σηματα και συστηματα-i

Απόδειξη
∞ ∞ ∞
− jωt
∫ 1 2 ∫ ∫ 1 2
−∞ −∞ −∞
− jωt
FT[ f ( t)] = [ f ( t)* f ( t)] e dt = [ f ( τ) f ( t − τ) dτ]
e dt =
Αλλάζουµε την σειρά ολοκλήρωσης t µε τ:
∞ ∞ ∞ ∞
− jωt − jωτ − jωτ
∫ 1 ∫ 2
− = ∫ 1 2
=
2 ∫ 1
=
1
-∞ −∞ −∞ −∞
= f ( τ )[ f ( t τ) e dt] dτ f ( τ) F ( ω) e dτ F ( ω) f ( τ) e dτ F( ω)
F
F ( ω ) 1
Μετασχηµατισµός FOURIER παραγώγου συνάρτησης
FT
Αν f() t ↔ F( ω)
Τότε
df () t
FT
↔ jωF( ω)
και γενικά ισχύει:
dt
n
d f()
t
FT
n
↔ ( jω) F( ω)
dt
∞
df () t d 1
jωt
= [ F( ω) e dω]
=
dt dt 2π
∫
−∞
Απόδειξη
Αλλαγ
ή σειράς της παραγώγισης και ολοκλήρωσης:
∞ ∞ ∞
jωt
1 de 1 jωt
1
jωt
= F( ) d F( ) j e d [ j F( )] e d
2π
∫ ω ω = ω ω ω ω ω ω
dt 2π
∫ =
2π
∫
−∞ −∞ −∞
Εφαρµογή για την δ-Dirac:
n
FT{ δ ( t)} = ( jω)
n
∞
1 2
Σχέση Parseval∈= ∫ f () t dt = A ( ω)
dω
2π
∫
−∞
2
∞
−∞
31