2 π f( − ω)
Απόδειξη
∞
1
jωt
f () t = F( ω)
e dω
2π
∫
−∞
∞
∫
jωt
2 π f ( t) = F( ω)
e dω
−∞
− jωt
Εαν θέσουµε t =− t τότε 2 π f ( − t) = ∫ F( ω)
e dω
και όπου t
∞
−∞
← ω και όπου ω ← t τότε έχουµε
∞
∫
− jωt
2 π f ( − ω) = Fte ( ) dt=
FT{ f( t)}
−∞
Μετατόπιση στον χρόνο
FT
Αν f() t ↔ F( ω)
j t0
Τότε f( t−t ) ↔ F( ω)
e − ω
0
Απόδειξη
∞
∫
− jωt
FT[ f ( t − t ] = f ( t −t ) e dt
0) 0
−∞
Θέτουµε t− t0
= ξ ,αλλαγή µεταβλητής οπότε t = t0
+ ξ και dt = dξ
∞
∞
− jωξ
− jωt0 − jωt0 − jωξ
− jωt0
[ ( −
0)] = ∫ ( ξ ) ξ = ∫ ( ξ) ξ = ( ω)
−∞
−∞
FT f t t f e e d e f e d e F
29

F( ω) = A( ω)
e
jφω
( )
j φω−ωt0
Επειδή f( t−t ) ↔ A( ω)
e
0
FT
( ( ) )
Μετατόπιση στον χρόνο ↔ Αλλαγή φάσης µόνο,το πλάτος παραµένει ως έχει
Μετατόπιση στη συχνότητα-∆ιαµόρφωση (Modulation)
FT
f() t ↔ F( ω)
FT
jω0t
() ↔F( ω − ω0)
f t e
Απόδειξη
∞
∞
− jω0t jω0t − j( ω−ω0)
t
{ () } = ∫ () = ∫ () = ( ω −ω0)
−∞
−∞
FT f t e f t e dt f t e dt F
∞
jω0t − jω0t
e + e − jωt
FT[ x( t)cos ω0t] = ∫ x( t)
e dt
2
−∞
1 1
xt ()cos ω0t↔ X( ω− ω0) + Χ ( ω+
ω0)
2 2
Κλιµάκωση στον χρόνο (µικρή διάρκεια στον χρόνο,µεγάλη στη συχνότητα)
1 ω
f( at) ↔ F( )
a α
Προκύπτει ότι για a = − 1 είναι f( −t) ↔F( − ω)
FT
Συνέλιξη στον χρόνο
Αν
FT
f () t ↔ F( ω)
1 1
FT
f () t ↔ F ( ω)
2 2
FT
Τότε f t = f1 t f2 t ↔ F = F1 F2
() ()* () ( ω) ( ω) ( ω)
30

Απόδειξη
∞ ∞ ∞
− jωt
∫ 1 2 ∫ ∫ 1 2
−∞ −∞ −∞
− jωt
FT[ f ( t)] = [ f ( t)* f ( t)] e dt = [ f ( τ) f ( t − τ) dτ]
e dt =
Αλλάζουµε την σειρά ολοκλήρωσης t µε τ:
∞ ∞ ∞ ∞
− jωt − jωτ − jωτ
∫ 1 ∫ 2
− = ∫ 1 2
=
2 ∫ 1
=
1
-∞ −∞ −∞ −∞
= f ( τ )[ f ( t τ) e dt] dτ f ( τ) F ( ω) e dτ F ( ω) f ( τ) e dτ F( ω)
F
F ( ω ) 1
Μετασχηµατισµός FOURIER παραγώγου συνάρτησης
FT
Αν f() t ↔ F( ω)
Τότε
df () t
FT
↔ jωF( ω)
και γενικά ισχύει:
dt
n
d f()
t
FT
n
↔ ( jω) F( ω)
dt
∞
df () t d 1
jωt
= [ F( ω) e dω]
=
dt dt 2π
∫
−∞
Απόδειξη
Αλλαγ
ή σειράς της παραγώγισης και ολοκλήρωσης:
∞ ∞ ∞
jωt
1 de 1 jωt
1
jωt
= F( ) d F( ) j e d [ j F( )] e d
2π
∫ ω ω = ω ω ω ω ω ω
dt 2π
∫ =
2π
∫
−∞ −∞ −∞
Εφαρµογή για την δ-Dirac:
n
FT{ δ ( t)} = ( jω)
n
∞
1 2
Σχέση Parseval∈= ∫ f () t dt = A ( ω)
dω
2π
∫
−∞
2
∞
−∞
31

ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογιστεί η ενέργεια που βρίσκεται στην ζώνη συχνοτήτων απο ω = 0 εως
−
ω = 20 π ( rad)
του σήµατος f () t = e t u()
t . Επίσης το ποσοστό % της ενέργειας.
Λύση
1 1 jφω
( ) −1
F( ω) = = e , φω ( ) =−tan ( ω)
1+ jω
2
ω + 1
∞ ∞ −2t
∞
−t
2 −2t
e
1
∈= ∫[ e ] dt = ∫e dt = [ ] =
−2 2
0 0 0
∞
1 dω 1 −1
∞ 1 π π 1
[tan ω] ( )
2
2π ∫
−∞
ω + 1 2π 2π
2 2 2
−∞
∈= = = + =
Αρα ισχύει η ταυτότητα του Parseval
20π
dω
−1 62.8
1 ∫
ω
2
−62.8
+
−20π
∈
1
0.495 = = =
1 1 1
∈= = [tan ] = (1.55 + 1.55) = 0.495
2π ω 1 2π 2π
∈
0.5
0.99 99%
32