σηματα και συστηματα-i

ΑΣΚΗΣΗ. ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΟΥ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ
Σε µία περίοδο
T
f () t = −A, − < t < 0
2
T
f() t = A,0< t <
2
Έχουµε:
T
T
2 0
2
1 1
a0
= f() t dt = [ − Adt+ Adt] = 0
T T
∫ ∫ ∫ εποµένως το τετραγωνικό σήµα δεν έχει
T
T
−
−
2 2
0
συνεχή (DC) συνιστώσα (Μέσος όρος µηδέν).
T
T
2 0
2
2 2
an
= f ( t) cos nω tdt = [ − Acos nω tdt + Acos nω
tdt] = 0∀n
T
∫ ∫ ∫
0 0 0
T
T T
−
−
0
2 2
Η σειρά δεν έχει συνηµιτονοειδείς όρους λόγω περιττής συµµετρίας( f ( − t) =− f( t)
).
T
T
2 0
2
T
A cos nω0t 0 cos nω0t
2
∫ ω0 ∫ ω0 ∫ ω0 T
0
T
T
ω −
0
0 2
ω0
−
−
2 2
2 2 2
bn
= f ( t)sin n tdt = [ − Asin n tdt + Asin n tdt] = {[ ] + [ − ] } =
T T T n n
0, n = αρτιο
A
2A
= (cos 0 −cos( nπ) − cos( nπ) + cos 0) = [1 − cos( nπ)] = 4 A
nπ nπ , n = περιττ ό
nπ
εποµένως:
∞
2A 1−
cos( nπ
) 4A
1 1
f( t) = ∑ sin nω0t = [sin nω0t+ sin 3ω0t+ sin 5 ω0t+
....]
π n=
1 n
π 3 5
Για
n=2k+1:
∞
4A
1
f() t = ∑ sin(2k+
1) ω0t
π 2k
+ 1
k = 0
∞
= A0
∑ n
ω0
n=
1
2 2
n
=
n
+
n
=
n
f()
t
A a b b
θ
n=
+ A cos( n t+
θ )
b
− tan ( ) =−tan ( ∞ ) =−90
a
−1 n
−1 0
n
n
22