σηματα και συστηματα-i

• Ιδιότητα δειγµατοληψίας της δ του Dirac: f () tdt ( − t0) dt=
f( t0)
• Επιµεριστική ιδιότητα: f1()*[ t f2() t + f3()] t = f1()* t f2() t + f1()* t f3()
t
∫
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
a
f t a n t b n t
∞
0
() = + ∑[ ncos ω0 +
nsin ω0
]
2 n=
1
2 π
ω0 = sπ
f0
= , T η περιοδος του σηµατος
T
ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ!!!
Οι συντελεστες a , b υπολογίζονται σε µία περίοδο:
n
a
0
n
t1
+ T
2
=
T
∫
t1
t1
+ T
t1
t1
+ T
f()
t dt
2
an
= f()cos
t ω
n 0
0tdt
>
T
∫
2
bn
= f()sin
t ω0tdt
T
∫
t1
Βιβλίο Fourier:”Théorie analytique de la chaleur” 1822. Μετάδοση Θερµότητας
Μαθηµατικες συνθήκες για σύγκλιση (Ικανές αλλα όχι απαραίτητες) Dirichlet
(1829):
1.
t1
+ T
∫
t1
f()
t dt < ∞ ,πεπερασµένο
2. Πεπερασµένο πλήθος min-max και ασυνεχειών σε µια περίοδο
Στις ασυνέχειες το ανάπτυγµα Fourier συγκλίνει στο 1 − +
f ( t0) = [ f( t0) + f( t0)]
2
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ FOURIER ΜΟΝΟ ΜΕ COS KAI ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
∞
∑
f() t = A + A cos( nω
t+
θ )
0 n
0
n=
1
a
A A a b
0
2 2 −1
n
0
= ,
n
=
n
+
n
, θn
=− tan ( )
2
an
n
b
14