σηματα και συστηματα-i

N
2 2
ελαχιστοποιείται το RMS σφάλµα: S = [ f( t) − f
( t)] dt = [ f( t) −∑ aiφi( t)] dt(1)
∫
a
∫
a
i=
0
Λύση
∂S
Θα πρέπει = 0, k = 0,1,2,..., N
∂ak
Χρησιµοποιούµε το k για να µην µπερδευτούµε µε την µεταβλητή i του αθροίσµατος.
Παραγωγίζουµε την (1) και έχουµε:
∂S
∂a
k
b
∫
N
= 2 [ f ( t) − aφ
( t)] φ ( t) dt = 0, k = 0,1,2,3,..., N
a
∑
i=
0
i i k
Ή ισοδύναµα:
b
∫ ∑ ∫
a
N
f () t φ () t dt = a φ () t φ () t dt = a
b
k i i k k
i=
0 a
b
Αφού a φ () t φ () t dt ≠ 0 µόνο για i=k
∫
a
i
k
Το άθροισµα στα δεξιά έχει έναν µόνο µη µηδενικό όρο, τον a
k
.Έτσι προκύπτει οτι
b
οι συντελεστές ∫ f () t φk
() t dt ελαχιστοποιούν το RMS σφάλµα της προσέγγισης.
a
• Γενικευµένη ανάλυση FOURIER σε βάση ορθογώνιων συναρτήσεων
• Ειδική περίπτωση η τριγωνοµετρική σειρά FOURIER περιοδικών
συναρτήσεων σε ηµίτονα και συνηµίτονα µε αρµονικό λόγο
συχνοτήτων. ω , 1,2,3,4,....
n
= kω0 k = ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους
2π
συχνότητας ω0 = = 2π
f0
T
24