âÎ¹ÏÎ»ÏÎ¼Î±ÏÎ¹ÎºÎ® ÎÏÎ³Î±ÏÎ¯Î± - Nemertes

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 

ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 

ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ∆ΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ 

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 

∆ιπλωματική Εργασία 

του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και 

Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του 

Πανεπιστημίου Πατρών 

ΕΥΡΙΠΙ∆Η ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΥ 

Αριθμός Μητρώου: 

5850 

Θέμα 

«Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας Συστήματος 

Ισχύος»

Επιβλέπων 

Αντώνιος Αλεξανδρίδης 

Αριθμός ∆ιπλωματικής Εργασίας: 

Πάτρα, Οκτώβριος 2009 

~ 2 ~

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 

Πιστοποιείται ότι η ∆ιπλωματική Εργασία με θέμα 

«Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας Συστήματος 

Ισχύος» 

Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και 

Τεχνολογίας Υπολογιστών 

ΕΥΡΙΠΙ∆Η ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΥ του ΧΡΗΣΤΟΥ 

Αριθμός Μητρώου: 

5850 

Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα 

Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 

…….../……../……… 

Ο Επιβλέπων 

Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος 

Ο ∆ιευθυντής του Τομέα 

~ 3 ~

Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος 

Αριθμός ∆ιπλωματικής Εργασίας: 

Θέμα: «Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας 

Συστήματος Ισχύος» 

Φοιτητής: 

Φωτόπουλος Ευριπίδης 

Επιβλέπων: Αλεξανδρίδης Αντώνιος 

Περίληψη 

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο την αντιμετώπιση των 

ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων οι οποίες εμφανίζονται σε μία σύγχρονη 

γεννήτρια παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας μετά από διαταραχές. 

Ο συμβατικός έλεγχος για τη διατήρηση της μηχανής σε συγχρονισμό μετά από 

ξαφνικές αλλαγές φορτίου, βραχυκυκλωμάτων, κλείσιμο διακοπτών ή 

οποιασδήποτε κατάστασης που μπορεί να προκαλέσει αστάθεια στο Σύστημα της 

Ηλεκτρικής Ενέργειας, γίνεται με χρήση ελεγκτικών διατάξεων Σταθεροποιητών 

Συστημάτων Ισχύος σε συνδυασμό με τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης (ΑΡΤ/ΣΣΙ). 

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να σχεδιαστούν και να ρυθμιστούν κατάλληλα οι 

διατάξεις αυτές, ώστε να εξασφαλίζεται η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων που εμφανίζονται ανάμεσα στην γεννήτρια και το υπόλοιπο 

σύστημα. 

~ 4 ~

Στην εργασία αυτή, αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στα είδη των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων και την ευστάθεια για δυναμικά Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας. 

Στη συνέχεια αναπτύσσεται το δυναμικό μοντέλο ενός απλού συστήματος μιας 

γεννήτριας άπειρου ζυγού βασισμένο στο απλοποιημένο μοντέλο 4 ης τάξης της 

σύγχρονης μηχανής. Επειδή το μοντέλο αυτό είναι μη γραμμικό προχωράμε στην 

εξαγωγή του γραμμικοποιημένου μοντέλου που θα μας βοηθήσει για τον 

σχεδιασμό του κατάλληλου ελεγκτή. Αξιοποιώντας ιδιότητες του μοντέλου 

παρουσιάζεται μια συστηματική μέθοδος σχεδίασης του Σταθεροποιητή 

Συστήματος Ισχύος που είναι βασισμένη στη λογική των ολοκληρωτικών 

υπολοίπων. Τέλος με τη βοήθεια του λογισμικού SIMULINK του MATLAB 

προσομοιώνεται το σύστημα σύγχρονης γεννήτριας συνδεδεμένης σε άπειρο ζυγό, 

που ελέγχεται με την χρήση του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης και του 

Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος σε κατάσταση τυπικής φόρτισης. Εφαρμόζοντας 

διαταραχές στο σύστημα παρατηρείται η απόκριση του συστήματος και εκτιμάται 

η λειτουργία του ελεγκτή. 

Abstract 

This thesis aims to address the electromechanical oscillations which appear in a 

synchronous generator after disturbances. 

The conventional control for maintaining the machine synchronized after sudden 

load changes, short circuits, switching or any condition which may cause instability 

phenomena, is achieved by the use of control circuits such as Power System 

Stabilizers combined with the Automatic Voltage Regulator ( PSS / AVR). 

The purpose of this work is to design and configure properly these control circuits to 

ensure the reduction of electromechanical oscillations that occur between the 

generator and the rest of the system. 

In the beginning this thesis, an introduction of the types of power system 

electromechanical oscillations and stability is being discussed. Afterwards, the 

dynamic model of a simple system of a generator infinite‐bus based on simplified 

4th order of synchronous machine is being developed. Due to the model 

nonlinearities, we export the linearized model which helps us to design a suitable 

controller. Taking into account the model properties, we provide a systematic 

method for designing a Power System Stabilizer based on the residues method. 

Finally, using the MATLAB‐SIMULINK software, the synchronous generator infinitebus 

system is simulated which is controlled by an Automatic Voltage Regulator and a 

Power System Stabilizer. After applying disturbances, the system response is driven 

and analyzed along with the controller functioning. 

~ 5 ~

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 

Η εκπόνηση της παρούσας Διπλωματικής εργασίας πραγματοποιήθηκε στο 

εργαστήριο Παραγωγής Μεταφοράς Διανομής και Χρησιμοποίησης της Ηλεκτρικής 

Ενέργειας υπό την επίβλεψη του Καθηγητή της Πολυτεχνικής Σχολής των 

Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου 

Πατρών, Αντώνιο Αλεξανδρίδη, τον οποίο και ευχαριστώ θερμότατα για την 

εποικοδομητική καθοδήγηση, την βοήθεια και τον χρόνο που μου αφιέρωσε. 

Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καλό μου φίλο και υποψήφιο διδάκτορα της 

σχολής των Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών, Γεώργιο 

Κωνσταντόπουλο για τον χρόνο, τις πολύτιμες συμβουλές και υποδείξεις του, που 

συνέβαλλαν στην ολοκλήρωση της εργασίας. 

~ 6 ~

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 

1.1) Εισαγωγή……………………………………………………………………………………………………..8 

1.2) Είδη Ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων……………………………………………………… 12 

1.3) Ευστάθεια δυναμικού συστήματος…………………………………………………………….14 

1.3.1) Ευστάθεια συστήματος κατά Liapunov……………………………………………………….14 

1.3.2) Είδη ευστάθειας σε δυναμικά Σύστημα Ηλεκτρικής Ενέργειας…………………..15 

2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 

2.1.1) ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ………………………………………………………………………………..16 

2.1.2) Μοντέλα σύγχρονων γεννητριών‐Εξισώσεις Park………………………………………17 

2.1.3) Μοντέλο 4ης τάξης…………………………………………………………………………………….20 

2.1.4) Αρχικές συνθήκες της Σύγχρονης Μηχανής……………………………………………….25 

2.1.5) Ευστάθεια Σύγχρονης Μηχανής………………………………………………………………..26 

2.2) Ρυθμιστές στροφών………………………………………………………………………………….28 

2.3.) Αυτόματοι Ρυθμιστές Τάσης (ΑΡΤ ή AVR )………………………………………………..29 

2.4.) Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος ( ΣΣΙ ή PSS) ……………………………………..30 

3ο Κεφάλαιο 

3.1) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ………….34 

3.2) Γραμμικοποίηση συστήματος μηχανής –άπειρου ζυγού………………………….40 

3.3) Σχεδίαση σταθεροποιητών σε ένα Σύστημα Ηλεκτρικής Ενέργειας………….45 

3.3.1) Υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης………………………………………………….46 

3.3.2) Υπολογισμός του κέρδους του σταθεροποιητή……………………………………….51 


Διάταξη Ελέγχου Matlab……………………………………………………………………………………53 

ΣΧΟΛΙΑ‐ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ………………..…………………………………………………66 

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………………………………………..68 

~ 7 ~


1.1 Εισαγωγή 

Τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας αποτελούν μια από τις μεγαλύτερες 

τεχνολογικές εφαρμογές της εποχής μας. Για τον σύγχρονο κόσμο αποτελούν 

αναπόσπαστο κομμάτι του πολιτισμού και μια από τις πλέον αναγκαίες 

παραμέτρους για την οικονομική ανάπτυξη μιας χώρας. 

Η δυσκολία αποθήκευσης της ηλεκτρικής ενέργειας δημιούργησε την ανάγκη για 

την κατασκευή μεγάλων και πολύπλοκων δικτύων μεταφοράς και διανομής της. Η 

συνεχώς αυξανόμενη ζήτηση της ειδικότερα στα αστικά αλλά και βιομηχανικά 

κέντρα, έχει ως αποτέλεσμα η λειτουργία του συστήματος να γίνεται στο όριο της 

ικανότητας μεταφοράς του. 

Η νεότερη ενεργειακή πολιτική επιβάλει τη διασύνδεση των επιμέρους 

ενεργειακών συστημάτων πράγμα που αυξάνει την αξιοπιστία του ενιαίου 

συστήματος και ταυτόχρονα μειώνει το κόστος λειτουργίας του. Εκτός από την 

ολοένα αυξανόμενη ανάπτυξη του δικτύου αλλάζουν και τα χαρακτηριστικά του 

ηλεκτρικού φορτίου, γεγονός που δημιουργεί προβλήματα στην ομαλή λειτουργία 

των σύγχρονων συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας. Έτσι γίνεται κατανοητό πως η 

ανάλυση, ο έλεγχος και η ευστάθεια των συστημάτων ενέργειας είναι οι 

βασικότερες παράμετροι για την εξασφάλιση της συνεχούς και ομαλούς 

λειτουργίας του συστήματος κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες. 

Η ευστάθεια των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων των σύγχρονων μηχανών 

αποτελεί το κυριότερο πρόβλημα που έχει να αντιμετωπίσει ο μηχανικός που 

σχεδιάζει και ελέγχει το σύστημα. Οι ταλαντώσεις αυτές εμφανίζονται μετά από 

μία διαταραχή (μικρή ή μεγάλη) στο σύστημα και οφείλονται στην προσπάθεια 

διατήρησης των γεννητριών σε συγχρονισμό, και χαρακτηριστικό τους είναι η 

ασθενής απόσβεση. 

Οι ασθενώς αποσβενύμενες ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις δημιουργούν 

περαιτέρω ταλαντώσεις σε άλλες παραμέτρους του συστήματος, ή ακόμα και 

φθορά στα μηχανικά μέρη της γεννήτριας. Ακόμα οι ταλαντώσεις αυτές 

περιορίζουν, τα θερμικά όρια μεταφερόμενης ισχύος των γραμμών, τα όρια της 

ευστάθειας του συστήματος και προκαλούν πολλά προβλήματα ελέγχου. 

Κατά την σύνδεση πολλαπλών γεννητριών παρουσιάζονται οι ταλαντώσεις 

διασύνδεσης οι οποίες έχουν χαμηλή συχνότητα και είναι δύσκολο να 

αντιμετωπιστούν. 

~ 8 ~

Οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις εμφανίζονται σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα, 

αφότου υπάρξει μια διαταραχή στο σύστημα. Στο ίδιο χρονικό διάστημα 

εμφανίζονται και άλλοι ταλαντωτικοί ρυθμοί λόγω της δράσης διάφορων 

ρυθμιστών όπως του αυτόματου ρυθμιστή τάσης, του ρυθμιστή στροφών και του 

σταθεροποιητή. Η προσπάθεια είναι να αντιμετωπίζονται άμεσα, και έτσι οι 

γεννήτριες να παραμένουν σε συγχρονισμό. 

Επειδή τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας περιγράφονται από μη γραμμικά 

μοντέλα, τον τρόπο συμπεριφοράς του δικτύου για μικρές διαταραχές γύρω από το 

σημείο λειτουργίας μπορούμε να τον αναλύσουμε στο πεδίο της συχνότητας ή του 

χρόνου, με την χρήση γραμμικοποιημένων μοντέλων όλων των δυναμικών μερών 

του συστήματος που ενεργοποιούνται στο διάστημα της διαταραχής. Η ανάλυση 

της ευστάθειας των μικρών αυτών διαταραχών στο γραμμικοποιημένο μοντέλο 

δίνει πολλά πλεονεκτήματα μεταξύ των οποίων είναι ότι μπορεί να γίνεται με τον 

υπολογισμό των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων των μεταβλητών κατάστασης 

που περιγράφουν το σύστημα(ανάλυση των ρυθμών του συστήματος). Στην 

ανάλυση αυτή σημαντικό ρόλο παίζουν πολλοί παράγοντες. Παραδείγματος χάριν, 

εξαιτίας της σταδιακής αύξησης του φορτίου ή του κέρδους ενός ρυθμιστή ή 

κάποιας άλλης παραμέτρου του συστήματος αλλάζει το σημείο λειτουργίας του και 

έτσι μετατοπίζονται οι ιδιοτιμές στο μιγαδικό επίπεδο και αλλάζει η μορφή των 

ιδιοδιανυσμάτων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι νέοι ρυθμοί να συνεπάγονται 

διαφορετική απόκριση σε μια διαταραχή από ότι οι προηγούμενοι. 

Όπως προαναφέρθηκε τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας περιέχουν πολλούς 

ρυθμούς ταλαντώσεων λόγω της αλληλεπίδρασης των επιμέρους δυναμικών 

συστημάτων που τα αποτελούν. Οι ταλαντώσεις αυτές γίνονται ιδιαίτερα έντονες 

όταν ορισμένες διαταραχές αναστέλλουν τους μηχανισμούς απόσβεσης ή φέρνουν 

το σύστημα πολύ κοντά στα όρια της ευστάθειας μικρών διαταραχών. Από την 

στιγμή που εμφανίζονται οι ασταθείς ταλαντώσεις το πλάτος τους διαρκώς 

αυξάνεται και συνοδεύονται από ταλαντώσεις της συχνότητας ή της τάσης και 

οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις από τις ονομαστικές τιμές του συστήματος. Αυτό 

έχει σαν αποτέλεσμα να έχουμε αποσυγχρονισμό των σύγχρονων μηχανών και 

μερική ή ολική κατάρρευση του ηλεκτρικού δικτύου. 

Οι πλέον συνηθισμένες ταλαντώσεις που εμφανίζονται στα Συστήματα Ηλεκτρικής 

Ενέργειας αφορούν την ταλάντωση των στρεφόμενων μαζών των δρομέων των 

σύγχρονων μηχανών μεταξύ τους ή σε σχέση προς κάποιο σταθερά στρεφόμενο 

πλαίσιο αναφοράς, όπως ο άπειρος ζυγός. Η τυχούσα μεταβολή των παραμέτρων 

του συστήματος που συνήθως προκαλείται από κάποια διαταραχή (μεταβολή 

φορτίου, σφάλματα κλπ) αλλάζει το σημείο λειτουργίας του και συνοδεύεται από 

μεταβολές της ηλεκτρικής και μηχανικής ισχύος της γεννητριών καθώς αυτές 

προσπαθούν να προσεγγίσουν το νέο σημείο ισορροπίας. Έτσι η ταχύτητα 

~ 9 ~

περιστροφής των γεννητριών απομακρύνεται από την σύγχρονη γεγονός που 

προκαλεί ανταλλαγή κινητικής και ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ των συνδεόμενων 

γεννητριών. Αν η γεννήτρια δεν οδηγηθεί σε αποσυγχρονισμό μετά την διαταραχή 

προσεγγίζει το νέο σημείο ισορροπίας και επανέρχεται στην σύγχρονη ταχύτητα. 

Κατά την διάρκεια της προσέγγισης στο νέο σημείο ισορροπίας ο δρομέας της 

γεννήτριας εκτελεί μια ταλάντωση ως προς τον δρομέα άλλης συνδεδεμένης 

γεννήτριας και ταυτόχρονα μια ταλάντωση ως προς το εξωτερικό σύστημα. Η 

ταλάντωση των δύο δρομέων των μηχανών οφείλεται στην προσπάθεια 

συγχρονισμού των μαγνητικών πεδίων των γεννητριών. Οι ταλαντώσεις αυτές 

ονομάζονται ταλαντώσεις ισχύος ή ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις και 

συνοδεύονται από ανταλλαγή ισχύος μεταξύ των διασυνδεδεμένων σύγχρονων 

μηχανών. 

Η συχνότητα και η απόσβεση των ταλαντώσεων ισχύος εξαρτώνται από τα 

χαρακτηριστικά του δικτύου αλλά και από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κάθε 

σύγχρονης γεννήτριας. Σημαντικό ρόλο έχουν : η τιμή της αδράνειας του άξονα της 

γεννήτριας ,τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των τυλιγμάτων του δρομέα όπως και οι 

διατάξεις ελέγχου των γεννητριών. 

Ενδεικτικά αίτια που μπορούν να προκαλέσουν ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις 

είναι η μεταφορά ενεργού ή άεργου ισχύος σε δίκτυα με μη ισχυρή διασύνδεση, 

αλλαγές στο φορτίο ή στην τοπολογία του δικτύου, το μεγάλο κέρδος των 

ρυθμιστών τάσης σε συνάρτηση με πολύ μικρές χρονικές σταθερές του, τη 

χωρητική λειτουργία των σύγχρονων γεννητριών, την μη γραμμική συμπεριφορά 

των φορτίων κλπ. 

Η δυνατότητα κατανόησης των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων γίνεται με την 

ανάλυση της μηχανικής και ηλεκτρομαγνητικής ροπής των μηχανών σε μία 

συνιστώσα ροπής συγχρονισμού, σε φάση με την μεταβολή της γωνίας δ της 

σύγχρονης γεννήτριας και μία συνιστώσα ροπής απόσβεσης, σε φάση με την 

μεταβολή της ταχύτητας του δρομέα. 

Η ροπή συγχρονισμού είναι η συνιστώσα της ηλεκτρομαγνητικής ροπής που 

περιορίζει την απόκλιση των δυο πεδίων των μηχανών και τις κρατά σε 

συγχρονισμό. Έχει μεγάλη τιμή και παίζει ρόλο στην μεταβατική ευστάθεια γωνίας, 

μετά από μια απότομη μεταβολή και καθορίζει τη συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής 

ταλάντωσης. 

Η ροπή απόσβεσης είναι η συνιστώσα της ηλεκτρομαγνητικής ροπής που 

περιορίζει την απόκλιση της ταχύτητας περιστροφής της γεννήτριας από την 

ονομαστική τιμή. Ο ρόλος της είναι να διατηρήσει την ευστάθεια του συστήματος 

μετά την μεταβατική περίοδο ύστερα από μια μεγάλη μεταβολή η οποία είναι 

~ 10 ~

γνωστή ως ευστάθεια πρώτου κύκλου. Έχει συνήθως μικρή τιμή και μπορεί να γίνει 

αρνητική λόγω της δράσης άλλων διατάξεων ελέγχου που μπορεί να δράσουν ως 

αρνητικές πηγές απόσβεσης. 

Η εμφάνιση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων αποδόθηκε παλαιότερα στην 

αρνητική ροπή απόσβεσης που εισήγαγε το τύλιγμα του πεδίου, για ορισμένες 

τιμές της σύνθετης αντίστασης της γραμμής διασύνδεσης. Ωστόσο η προσθήκη 

επιπλέον τυλιγμάτων απόσβεσης στο δρομέα μηχανής και η κατάλληλη ρύθμιση 

της σύνθετης αντίστασης εξάλειψαν το φαινόμενο σε ότι αφορά την συγκεκριμένη 

αυτή αιτία. 

Όμως, το φαινόμενο αυτό εξακολουθεί να εμφανίζεται λόγω της εισαγωγής των 

Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης και την αύξηση της μεταφερόμενης ισχύος σε 

γραμμές μεγάλου μήκους. Η επίδραση των Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης στο πεδίο 

του τυλίγματος εισάγει αρνητική ροπή απόσβεσης, η οποία αυξάνει με το κέρδος 

του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης και μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από την 

θετική ροπή απόσβεσης που εισάγουν τα τυλίγματα απόσβεσης της σύγχρονης 

μηχανής. Το νέο αυτό φαινόμενο δεν ήταν δυνατό να αντιμετωπιστεί με περαιτέρω 

τυλίγματα απόσβεσης εξαιτίας της μεγάλης αύξησης του ρεύματος βραχυκύκλωσης 

των γεννητριών. 

Την λύση για αυτό το πρόβλημα έδωσαν νέες διατάξεις ελέγχου οι οποίες 

επιδρούν τοπικά στην διέγερση ώστε αυτή να εισάγει θετική ροπή απόσβεσης. Οι 

διατάξεις αυτές είναι γνωστές ως Σταθεροποιητές των Συστημάτων Ηλεκτρικής 

Ενέργειας‐ΣΣΙ (Power System Stabilizers‐PSS), και ενεργούν στην διέγερση μιας 

γεννήτριας ώστε να προπορεύεται η φάση, γεγονός που αντισταθμίζει την 

καθυστέρηση φάσης που εισάγουν ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης και το τύλιγμα 

πεδίου. 

Η ανάπτυξη των διασυνδέσεων μεγάλων συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας 

δημιουργεί νέα προβλήματα στην απόσβεση των ταλαντώσεων ισχύος. Οι 

ταλαντώσεις διασύνδεσης μπορεί να εμπλέκουν πολλές γεννήτριες από 

διαφορετικά συστήματα γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε εμφάνιση 

ταλαντώσεων λόγω διαφορετικής λειτουργίας των συστημάτων διέγερσής τους. 

Ακόμα μπορούν να εμφανιστούν εξαιτίας άλλων φαινομένων όπως η 

βραχυπρόθεσμη ταλαντωτική αστάθεια τάσεων των ζυγών διασύνδεσης, λόγω της 

δυναμικής συμπεριφοράς των φορτίων. Όμως οι σταθεροποιητές ΣΣΙ σχεδιάζονται 

και λειτουργούν τοπικά με μεθόδους αποκεντρωμένου ελέγχου, έτσι δεν είναι 

αυτονόητο ότι μπορούν πάντοτε να αντιμετωπίσουν αποτελεσματικά αυτές τις 

συμπεριφορές. 

Για την αντιμετώπιση ταλαντώσεων διασύνδεσης χρησιμοποιούνται τα τελευταία 

χρόνια επιπλέον διατάξεις που βασίζονται στα ηλεκτρονικά ισχύος. Παραδείγματα 

~ 11 ~

τέτοιων διατάξεων είναι οι στατοί αντισταθμιστές άεργου ισχύος (SVC), και 

διάφορες άλλες διατάξεις ευέλικτων συστημάτων μεταφοράς εναλλασσόμενου 

ρεύματος (FACTS). Οι διατάξεις αυτές ενεργούν στις σύνθετες αντιστάσεις 

επιλεγμένων γραμμών μεταφοράς ή στις τάσεις των ζυγών διασύνδεσης, με τρόπο 

τέτοιο ώστε να αυξάνεται η απόσβεση του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού. 

Ωστόσο παρότι η νέα γενιά ρυθμιστών μπορεί να μειώσει τις ηλεκτρομηχανικές 

ταλαντώσεις σε απλά συστήματα και σε συστήματα μιας μηχανής‐ άπειρου ζυγού, 

δεν υπάρχουν σαφείς ενδείξεις σημαντικής βελτίωσης της απόσβεσης με μόνη τη 

χρήση αυτών των συσκευών σε σχέση με αυτήν που μπορεί να επιτευχθεί αν γίνει 

σωστή χρήση κατάλληλα ρυθμισμένων σταθεροποιητών. Ακόμα το υψηλό τους 

κόστος σε συνάρτηση με την δυσκολία σχεδίασης και ελέγχου τους, καθιστά την 

δράση τους συμπληρωματική ως προς την δράση των σταθεροποιητών για τον 

έλεγχο των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων. 

1.2 Είδη Ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων 

Οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ταξινομούνται ως εξής : 

1.) Τοπικές ταλαντώσεις (Local modes) 

Περιγράφουν την ταλάντωση των δρομέων των γεννητριών ενός σταθμού 

παραγωγής μεταξύ τους ή μεταξύ γεννητριών πολύ κοντινών σταθμών. 

Δημιουργούνται συνήθως από την δράση Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης 

ταχείας απόκρισης όταν αυτοί λειτουργούν με μεγάλη τιμή κέρδους, ενώ η 

γεννήτρια τροφοδοτεί ένα σχετικά ασθενές δίκτυο μεταφοράς. Οι 

ταλαντώσεις αυτές εμφανίζονται σε ένα φάσμα συχνοτήτων 1~2 Hz . 

2.) Ενδοσυστηματικές ταλαντώσεις (Intra‐area oscillations ) 

Είναι οι ταλαντώσεις που εμφανίζονται μεταξύ σταθμών παραγωγής οι 

οποίοι βρίσκονται σε διαφορετικές γεωγραφικές περιοχές του ίδιου 

Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας και συνοδεύονται από ανταλλαγές 

ισχύος μεταξύ τους. 

~ 12 ~

3.) Ταλαντώσεις διασυνδέσεων (Inter‐area oscillations) 

Οι ταλαντώσεις αυτές αφορούν το σύνολο των σύγχρονων μηχανών ενός 

συστήματος σε συνάρτηση με το σύνολο των μηχανών ενός γειτονικού 

συστήματος , όταν συνδέονται μέσω ενός ασθενούς δικτύου μεταφοράς. 

Βρίσκονται σε συχνότητες 0.1~0.5 Hz και ο έλεγχος της απόσβεσης τους 

είναι δύσκολος καθώς απαιτεί σωστή σχεδίαση των διατάξεων απόσβεσης 

σε ένα μεγάλο αριθμό μηχανών. 

4.) Υποσύγχρονες στρεπτικές ταλαντώσεις (Torsional Oscillations) 

Είναι οι στρεπτικές ταλαντώσεις μεταξύ των στρεφόμενων μαζών της 

γεννήτριας και του ατμοστροβίλου(οι υδροστρόβιλοι είναι πιο στιβαροί και 

δεν έχουν πρόβλημα), οι οποίες εκδηλώνονται με την σχετική κίνηση μεταξύ 

των επιμέρους τμημάτων του άξονα που τις συνδέει. Οι ταλαντώσεις αυτές 

διεγείρονται από τους ρυθμιστές των στροφών των στροβίλων και την 

διέγερση της γεννήτριας και εμφανίζονται σε συχνότητες 10~30 Hz και 

έχουν χαμηλή απόσβεση. 

5.) Ταλαντώσεις που διεγείρονται από τις διατάξεις ελέγχου 

(Control Excitation Oscillations) 

Εμφανίζονται λόγω της επίδρασης που έχει ένας Αυτόματος Ρυθμιστής 

Τάσης στους ρυθμούς ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η 

ενεργοποίηση ενός ρυθμιστή και η σταδιακή αύξηση του κέρδους αλλάζει 

το σημείο λειτουργίας και προκαλεί την αλληλεπίδραση των ρυθμών του 

συστήματος. Η πλέον έντονη μορφή μπορεί να εμφανιστεί όταν έχουμε 

συντονισμό των ρυθμών. Σε περίπτωση λανθασμένης σχεδίασης διατάξεων 

ελέγχου που επιδρούν στην απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων 

μπορεί να προκληθεί ανεπιθύμητη δράση ενός ρυθμιστή σε κάποιο 

ηλεκτρομηχανικό ρυθμό και αυτό γίνεται συνήθως όταν το κέρδος του 

ρυθμιστή παίρνει μεγάλες τιμές. Η αύξηση του κέρδους του αυτόματου 

ρυθμιστή τάσης έχει ως αποτέλεσμα να εκδηλώνεται μια ταλάντωση 

ανάμεσα στην Ηλεκτρεγερτική δύναμη του τυλίγματος διέγερσης και τη 

μαγνητική ροή του πεδίου. Οι ταλαντώσεις του συστήματος διέγερσης 

εμφανίζονται με διάφορες συχνότητες και έχουν μεγάλη απόσβεση. 

Επιδρούν με τις ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις και μπορούν να 

προκαλέσουν αστάθεια. 

~ 13 ~

1.3 Ευστάθεια δυναμικού συστήματος 

Η ευστάθεια είναι μία βασική ιδιότητα που πρέπει να χαρακτηρίζει τη 

λειτουργία ενός δυναμικού συστήματος. Το σύστημα χαρακτηρίζεται ευσταθές 

όταν αφού υποστεί μία διαταραχή τείνει να επανέλθει σε μόνιμη κατάσταση 

λειτουργίας κοντά στην αρχική. Αντίθετα, χαρακτηρίζεται ασταθές όταν μετά από 

κάποια διαταραχή δεν επανέρχεται σε μόνιμη κατάσταση ή όταν η μόνιμη 

κατάσταση δεν είναι αποδεκτή. 

1.3.1Ευστάθεια συστήματος κατά Liapunov 

Η κατά Liapunov ευστάθεια είναι μία τοπική ιδιότητα του συστήματος που 

αφορά περιοχές κοντά στα σημεία ισορροπίας. Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή 

υπάρχει μία περιοχή μέσα στην οποία έλκονται οι τροχιές του συστήματος από ένα 

ευσταθές σημείο ισορροπίας. Η περιοχή αυτή καλείται «περιοχή έλξης» του 

σημείου ισορροπίας. 

Τα συστήματα που μελετώνται στην πλειοψηφία τους χαρακτηρίζονται από μη 

γραμμική συμπεριφορά και τέτοια είναι και τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η 

μελέτη ευστάθειας γίνεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα κατάστασης A του 

γραμμικοποιημένου μοντέλου, το οποίο χαρακτηρίζεται από σχέσεις της μορφής: 

Δ x 

= ΑΔ x + ΒΔu 

Δ y = CΔ x + D Δu 

. 

Όπου ο πίνακας κατάστασης Α στην περίπτωση αυτή είναι η Ιακωβιανή του 

συστήματος. 

Είναι γνωστό ότι σε ένα γραμμικό σύστημα η ευστάθεια του σημείου 

ισορροπίας προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα κατάστασης Α. Αν όλες οι 

ιδιοτιμές έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη, το σημείο ισορροπίας είναι 

ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν έστω και μία ιδιοτιμή έχει θετικό πραγματικό μέρος το 

σημείο είναι ασταθές. 

~ 14 ~

1.3.2 Είδη ευστάθειας σε δυναμικά Σύστημα Ηλεκτρικής 

Ενέργειας 

Τα φαινόμενα που απασχολούν τις μελέτες ευστάθειας σε ένα Σύστημα 

Ηλεκτρικής Ενέργειας διακρίνουν την ευστάθεια στις εξής τρεις κατηγορίες: 

• Ευστάθεια μόνιμης κατάστασης ή μικρών διαταραχών, που σχετίζεται με 

την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας και αφορά στην απόκριση του 

συστήματος σε μικρές διαταραχές (π.χ. μικρές ή μεσαίες μεταβολές 

φορτίσεων του συστήματος). 

• Μεταβατική ευστάθεια, που αναφέρεται στις μεγάλες και απότομες 

διαταραχές δυναμικής μορφής που είναι αποτέλεσμα ή συνεπάγονται 

μεταβολή των στοιχείων του συστήματος (π.χ. βραχυκυκλώματα, 

απόρριψη ή εισαγωγή μεγάλων φορτίων κλπ ). 

• Ευστάθεια τάσης, που αναφέρεται στην ικανότητα ενός συστήματος να 

διατηρήσει μετά από μία διαταραχή ικανοποιητικές τάσεις σε όλους τους 

ζυγούς. 

~ 15 ~

2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 

2.1.1) ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ 

Στην παρούσα εργασία η ανάλυση μας βασίζεται στο γραμμικοποιημένο μοντέλο 

του συστήματος γύρω από κάποιο σημείο λειτουργίας. Προτού παρουσιαστεί το 

γραμματικοποιημένο μοντέλο της σύγχρονης μηχανής καλό θα είναι να 

περιγραφούν και κάποια βασικά στοιχεία της θεωρίας των σύγχρονων μηχανών για 

να μπορέσουμε τελικά να εξάγουμε το μαθηματικό μοντέλο το οποίο θα 

χρειαστούμε για την ανάλυση της ευστάθειας των μικρών διαταραχών που θα 

μελετήσουμε. Οι σύγχρονες μηχανές έχουν τον κυριότερο ρόλο στις 

ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η 

συχνότητα και η απόσβεση των ταλαντώσεων εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά 

του δικτύου και της μηχανής, με κυριότερο παράγοντα την τιμή της αδράνειας του 

άξονα της γεννήτριας, τις αντιστάσεις, τις επαγωγικές αντιδράσεις, τις χρονικές 

σταθερές των ηλεκτρικών τυλιγμάτων του δρομέα των γεννητριών και τις διατάξεις 

ελέγχου. 

Ο αριθμός των τυλιγμάτων που περιγράφουν τον δρομέα καθορίζουν την τάξη 

του μοντέλου της μηχανής και την ακρίβεια ανάλυσης της μεταβατικής 

συμπεριφοράς του δρομέα στο διάστημα μιας διαταραχής. Η περιγραφή του 

δρομέα των σύγχρονων μηχανών γίνεται με την θεώρηση του τυλίγματος πεδίου 

στον ευθύ άξονα του δρομέα και ενός τυλίγματος απόσβεσης στον εγκάρσιο άξονα. 

Για την μελέτη μας θα θεωρήσουμε ότι το δίκτυο είναι σε μόνιμη ημιτονοειδή 

κατάσταση και έτσι η ταχύτητα περιστροφής της μηχανής είναι συγχρονισμένη στην 

ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου αναφοράς. Ο στάτης της μηχανής όπως και τα 

ρεύματα και οι τάσεις του δικτύου μεταβάλλονται αρμονικά με τη συχνότητα του 

συστήματος μας. Για τον λόγο αυτό αμελούνται οι επιδράσεις των μεταβατικών 

φαινομένων της μαγνητικής ροής των τυλιγμάτων του στάτη οι οποίες 

περιγράφονται ως τάσεις μετασχηματιστή στην εξίσωση της τάσεως ακροδεκτών 

μιας σύγχρονης μηχανής. Αυτή η παραδοχή δεν σημαίνει ότι η ταχύτητα 

περιστροφής παραμένει σταθερή αλλά ότι η επίδραση που αυτή έχει στα ηλεκτρικά 

μεγέθη του στάτη είναι αμελητέα. Από την άλλη μεριά η μηχανική εξίσωση κίνησης 

του δρομέα λαμβάνεται υπόψη γιατί οι μικρές μεταβολές της ταχύτητας 

~ 16 ~

περιστροφής έχουν σημαντική επίδραση στην τιμή της γωνίας δ της μηχανής όπως 

και στις εξισώσεις που περιγράφουν τα ηλεκτρικά μεγέθη του δρομέα. 

2.1.2)Μοντέλα σύγχρονων γεννητριών‐Εξισώσεις Park 

Η μαθηματική ανάλυση των σύγχρονων μηχανών απλοποιείται σημαντικά με 

την εφαρμογή του μετασχηματισμού Park, όπου οι πραγματικές επαγωγικές 

αντιδράσεις των τυλιγμάτων του στάτη προβάλλονται σε ένα σύστημα αξόνων d‐q‐ 

0, δημιουργώντας τρία φανταστικά τυλίγματα. Οι άξονες d‐q δημιουργούν ένα 

ορθογώνιο σύστημα αξόνων το οποίο είναι προσαρμοσμένο στο δρομέα της 

μηχανής και στρέφεται με την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα, ενώ ο άξονας 0 

δεν είναι μαγνητικά συζευγμένος με τους άλλους δυο και ενεργοποιείται μόνο σε 

περιπτώσεις ασύμμετρων συνθηκών. Ο άξονας d είναι ευθυγραμμισμένος με το 

μαγνητικό τύλιγμα του πεδίου διέγερσης της μηχανής (ευθύς άξονας), και ο 

εγκάρσιος άξονας q προπορεύεται του άξονα d κατά 90 ο . Αποτέλεσμα αυτού του 

μετασχηματισμού είναι ότι αν η ηλεκτρική ταχύτητα περιστροφής του δρομέα είναι 

ίση με την συχνότητα των ηλεκτρικών μεγεθών του στάτη, οι επαγωγικές 

αντιδράσεις του στάτη, όπως φαίνονται από τα τυλίγματα του δρομέα δεν 

μεταβάλλονται με το χρόνο και η μηχανή μπορεί να παρασταθεί από δυο 

συζευγμένα ισοδύναμα μαγνητικά κυκλώματα με σταθερές παραμέτρους. Τo 

μαγνητικό πεδίο που δημιουργούν τα τυλίγματα της σύγχρονης μηχανής θεωρούμε 

ότι έχει ημιτονοειδή κατανομή στο διάκενο, και έτσι τα δυο μαγνητικά κυκλώματα 

των οποίων οι άξονες είναι κάθετοι δεν είναι μαγνητικά συζευγμένα. 

Θεωρούμε ακόμα πως οι αύλακες του στάτη δεν προκαλούν σημαντική 

μεταβολή των αυτεπαγωγών και αλληλεπαγωγών λόγω της θέσης του δρομέα. 

Τέλος η μαγνητική υστέρηση και η συνεισφορά του μαγνητικού κορεσμού 

αμελούνται. Η τελευταία θεώρηση γίνεται γιατί δεν υπάρχουν γραμμικά μοντέλα 

και έτσι είναι πολύ δύσκολη η ανάλυση τους. Τα υπόλοιπα αντίθετα εισάγουν 

αμελητέο σφάλμα στην λειτουργία της μηχανής. 

Η κυκλωματική παράσταση σύγχρονης μηχανής που λειτουργεί σαν γεννήτρια 

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 

~ 17 ~

Το κύκλωμα του στάτη αποτελείται από τα τριφασικά τυλίγματα του τυμπάνου 

με τάσεις Ua, Ub , Uc και ρεύματα ia,ib,ic. 

Το κύκλωμα του δρομέα αποτελείται από το τύλιγμα πεδίου με τάση U fd και 

ρεύμα i fd . Επιπλέον εισάγονται τα τυλίγματα απόσβεσης της γεννήτριας. 

Ο αριθμός των τυλιγμάτων όπως έχουμε προαναφέρει καθορίζει την τάξη του 

ισοδύναμου μοντέλου, δηλαδή τον αριθμό των μεταβλητών κατάστασης και των 

διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται για την παράσταση των δυναμικών 

φαινομένων του δρομέα. 

Επομένως με χρήση του μετασχηματισμού του Park τα τρία τυλίγματα του στάτη 

αντικαθίστανται από τρία άλλα υποθετικά ισοδύναμα τυλίγματα. Δύο από αυτά τα 

τυλίγματα βρίσκονται στους ίδιους άξονες με αυτά του δρομέα. Το πρώτο 

βρίσκεται στον ευθύ άξονα και το συμβολίζουμε με το γράμμα d. Το δεύτερο στον 

εγκάρσιο άξονα και το συμβολίζουμε με το γράμμα q . Το τρίτο τύλιγμα, το 

συμβολίζουμε με 0, δεν είναι μαγνητικά συζευγμένο με τα άλλα δύο και επειδή 

συμμετέχει μόνο στις ασύμμετρες συνθήκες φόρτισης μπορεί να αμεληθεί . 

Η μαθηματική παράσταση του ηλεκτρικού μέρους της σύγχρονης μηχανής μετά 

το μετασχηματισμό Park στο σύστημα μας είναι η ακόλουθη: 

~ 18 ~

Η εφαρμογή του μετασχηματισμού Park δίνει τις εξής εξισώσεις για το ηλεκτρικό 

μέρος του στάτη: 

U 

ωr 

1 

• 

d 

=−ri 

a d 

− Ψ 

q 

+ Ψd 

ωo 

ωo 

(2.1.1) 

U 

ωr 

1 

• 

=−ri 

− Ψ + Ψ q 

(2.1.2) 

ω ω 

q a d d 

o 

o 

όπου 

U d ,U q :οι τάσεις των τυλιγμάτων d,q, του στάτη αντίστοιχα 

i d ,i q : τα ρεύματα των τυλιγμάτων του στάτη 

Ψ d ,Ψ q :οι πεπλεγμένες ροές των τυλιγμάτων d, q του στάτη 

ω r : η ηλεκτρική γωνιακή ταχύτητα δρομέα (rad/sec) 

ω ο : η σύγχρονη ταχύτητα (rad/sec) 

r a : η ωμική αντίσταση του στάτη 

Αντίστοιχα για τα τυλίγματα του δρομέα του σχήματος μας έχουμε: 

~ 19 ~

U 

1 

• 

fd 

= rfdifd 

+ Ψ fd 

ω ο 

(2.1.3) 

1 

= + Ψ (2.1.4) 

• 

0 r1di1d 

1d 

ω ο 

1 

• 

0 = ri 

1q 

1q 

+ Ψ1q 

ω ο 

(2.1.5) 

1 

= + Ψ (2.1.6) 

• 

0 r2qi2q 

2q 

ω ο 

Όπου οι σύγχρονες μηχανές εμφανίζουν τα ακόλουθα μεταβατικά φαινόμενα: 

1. Μεταβατικά φαινόμενα στο στάτη, που περιγράφονται από τις τάσεις του 

μετασχηματιστή. 

2. Μεταβατικά φαινόμενα στο δρομέα, τα οποία περιγράφονται από τις 

παραγώγους των μαγνητικών ροών των τυλιγμάτων του δρομέα και διακρίνονται 

σε υπομεταβατικά, που σχετίζονται με την απόκριση των τυλιγμάτων απόσβεσης 

και σε μεταβατικά , που σχετίζονται με την απόκριση του τυλίγματος πεδίου. 

3. Μηχανικά μεταβατικά φαινόμενα που σχετίζονται με την κίνηση του άξονα. 

Αν αμεληθούν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, τα ρεύματα και οι τάσεις του 

στάτη περιέχουν μόνο όρους θεμελιώδους συχνότητας και οι (2.1.1),(2.1.2) 

γίνονται αλγεβρικές. 

2.1.3) Μοντέλο 4 ης τάξης 

Το μοντέλο της σύγχρονης γεννήτριας το οποίο θα μελετήσουμε εμείς είναι το 

μοντέλο 4 ης τάξης το οποίο βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές: 

• 

• 

1.) Οι τάσεις μετασχηματιστή Ψ d και Ψ q αμελούνται, έτσι οι (2.1.1),(2.1.1) 

διαφορικές εξισώσεις μετατρέπονται σε αλγεβρικές 

~ 20 ~

2.) Η απόκλιση της γωνιακής ταχύτητας του δρομέα από την ονομαστική γωνιακή 

ταχύτητα ω 0 θεωρείται μηδενική άρα ω r =ω 0 . 

3.) Στον δρομέα θεωρούνται μόνο το τύλιγμα του πεδίου διέγερσης και το τύλιγμα 

απόσβεσης στον άξονα q. 

4.) Τέλος αμελείται η επίδραση του μαγνητικού κορεσμού. 

Έτσι οι σχέσεις του στάτη και του δρομέα παίρνουν την εξής μορφή: 

U 

d 

=−Ψ − r i 

(2.1.7) 

q 

a 

d 

U =−Ψ − r i 

(2.1.8) 

q 

d 

a q 

U fd 

1 

• 

= Ψ fd − r a 

i d 

(2.1.9) 

ω 

0 

1 

= Ψ − (2.1.10) 

• 

0 kq ri 

a kq 

ω 

0 

Οι πεπλεγμένες μορφές ροών είναι : 

Ψ 

d 

=− Xi 

d d 

+ Xafdifd 

(2.1.11) 

Ψ 

q 

=− Xi 

q q 

+ Xakqikq 

(2.1.12) 

Ψ 

fd 

=− Xafdid + X 

ffdifd 

(2.1.13) 

Ψ =− + (2.1. 14) 

kq 

Xakqq i Xkkqkq 

i 

Όπου: 

Χ d : Η σύγχρονη αντίδραση στον άξονα d 

X q : Η σύγχρονη αντίδραση στον άξονα q 

Χ afd , X akq : Οι αντιδράσεις αλληλεπαγωγής μεταξύ των τυλιγμάτων 

του στάτη και του δρομέα. 

Χ ffd , X kkq : Οι αντιδράσεις των τυλιγμάτων διέγερσης και απόσβεσης 

~ 21 ~

Για μόνιμη κατάσταση λειτουργίας θεωρούμε ότι i kq =0 και 

προκύπτουν οι εξισώσεις τάσης της σύγχρονης μηχανής : 

. 

Ψ 

fd 

=0 και έτσι 

Ud = Xqiq −ri 

a d 

(2.1.15) 

Uq =−Xdid − ri 

a q 

+ Xafdifd 

(2.1.16) 

X i = E όπου η Ε q , είναι η Ηλεκτρεγερτική δύναμη κενού φορτίου 

afd fd 

q 

Σε μορφή πινάκων οι εξισώσεις μόνιμης κατάστασης είναι: 

⎛Ud ⎞ ⎛0 

⎞ ⎛ r i 

a 

−Xq⎞⎛ 

d ⎞ 

⎜ ⎟= ⎜ ⎟− 

Uq 

E 

⎜ ⎟⎜ 

⎟⎠ (2.1.17) 

⎝ ⎠ ⎝ q ⎠ ⎝X 

i 

d 

ra 

⎠⎝ 

q 

Και αν απαλείψουμε το ρεύμα i fd από τις (2.3.11),(2.3.13) έχουμε: 

X 

X 

afd 

ffd 

2 

Xafd 

Ψ 

fd 

=Ψ 

d 

+ ( X 

d 

− ) i d 

(2.1.18) 

X 

ffd 

Ομοίως αν απαλείψουμε και το ρεύμα του τυλίγματος απόσβεσης i kq από τις 

(2.3.12),(2.3.14) έχουμε: 

X 

X 

akq 

kkq 

X 

Ψ =Ψ + − (2.1.19) 

2 

kq q 

akq 

( X 

q 

Xkkq 

) iq 

Οι εξισώσεις της γεννήτριας είναι καλό να εκφράζονται με όρους ανάλογους των 

μαγνητικών ροών. Ορίζεται η μεταβατική Ηλεκτρεγερτική δύναμη στον εγκάρσιο 

άξονα q ως μια τάση ανάλογη της μαγνητικής ροής του πεδίου, άρα έχουμε: 

E 

' 

q 

X 

afd 

= Ψ fd 

(2.1.20) 

X 

ffd 

Ομοίως και στον άξονα d ορίζεται η μεταβατική Ηλεκτρεγερτική δύναμη ως μια 

τάση ανάλογη της μαγνητικής ροής του τυλίγματος απόσβεσης: 

~ 22 ~

E 

' 

d 

X 

X 

akq 

kkq 

(2.1.21) 

=− Ψ kq 

d ⎞ 

⎟⎠ 

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.1.20),(2.1.21) στις (2.1.7),(2.1.8) έχουμε τις 

αλγεβρικές εξισώσεις τάσης της σύγχρονης γεννήτριας που σε μορφή πίνακα 

είναι: 

' 

' 

⎛Ud ⎞ ⎛E ⎞ 

d ⎛ ra −X 

⎞⎛i 

q 

⎜ ⎟= − 

' 

' 

U ⎜ 

q E ⎟ 

⎜ ⎟⎜ 

⎝ ⎠ i 

⎝ q ⎠ ⎝X 

d 

ra 

⎠⎝ 

q 

(2.1.22) 

Για το μοντέλο 4 ης τάξης της σύγχρονης γεννήτριας έχουμε: 

1) Η εξίσωση επιτάχυνσης του άξονα της μηχανής στο ανά μονάδα σύστημα 

παίρνει την μορφή: 

2H 

m 

• ω =Τ − T 

(2.1.23) 

e 

Όπου: 

Η: Η σταθερά αδράνειας (ΜWs/MVA) 

T m : Η μηχανική ροπή που παράγεται από το στρόβιλο (p.u.) 

T e : Η ηλεκτρομαγνητική ροπή της γεννήτριας (p .u.) 

2) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την μεταβολή της γωνίας του δρομέα 

είναι: 

• 

δ = ( ω − 1) ω 

(2.1.24) 

0 

3) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την απόκριση της μεταβατικής ΗΕΔ του 

άξονα q δίνεται από την σχέση: 

. 

' 

' 

d0 q' fd 

( 

d d 

) 

d 

Τ E = E − X − X i − E q 

' 

(2.1.25) 

4) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την απόκριση της μεταβατικής ΗΕΔ του 

άξονα d δίνεται από την σχέση: 

• 

' 

' 

q 

E d Xq Xq iq Ed 

Τ 

0 

' = ( − ) − ' 

(2.1.26) 

~ 23 ~

Από την (2.1.22) παρατηρούμε ότι η ΗΕΔ κενού φορτίου συνδέεται με την 

μεταβατική ΗΕΔ ως εξής: 

Στον ευθύ άξονα d : 

E =− X i = E ' −( X − X' ) i 

(2.1.27) 

d akq kq d q q q 

Στον εγκάρσιο άξονα q : 

E = ( X − X ' ) i + E ' 

(2.1.28) 

q d d d 

q 

Και οι διαφορικές εξισώσεις (2.1.25),(2.1.26) παίρνουν την τελική μορφή : 

' 

• 

T ' d0 E q = Efd 

− Eq 

(2.1.29) 

' 

• 

T ' q0 E d =− Ed 

(2.1.30) 

Η σχέση της ηλεκτρικής ροπής και ισχύος της σύγχρονης μηχανής είναι : 

T = E ' i + E ' i −( X ' − X ' ) i i 

(2.1.31) 

e d d q q d q d q 

ενώ διανυσματική παράσταση των τάσεων στους άξονες d‐q είναι: 

Από όπου προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις ισχύος στη μόνιμη κατάσταση: 

Vt 

⎡ 

Vt 

⎤ 

Pg = rV sin( ) cos( ) ( )sin 2( ) 

2 a t 

XqEq δ θ raEq δ θ Xd Xq 

δ 

r X X ⎢− + − + − + − − θ 

+ 2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

(2.1.32) 

a d q 

~ 24 ~

V 

Q ⎡ X E r E X V X V 

t 

2 2 

g 

= cos( ) sin( ) cos ( ) sin ( ) 

2 q q 

δ −θ − 

a q 

δ −θ − 

q t 

δ −θ − 

d t 

δ −θ 

ra + XdX 

⎣ 

q 

⎤ 

⎦ 

(2.1.33) 

Αντίστοιχα στην μεταβατική κατάσταση είναι: 

Vt 

⎡ 

Vt 

⎤ 

Pg = − rV ( ' ' ' )sin( ) ( ' ' ' )cos( ) ( ' ' )sin2( ) 

2 a t 

+ raE d+ X 

q 

E 

q 

δ − θ + raE q− X 

d 

E 

d 

δ − θ + X 

d− X 

q 

δ −θ 

ra + X ' 

d 

X ' ⎢ 

q 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

(2.1.34) 

V 

Q = ⎡ r E + X E − − r E + X E − − X V − − X V 

t 

2 2 

g 

( ' ' ' )cos( ) ( ' ' ' )sin( ) ' cos ( ) ' sin ( ) 

2 a d q q a q d d q t d t 

ra X 

dX 

⎣ 

δ θ δ θ δ θ 

δ −θ 

+ 

q 

(2.1.35) 

Αν αμελήσουμε την αντίσταση r a , οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν την ηλεκτρική 

ισχύ στο διάκενο της γεννήτριας στη μόνιμη και μεταβατική κατάσταση λειτουργίας 

αντίστοιχα. 

⎤ 

⎦ 

2.1.4)Αρχικές συνθήκες της Σύγχρονης Μηχανής 

Για την αρχικοποίηση των παραμέτρων της σύγχρονης μηχανής θα πρέπει να 

επιλεγεί η θέση του άξονα d‐q της μηχανής σε σχέση με τον άξονα d‐q του 

συστήματος. Ο εγκάρσιος άξονας ορίζεται από το στρεφόμενο διάνυσμα της τάσης 

του ζυγού ταλάντωσης του συστήματος ενώ ο ευθύς άξονας έπεται κατά 90 ο . Η 

γωνία της τάσης του ζυγού θεωρείται ίση με μηδέν και θεωρείται ως γωνία 

αναφοράς. Άρα αν θεωρούσαμε πριν την διαταραχή την φαινόμενη ισχύ ίση με: 

S = P + jQ 

G 

G 

G 

Το ρεύμα του στάτη της μηχανής θα δίνεται από: 

∗ 

⎛SG ⎞ PG − jQG 

G = ⎜ ⎟ = = 

D 

+ 

Q 

⎝V 

t ⎠ Vt 

∠−θ 

I i ji 

Όπου: V t ,το μέτρο της τάσεως των ακροδεκτών της σύγχρονης μηχανής 

θ ,η γωνία τάσης των ακροδεκτών που προκύπτει από την επίλυση 

της ροής φορτίου. 

Η θέση του άξονα της μηχανής ως προς το σύστημα αξόνων του συστήματος γίνεται 

από την ΗΕΔ μόνιμης κατάστασης( Eqd) που ορίζεται από την σχέση: 

~ 25 ~

E = V + I ( r + jX ) = E ∠ δ 

(2.1.36) 

qd t G a q qd 

0 

Και με βάση την (17) έχουμε: 

E = u + X i = E −( 

X − X ) i 

(2.1.37) 

qd q q d q d q d 

Η αρχικοποίηση των συνθηκών της Σύγχρονης Μηχανής παρουσιάζεται αναλυτικά 

στο παρακάτω σχήμα. 

2.1.5)Ευστάθεια Σύγχρονης Μηχανής 

Κατά την διάρκεια μιας διαταραχής το σημείο λειτουργίας της μηχανής 

μετατοπίζεται γεγονός που οδηγεί σε αλλαγή της τιμής της γωνίας δ, καθώς 

σχετίζεται με τη σχετική θέση των πεδίων που δημιουργούν τα τυλίγματα του στάτη 

με αυτά του δρομέα στο διάκενο της μηχανής και της τιμής της ταχύτητας 

περιστροφής του δρομέα. 

Για περίπτωση μικρής διαταραχής η τιμή της γωνίας από 

• • 

δ = ω− ω →Δ δ = ω Δω (2.1.38) 

( 1) 

0 

0 

και η ταχύτητα περιστροφής του δρομέα από 

~ 26 ~

• • 

2H 

ω =Τ −T 

→2ΗΔ ω =ΔΤ −ΔT 

m e m 

e 

(2.1.39) 

Η μηχανή όπως έχουμε αναφέρει προσπαθεί να διατηρηθεί σε συγχρονισμό και 

για τον λόγο αυτό προσεγγίζει ένα νέο σημείο ισορροπίας, με αποτέλεσμα τα 

τυλίγματα του στάτη και του δρομέα να εμφανίζουν στον άξονα της μηχανής 

μεταβατικές ηλεκτρομαγνητικές ροπές που είναι , η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής 

ροπής και η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής απόσβεσης. 

Η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής συμβολίζεται με T s , και προσπαθεί να 

ευθυγραμμίσει τα μαγνητικά πεδία του στάτη και του δρομέα. Καθώς η σχετική 

θέση των πεδίων περιγράφεται από τη γωνία δ, είναι ανάλογη της μεταβολής Δδ. 

Η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής απόσβεσης συμβολίζεται με Τ d , και 

προσπαθεί να διατηρήσει σταθερή την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα, για 

αυτό το λόγο είναι ανάλογη της Δω. 

Έτσι η μεταβολή της ηλεκτρομαγνητικής ροπής της σύγχρονης μηχανής 

περιγράφεται από την εξίσωση: 

ΔΤ = K Δ δ + K Δ ω 

(2.1.40) 

e s D 

Οι συντελεστές Κ s και Κ D ονομάζονται συντελεστές, συγχρονισμού και 

απόσβεσης, αντίστοιχα, και εξαρτώνται από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της 

μηχανής, το σημείο λειτουργίας της, τη συνολική σύνθετη αντίσταση του δικτύου 

και τη δράση των ρυθμιστών. 

Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη μεταβολή της γωνίας δρομέα είναι η : 

K D 

K s 

ω 

2H 

2H 

•• 

• 

0 

Δ δ+ Δ δ+ Δ δ = 0 

(2.1.41) 

Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει μιγαδικές ιδιοτιμές, όπου οι τιμές των Κ D και Κ s 

καθορίζουν την απόκριση της γωνίας ροπής της μηχανής σε μία μικρή διαταραχή. Ο 

συντελεστής συγχρονισμού έχει μεγαλύτερες τιμές από τον συντελεστή απόσβεσης. 

Αν δεχθούμε αυτήν την προσέγγιση θα δούμε ότι η συχνότητα που εκδηλώνεται η 

ταλαντωτική απόκριση της γωνίας του δρομέα δίνεται από την σχέση: 

ω0 K 

s 

ωem 

≈ ( rad / sec) 

(2.1.42) 

2H 

~ 27 ~

Η ω em ορίζει μια προσέγγιση της συχνότητας των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων που εκδηλώνει η σύγχρονη μηχανή για μικρή μεταβολή από το 

αρχικό σημείο ισορροπίας . 

Αν αναλύσουμε την ηλεκτρομαγνητική ροπή σε συνιστώσες συγχρονισμού και 

απόσβεσης στο πεδίο της συχνότητας σε μια ηλεκτρομηχανική ταλάντωση θα 

έχουμε: 

Όπου παρατηρούμε ότι η φασική απόκλιση της γωνίας δ και της ταχύτητας του 

δρομέα είναι 90 ο . Ακόμα παρατηρούμε ότι η ηλεκτρομαγνητική ροπή Τ e στη 

συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης θα πρέπει να έχει συγκεκριμένη 

κατεύθυνση για να έχουμε ευστάθεια. Εμφανίζεται μηχανική ισχύ αντίρροπη από 

αυτής της μηχανής, γιατί σε μια μικρή διαταραχή της ηλεκτρομαγνητικής ροπής η 

μηχανική ροπή αντιτίθεται στην μεταβολή της γωνίας δρομέα όπως και της 

ταχύτητας περιστροφής για να διατηρείται η ευστάθεια της απόκρισης της 

μηχανής. 

Αν βρεθούμε στο 2 ο τεταρτημόριο έχουμε θετική ροπή απόσβεσης αλλά 

αρνητική ροπή συγχρονισμού γεγονός που οδηγεί σε εκθετική αστάθεια. Αν 

βρεθούμε στο 4 ο τεταρτημόριο η ροπή συγχρονισμού είναι θετική αλλά η ροπή 

απόσβεσης είναι αρνητική με αποτέλεσμα την ταλαντωτική αστάθεια μικρών 

διαταραχών. 

2.2)Ρυθμιστές στροφών 

Ο ρυθμιστής στροφών ελέγχει την ταχύτητα περιστροφής μια σύγχρονης 

γεννήτριας. Αυτό το πετυχαίνει με δυο τρόπους: 

~ 28 ~

1.) Μετά από μια μικρή διαταραχή του συστήματος ή μεταβολή του φορτίου ο 

ρυθμιστής αντιδρά ώστε η νέα συχνότητα να προσεγγίσει την ονομαστική. 

2.) Μετά από μια μεγάλη διαταραχή μεταβάλει την παραγόμενη ισχύ της 

γεννήτριας ώστε να διορθώσει την μόνιμη απόκλιση της συχνότητας . 

Οι ρυθμιστές στροφών ωστόσο δεν επιδρούν στις ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις 

και για τον λόγο αυτό δεν θα τις εξετάσουμε. 

2.3.)Αυτόματοι Ρυθμιστές Τάσης (ΑΡΤ) 

Ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης (ΑΡΤ ή AVR) επεξεργάζεται τα σήματα ελέγχου με 

στόχο να μεταβάλει το ρεύμα στο τύλιγμα πεδίου με συνεχή και αυτόματο τρόπο 

ώστε η τάση των ακροδεκτών της γεννήτριας να παραμένει σταθερή. Ακόμα ρόλος 

του είναι να επεξεργάζεται τάχιστα τις μεταβατικές διαταραχές της γεννήτριας για 

να εξασφαλίζεται η λειτουργία της σε περιπτώσεις υπερφόρτισης, υπερδιέγερσης ή 

υποδιέγερσης. Ο γενικότερος ρόλος του ΑΡΤ είναι να φροντίζει να διατηρεί 

σταθερές τις τάσεις των ζυγών με αποτέλεσμα να αυξάνει τη συνολική ευστάθεια 

του συστήματος. 

Άρα ο ρόλος του είναι διττός, αφενός να διατηρεί τη γεννήτρια σε συγχρονισμό 

και αφετέρου να ρυθμίζει κατάλληλα το ρεύμα πεδίου ώστε να διατηρείται η 

ευστάθεια του συστήματος για μικρές διαταραχές. 

Για την υλοποίηση των παραπάνω ο AVR έχει τρεις διακριτές λειτουργίες: 

1. Μέτρηση της τερματικής τάσης, όπου μετράται η τερματική τάση και συγκρίνεται 

με την τάση αναφοράς. 

2. Έλεγχος των ορίων φόρτισης, όπου επιτηρείται η λειτουργία της γεννήτριας 

ώστε να μην δουλεύει σε όρια ανώτερα της ικανότητας φόρτισης της . 

3. Προστασία της διάταξης όταν υφίσταται συνεχή υπερδιέγερση ή υποδιέγερση η 

γεννήτρια. 

Τα μαθηματικά μοντέλα των αυτόματων ρυθμιστών τάσης μπορεί να είναι 

εξαιρετικά πολύπλοκα. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι αυτό που φαίνεται στο 

παρακάτω σχήμα: 

~ 29 ~

Όπου ο ρυθμιστής τάσης περιγράφεται σαν μια βαθμίδα πρώτης τάξης με 

κέρδος K Α και χρονική σταθερά Τ Α . Η διεγέρτρια είναι μια βαθμίδα με υστέρηση 

φάσης Τ Α . Η χρονική σταθερά του πρωτοβάθμιου αυτού μοντέλου είναι η χρονική 

σταθερά ανοιχτοκύκλωσης του τυλίγματος του πεδίου. 

Στα στρεφόμενα συστήματα διέγερσης οι χρονικές σταθερές της διεγέρτριας και 

του ρυθμιστή εισάγουν χρονικές καθυστερήσεις γεγονός που καθιστά ασταθή τον 

βρόχο ακόμα και για χαμηλές τιμές του κέρδους του ρυθμιστή. Για τον λόγο αυτό 

εισάγεται μια βαθμίδα αντιστάθμισης με στόχο την ελαχιστοποίηση της υστέρησης 

της φάσης ώστε να μπορεί να επιτευχθεί η ευσταθής λειτουργία της μηχανής εν 

κενώ, όπως δηλαδή συμβαίνει πριν τον συγχρονισμό της γεννήτριας ή αμέσως μετά 

μια μεγάλη απόρριψη φορτίου. 

Η ρύθμιση των παραμέτρων του AVR είναι μια δύσκολη διαδικασία και έχει να 

κάνει κατά κύριο λόγο με το κέρδος στις συχνότητες των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων και την χρονική σταθερά. 

Στο εύρος συχνοτήτων των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων η απόκριση των 

συστημάτων διέγερσης καθορίζεται από το παρακάτω απλοποιημένο γραμμικό 

πρωτοβάθμιο σύστημα : 

Όπου η σταθερά Κ Ε είναι το κέρδος στην συχνότητα των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων και Τ Ε είναι η σταθερά χρόνου. Η εξίσωση που περιγράφει τη 

μεταβολή της Ηλεκτρεγερτικής δύναμης διεγέρσεως λόγω της δράσης του 

αυτόματου ρυθμιστή τάσης είναι η : 

• 

TE Efd = KE( Vr − Vt) 

Efd 

~ 30 ~

2.4.) Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος (ΣΣΙ ή PSS) 

Η σύνθετη δράση του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης του τυλίγματος πεδίου και 

του τυλίγματος απόσβεσης εισάγει θετική ροπή συγχρονισμού και αρνητική ροπή 

απόσβεσης. Η συνιστώσα ροπής επομένως βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο. Για να 

αντιμετωπιστεί η φασική αυτή υστέρηση εισάγεται στο σύστημα ο Σταθεροποιητής 

Συστήματος Ισχύος (Power System Stabilizer) ο οποίος δημιουργεί προπορεία στην 

φάση με αποτέλεσμα η συνιστώσα ροπής του συστήματος να μετατοπίζεται στο 1 ο 

τεταρτημόριο, γεγονός που οδηγεί στην απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων. 

Η συνάρτηση μεταφοράς του σταθεροποιητή είναι η : 

ΔV PSS() s = s 

() s Δ ω 

Το σύστημα το οποίο αποτελείται από την εν σειρά σύνδεση του συστήματος 

διέγερσης, του AΡΤ και του ΣΣΙ δημιουργεί μια μηδενική φάση με το σύστημα ΑΡΤ, 

διέγερσης το οποίο είναι σε φάση με την μεταβολή της ταχύτητας Δω και έχει σαν 

αποτέλεσμα την καθαρή ροπή απόσβεσης. 

Για την ορθή λειτουργία του συστήματος γίνεται κατανοητό πως ούτε ο 

σταθεροποιητής ούτε ο αυτόματος ρυθμιστής τάσης δεν μπορούν να δουλέψουν 

ανεξάρτητα, παρά μόνο συμπληρωματικά. Είναι και τα δυο συστήματα απαραίτητα 

για τον ορθό έλεγχο και λειτουργία της διάταξης. 

Το σύστημα διέγερσης σε συνδυασμό με τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης 

δημιουργούν καθυστέρηση φάσης στην ηλεκτρομηχανική ροπή της γεννήτριας. Για 

τον λόγο αυτό στην είσοδο του συστήματος παρεμβάλλονται διατάξεις 

αντιστάθμισης φάσης( ΣΣΙ). Οι διατάξεις αυτές είναι οι σταθεροποιητές, οι οποίοι 

όταν δέχονται ένα σήμα που σχετίζεται με την ταλάντωση του δρομέα 

αντισταθμίζουν την καθυστέρηση φάσης που εισάγει η διέγερση, με τρόπο τέτοιο 

ώστε να αυξάνεται η συνιστώσα ροπής απόσβεσης της ηλεκτρομηχανικής ροπής. 

Αυτό μπορεί να επιτευχτεί είτε με μεταβολή της ταχύτητας του δρομέα, είτε με 

μεταβολή της ηλεκτρικής ισχύος ή της συχνότητας. 

Ο σταθεροποιητής πρέπει να περιλαμβάνει πολλαπλά επίπεδα προπορείας της 

φάσης για την αντιστάθμιση του AVR, για όλες τις τιμές συχνοτήτων που 

εμφανίζονται οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις. Το κέρδος του σταθεροποιητή 

πρέπει να είναι χαμηλό για να αποφεύγεται η αλληλεπίδραση με το σύστημα 

~ 31 ~

διέγερσης στις περιπτώσεις που δεν έχουμε ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις. Ακόμα 

θα πρέπει να μειώνεται στις υψηλές συχνότητες για να μην υπάρχει 

αλληλεπίδραση με τις στρεπτικές ταλαντώσεις άξονα στροβίλου‐ γεννήτριας, όπως 

επίσης και για να μειώνεται η επίδραση θορύβου. 

Ο σταθεροποιητής δυο βαθμίδων που παρουσιάζεται είναι αυτός που θα 

χρησιμοποιήσουμε και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Στην είσοδο του σταθεροποιητή παρεμβάλλεται ένα υψιπερατό φίλτρο για να 

μηδενίζεται η είσοδος του σταθεροποιητή στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Το 

φίλτρο αυτό ωστόσο δεν επιδρά σημαντικά στους ρυθμούς των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων αν έχει μια κατάλληλη σταθερά και μπορεί να παραλειφθεί. 

Ο Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος (Power System Stabilizer) επιδρά είτε στο 

σύστημα διέγερσης ή στο στρόβιλο μίας σύγχρονης γεννήτριας και παρέχει 

πρόσθετη ροπή απόσβεσης στις ταλαντώσεις του δρομέα της σε ένα επιθυμητό 

εύρος συχνοτήτων. Για το σκοπό αυτό, ο σταθεροποιητής παράγει στην έξοδό του 

μία συνιστώσα της ηλεκτρικής ροπής, η οποία είναι σε φάση με την απόκλιση της 

ταχύτητας του δρομέα της γεννήτριας. Ο σταθεροποιητής λειτουργεί αφήνοντας 

ανεπηρέαστη την τερματική της τάση στη μόνιμη κατάσταση. Σαν είσοδοι του 

σταθεροποιητή χρησιμοποιούνται σήματα ανάλογα είτε της ταχύτητας του 

δρομέα, είτε της συχνότητας εξόδου είτε της ενεργού παραγωγής της γεννήτριας. 

Το εξεταζόμενο μοντέλο έχει σαν είσοδο την ανά μονάδα απόκλιση της γωνιακής 

ταχύτητας του δρομέα, και αποτελείται από ένα υψιπερατό φίλτρο, δύο διατάξεις 

αντιστάθμισης φάσης και μία βαθμίδα κέρδους. Το σήμα εξόδου V PSS του 

σταθεροποιητή προστίθεται στον κύριο αθροιστή εισόδου του ΑΡΤ της γεννήτριας. 

Το υψιπερατό φίλτρο διαθέτει αρκετά μεγάλη σταθερά χρόνου T W ώστε να 

επιτρέπει στα σήματα που σχετίζονται με τις ταλαντώσεις της γωνιακής ταχύτητας 

του δρομέα να το διαπερνούν αναλλοίωτα. Η παρουσία του εξασφαλίζει ότι ο 

σταθεροποιητής ενεργοποιείται μόνο σε απότομες μεταβολές της ταχύτητας της 

μηχανής. 

Ακολούθως, κάθε μία διάταξη αντιστάθμισης φάσης παρέχει την επιθυμητή 

γωνία προπορείας (T 1 >T 2 και T 3 >T 4 ) ώστε να αντισταθμιστεί η διαφορά φάσης 

μεταξύ της εισόδου της διεγέρτριας και της ηλεκτρομαγνητικής ροπής. Σε γενικές 

~ 32 ~

γραμμές, πάντως, η διαφορά φάσης δεν αντισταθμίζεται πλήρως, με αποτέλεσμα ο 

σταθεροποιητής εκτός της ροπής αποσβέσεως να αυξάνει ελάχιστα και τη ροπή 

συγχρονισμού. 

Τέλος, η βαθμίδα κέρδους καθορίζει το μέγεθος της απόσβεσης που εισάγεται 

από τη διάταξη του σταθεροποιητή . Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του κέρδους K PSS , 

τόσο μεγαλύτερη ροπή απόσβεσης εισάγει η διάταξη αυτή. Ωστόσο, για λόγους 

ευστάθειας το παραπάνω κέρδος δεν μπορεί να ξεπεράσει μία μέγιστη τιμή. 

Στο χώρο κατάστασης, το εξεταζόμενο μοντέλο σταθεροποιητή παρουσιάζει τις 

εξής τρεις μεταβλητές κατάστασης: 

PSS 

• Τη μεταβλητή x W 

, η οποία συνδέεται με το υψιπερατό φίλτρο στην είσοδο. 

PSS 

PSS 

• Τις μεταβλητές x 1 

και x 2 

, οι οποίες συνδέονται με τις δύο βαθμίδες 

αντιστάθμισης φάσης. 

Η δυναμική απόκριση του ΣΣΙ περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις: 

PSS 

W 

x 

1 

= − 

T 

W 

PSS 

W 

x 

1 

+ 

T 

W 

ωr 

−ω 

ω 

b 

ref 

r 

⎡ 

ref 

1 

⎛ ⎞ − 

= − 

PSS K + 

PSS T 

⎜ − 

1 ω 

PSS 

⎟ 

r ωr 

x1 

⎢ − xW 

T2 

T2 

⎝ T2 

⎠⎣ 

ωb 

PSS 

1 1 

x 

x 

⎡ 

⎛ 

ref 

1 ⎛ ⎞ 

− 

= − 

PSS 1 T + ⎢ + ⎜ 

⎜ − 

3 PSS T 

PSS 

⎟ 

1 ωr 

ωr 

x2 

x1 

K PSS 

− xW 

T4 

T4 

⎝ T4 

⎠⎢⎣ 

T2 

⎝ ωb 

PSS 

2 1 

Το σήμα εξόδου V PSS του σταθεροποιητή υπολογίζεται από την Εξίσωση: 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎞⎤ 

⎟ 

⎥ 

⎠⎥⎦ 

V 

PSS 

= x 

PSS 

2 

T 

+ 

T 

3 

4 

⎡ 

⎢x 

⎢⎣ 

PSS 

1 

+ K 

PSS 

T 

T 

1 

2 

⎛ ω 

⎜ 

r −ωr 

⎝ ωb 

ref 

− x 

PSS 

W 

⎞⎤ 

⎟ 

⎥ 

⎠⎥⎦ 

~ 33 ~

3 ο Κεφάλαιο 

3.1)ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 

H δυναμική συμπεριφορά του ΣΗΕ περιγράφεται από ένα σύστημα μη 

γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της μορφής: 

x = f ( x, u, 

p) 

(3.1.1) 

Με εξόδους: 

y = h ( x, u, p) 

(3.1.2) 

Και αλγεβρικούς περιορισμούς: 

0= 

g ( x, u, p) 

(3.1.3) 

Όπου: 

• x είναι το n x1 διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης συνεχούς χρόνου. 

• u είναι το m x1 διάνυσμα των μεταβλητών εισόδου. 

• p είναι το n p x1 διάνυσμα των παραμέτρων του συστήματος. 

Αν ο Ιακωβιανός πίνακας των αλγεβρικών περιορισμών αντιστρέφεται στο 

σημείο ισορροπίας, τότε το σύστημα των εξισώσεων (3.1.1) και (3.1.2), μπορεί να 

γραμμικοποιηθεί στην ακόλουθη μορφή: 

Δ x = ΑΔ x + ΒΔu 

(3.1.4) 

Δ y = CΔ x+ DΔu 

(3.1.5) 

Όπου: 

• Α είναι ο n x n πίνακας κατάστασης. 

• Β είναι ο n x m πίνακας εισόδου. 

• C είναι ο v x n πίνακας εξόδου. 

• D είναι ο v x m απευθείας πίνακας εισόδου 

~ 34 ~

Ο μετασχηματισμός Laplace των εξισώσεων (1.4), (1.5), δίνει τoν πίνακα 

συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος: 

Δy 1 

() s ( s 

− 

= C I− A) 

B+ 

D (3.1.6) 

Δu 

Ο παρονομαστής της (1.6) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και δίνει τη 

χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα κατάστασης: 

det( s I − A) 

= 0 

(3.1.7) 

Οι λύσεις της (3.1.7) είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος (πόλοι της συνάρτησης 

μεταφοράς) για το συγκεκριμένο σημείο ισορροπίας. Οι ιδιοτιμές του συστήματος 

είναι ανεξάρτητες από την επιλογή των μεταβλητών κατάστασης και 

συμβολίζονται: 

λ = σ + jω για i = 1,..., 

n (3.1.8) 

i 

i 

Θεωρήσαμε ότι οι n ιδιοτιμές είναι διακριτές μεταξύ τους, για μεγαλύτερη 

διευκόληνση. 

Έστω ότι σε ένα διάνυσμα v διαστάσεων nx1 εκτελείται ένας γραμμικός 

μετασχηματισμός, που περιγράφεται από έναν nxn πίνακα A, έτσι ώστε το 

αποτέλεσμα να είναι στην ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα v. 

A v= λv 

(3.1.9) 

Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για ένα μη μηδενικό διάνυσμα v πρέπει να 

ισχύει η σχέση: 

i 

det( λ I − A) 

= 0 

(3.1.10) 

Κάθε λύση της παραπάνω εξίσωσης, ορίζει μια ιδιοτιμή του πίνακα Α και σε 

κάθε ιδιοτιμή λ i αντιστοιχεί κάποιο διάνυσμα v i που ικανοποιεί τη σχέση (3.1.10), 

και το οποίο ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής. Έτσι, για την ιδιοτιμή λ i 

του πίνακα κατάστασης του συστήματος (3.1.4), το δεξιό ιδιοδιάνυσμα ορίζεται ως 

το nx1 διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση: 

Au 

i 

= λ u 

(3.1.11) 

i 

i 

Ομοίως, για την ιδιοτιμή λ i του πίνακα κατάστασης του συστήματος (3.1.4), το 

αριστερό ιδιοδιάνυσμα ορίζεται ως το 1 x n διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση: 

wA = λ w 

(3.1.12) 

i 

i 

i 

Το αριστερό ιδιοδιάνυσμα μπορεί να ορισθεί ισοδύναμα σαν το ανάστροφο 

δεξιό ιδιοδιάνυσμα του Α Τ δηλαδή του ανάστροφου πίνακα του Α. Αν οι ιδιοτιμές 

είναι όλες διακριτές, τότε τα αριστερά και δεξιά ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν 

σε διαφορετικές ιδιοτιμές, είναι ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή ισχύει ότι: 

ν w = 0 

j 

i 

i ≠ j 

(3.1.13) 

Αντίθετα, το δεξιό και αριστερό ιδιοδιάνυσμα της ίδιας ιδιοτιμής έχουν μη 

μηδενικό εσωτερικό γινόμενο: 

vw 

j 

i 

= C i 

i = j 

(3.1.14) 

~ 35 ~

Τα αριστερά ιδιοδιανύσματα συνήθως κανονικοποιούνται, έτσι ώστε C i = 1. 

Έστω ότι ορίζεται ο nxn πίνακας U με στήλες τα δεξιά ιδιοδιανύσματα, και ο nxn 

πίνακας V με γραμμές τα αριστερά ιδιοδιανύσματα του πίνακα κατάστασης Α: 

V = v v ] 

(3.1.15) 

[ 

1 

n 

W = w w ] Τ 

(3.1.16) 

[ 

1 

n 

Τότε, από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι 

VW = WV = I 

(3.1.17) 

Δηλαδή, οι πίνακες V και W είναι αντίστροφοι. 

Ρυθμοί Απόκρισης 

Η ελεύθερη απόκριση του συστήματος, περιγράφεται από την (3.1.4) για u = 0 

και η λύση της για το x o διάνυσμα αρχικών συνθηκών των μεταβλητών κατάστασης 

είναι: 

o 

At 

x( t, 

x ) = e x 

(3.1.18) 

o 

Στην περίπτωση που ο πίνακας Α έχει n διακριτές ιδοτιμές τότε υπάρχει ένας 

αντιστρέψιμος πίνακας Ρ, τέτοιος ώστε: 

Όπου: 

−1 

A = P Λ Ρ 

Ρ = U = 

[ u u ] 

1 

2 

u n 

(3.1.19) 

(3.1.20) 

Ρ 

1 

= V v1 

v 2 v n 

− = [ ] Τ 

(3.1.21) 

Και Λ = diag( λ1 λ2 

λn 

) 

(3.1.22) 

Ο μετασχηματισμός του πίνακα κατάστασης Α με χρήση των πινάκων U και V 

στο διαγώνιο πίνακα Λ με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Α ονομάζεται μετασχηματισμός 

ομοιότητας. 

Η ελεύθερη απόκριση της x i μεταβλητής κατάστασης του συστήματος, έχει 

μορφή: 

i 

n 

∑ 

x ( t) 

= K exp( λ t) 

i= 

1 

i 

i 

i = 1, …, n (3.1.23) 

Είναι προφανές ότι μια πραγματική ιδιοτιμή καθορίζει μια μονοτονική 

συμπεριφορά του συστήματος ενώ ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών καθορίζει μια 

~ 36 ~

ταλάντωση. Η ευστάθεια της απόκρισης κρίνεται από το πρόσημο του πραγματικού 

μέρος της κάθε ιδιοτιμής. 

Ρυθμός απόκρισης 

Ως ρυθμός απόκρισης z i ορίζεται ως ο μετασχηματισμός των μεταβλητών 

κατάστασης που ορίζει η σχέση: 

z () t = w Δx() 

t 

(3.1.24) 

i 

i 

Πολλαπλασιάζοντας την (1.4) με το αριστερό ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ i 

z = λ z + wΒΔu 

(3.1.25) 

i i i i 

Έτσι, οι n συζευγμένες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της (3.1.4) έχουν 

αποζευχθεί και ο ρυθμός απόκρισης i υπολογίζεται ανεξάρτητα από τους 

υπόλοιπους. 

Ανάλυση ρυθμών δυναμικού συστήματος 

Η ανάλυση ενός δυναμικού συστήματος με τη βοήθεια του μετασχηματισμού 

των μεταβλητών κατάστασης στους αντίστοιχους ρυθμούς, λέγεται ανάλυση 

ρυθμών (modal analysis). Με την ανάλυση αυτή, η συμπεριφορά του συστήματος 

αναλύεται με τη βοήθεια των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν 

στους ρυθμούς και παρέχουν πληροφορίες για τη μορφή τους. Η μορφή του 

ρυθμού (mode shape) καθορίζεται από το δεξιό ιδιοδιάνυσμα. 

Η ελεύθερη απόκριση (u = 0) του ρυθμού ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: 

z ( t) 

= z (0) exp( λ t) 

(3.1.26) 

i 

i 

i 

Λόγω της ορθογωνιότητας των ιδιοδιανυσμάτων ο ορισμός της (1.24) γράφεται 

ισοδύναμα σε μορφή πινάκων ως εξής: 

z( t) 

= V Δx( 

t) 

(3.1.27) 

Από όπου προκύπτει: 

Δx ( t) 

= Uz( 

t) 

(3.1.28) 

Συνεπώς, το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης μπορεί να γραφτεί σαν το 

άθροισμα των ρυθμών πολλαπλασιασμένο με τα αντίστοιχα δεξιά ιδιοδιανύσματα: 

~ 37 ~

Δ x() t =∑ z () t v 

n 

i 

i= 

1 

i 

(3.1.29) 

Από την (3.1.29), φαίνεται ότι τα στοιχεία του δεξιού ιδιοδιανύσματος 

καθορίζουν την επίδραση που έχει ένας ρυθμός στις μεταβλητές κατάστασης. 

Επιπλέον, καθώς ο ρυθμός z i είναι βαθμωτό μέγεθος, δίνουν μια αίσθηση της 

κατεύθυνσης στο διανυσματικό χώρο που ορίζουν, προς την οποία το σημείο 

λειτουργίας θα μετατοπιστεί για μια μικρή απόκλιση από το σημείο ισορροπίας και 

ότι η απόκριση του γραμμικοποιημένου δυναμικού συστήματος είναι ένας 

γραμμικός συνδυασμός των ρυθμών του ενώ από την (3.1.26) προκύπτει ότι αν το 

σύστημα έχει διακριτές ιδιοτιμές τότε οι αντίστοιχοι ρυθμοί είναι αποζευγμένοι και 

ανεξάρτητοι μεταξύ τους. 

Από την (3.1.24) φαίνεται ότι τα στοιχεία του αριστερού ιδιοδιανύσματος 

καθορίζουν τη συμμετοχή που έχουν οι μεταβλητές κατάστασης στην εμφάνιση 

ενός ρυθμού. Από τις (3.1.24) και (3.1.29) προκύπτει ότι η ελεύθερη απόκριση του 

συστήματος, δίνεται από τη σχέση: 

n 

∑ 

i= 

1 

λ t 

n 

∑ 

i 

i 

Δx ( t) 

= u z e = u v x e 

(3.1.30) 

i 

i o 

i= 

1 

i 

i 

o 

λ t 

Ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών λ i , λ * i με λ i = σ i + jω i , εισάγει στην απόκριση του 

συστήματος έναν όρο της μορφής: 

σ it 

e sin( ωit 

+ θ ) 

(3.1.31) 

Η συχνότητα της ταλάντωσης f i δίνεται από τη σχέση: 

ωi 

f i = (3.1.32) 

2π 

Τέλος, ο λόγος απόσβεσης ζ i του ρυθμού i καθορίζει την εξασθένιση του 

πλάτους της ταλάντωσης και δίνεται από τη σχέση: 

ζ 

i 

−σ 

i 

= (3.1.33) 

σ + ω 

2 

i 

2 

i 

Προφανώς αν η ιδιοτιμή λ i = σ i + jω i έχει αρνητικό πραγματικό μέρος (ευσταθής 

λειτουργία), ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης είναι θετικός (ζ i > 0), ενώ για θετικό 

πραγματικό μέρος (ασταθής λειτουργία), η απόσβεση είναι αρνητική (ζ i < 0). 

~ 38 ~

Ευαισθησία ιδιοτιμών 

Η ευαισθησία των ιδιοτιμών δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι 

ιδιοτιμές όταν αλλάζει κάποια παράμετρος του πίνακα κατάστασης. Ως δείκτης 

ευαισθησίας των μιας ιδιοτιμής λαμβάνεται το μέτρο του συντελεστή συμμετοχής, 

ο οποίος ορίζεται παρακάτω. 

Από την (3.1.11) παραγωγίζοντας ως προς κάποια παράμετρο α του πίνακα 

κατάστασης, είναι: 

∂ Α 

u 

∂a 

i 

∂ u i 

+ A 

∂a 

∂λi 

= u 

∂a 

i 

∂ u i 

+ λi 

∂a 

(3.1.34) 

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη με το αριστερό ιδιοδιάνυσμα v i προκύπτει 

τελικά: 

∂λi 

= 

∂a 

∂A 

v i u ∂ a 

v u 

i 

i 

i 

(3.1.35) 

Συντελεστής συμμετοχής 

Στη σχέση (1.35) αν η παράμετρος α είναι το διαγώνιο στοιχείο του πίνακα 

κατάστασης α rr που βρίσκεται στην r γραμμή και στήλη, τότε αν v i u i =1, ισχύει: 

∂λi 

= v i ( r) 

ui 

( r) 

= pi 

( r) 

(3.1.36) 

∂a 

rr 

Το γινόμενο του r στοιχείου του αριστερού και του δεξιού ιδιοδιανύσματος του 

ρυθμού i, ορίζει τον συντελεστή συμμετοχής της μεταβλητής κατάστασης x r στο 

ρυθμό i. Ο συντελεστής συμμετοχής είναι ένα αδιάστατο μέγεθος, λόγω του 

τρόπου με τον οποίο τα αριστερά και δεξιά ιδιοδιανύσματα ορίζονται. 

Ο συντελεστής συμμετοχής καθορίζει ποια μεταβλητή κατάστασης επηρεάζει 

περισσότερο τη μετατόπιση μιας ιδιοτιμής. Μικρή τιμή του μέτρου, σημαίνει μικρή 

επίδραση της συγκεκριμένης μεταβλητής κατάστασης στο ρυθμό, δηλαδή η μικρή 

επίδραση της μεταβολής του αντίστοιχου στοιχείου της διαγωνίου στον πίνακα 

κατάστασης στο ρυθμό. 

Οι συντελεστές συμμετοχής χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση διατάξεων ελέγχου 

κυρίως για τον εντοπισμό της μεταβλητής κατάστασης που προκαλεί τη μεγαλύτερη 

~ 39 ~

επίδραση σε κάποιο ρυθμό και κατά συνέπεια να δώσει τον χαρακτηρισμό του 

ρυθμού. 

3.2) Γραμμικοποίηση συστήματος μηχανής –άπειρου ζυγού 

Για μεγαλύτερη και ευκολότερη δυνατότητα ελέγχου και υπολογισμού των 

ροπών απόσβεσης ,των ροπών συγχρονισμού όπως και της τάσης των ακροδεκτών, 

οι διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική 

συμπεριφορά γραμμικοποιούνται. Τα ρεύματα του στάτη εκφράζονται συναρτήσει 

της τάσεως του ζυγού αναφοράς, της τάσης του δικτύου, των δυναμικών 

χαρακτηριστικών της μηχανής και απαλείφονται από τις εξισώσεις των μηχανών. 

Απαλείφονται οι ζυγοί στους οποίους δεν συνδέεται καμία δυναμική διάταξη, με 

αποτέλεσμα το δίκτυο να έχει έναν ελαττωμένο πίνακα αγωγιμοτήτων με τους 

ζυγούς που συνδέονται στην μηχανή. 

Για την μελέτη μας θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο μηχανής –άπειρου ζυγού του 

παρακάτω σχήματος. 

V 

t 

V0∠ 0° 

Η τάση των ακροδεκτών της σύγχρονης μηχανής με την τάση του ζυγού συνδέονται 

με την σχέση: 

V = υ + jυ = ( V sinδ + jV cos δ) + ( R + jX )( i + ji ) 

(3.2.1) 

t d q ∞ 

∞ 

e e d q 

Οι τάσεις του στάτη στους άξονες της μηχανής είναι: 

υd 

= V∞ 

sinδ 

−Χ 

eiq 

+ Ri 

e d 

(3.2.2) 

υq 

= V∞ 

cosδ 

+Χ 

eid 

+ Ri 

e q 

(3.2.3) 

Όπου αν αντικατασταθούν στον πίνακα (2.1.22) προκύπτει: 

~ 40 ~

⎡id⎤ 1 ⎛ r ' ' ' sin 

a 

+ Re X 

q+ 

X 

e⎞⎛E 

d−V∞ 

δ ⎞ 

⎢ 

i 

⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟ 

⎣ q⎦ A ( X ' ) 

E' 

q 

cos 

s ⎝− d+ Xe ra + R −V 

δ 

e ⎠⎝ ∞ ⎠ 

(3.2.4) 

Με 

A r R X X X X 

2 

s 

= ( 

a 

+ 

e) + ( ' 

d+ e)( ' 

q+ 

e) 

Η γραμμικοποίηση της (3.2.4) δίνει : 

r + R X ' + X V 

Δ i = Δ E' + − [( r + R )cos δ − ( X ' + X )sin δ ] Δ δ (3.2.5) 

a e 

q e ∞ 

d d a e 0 q e 

As As As 

r + R X ' + X V 

Δ i = Δ E' + − [( r + R )sin δ + ( X ' + X )cos δ ] Δ δ (3.2.6) 

a e d e ∞ 

q q a e 0 q e 

As As As 

0 

0 

Οι μεταβατικές ΗΕΔ στους άξονες d‐q είναι : 

• 

T ' Δ E ' =ΔE −Δ E ' + ( X − X ') Δi 

d 

d0 

q fd q d d 

(3.2.7) 

• 

T ' 

q0 

Δ Eq' =−[ ΔEd ' −( Xq − Xq') 

Δ iq] 

(3.2.8) 

Και αντικαθιστώντας τις (3.2.5),(3.2.6) στις (3.2.7),(3.2.8) προκύπτουν οι : 

Δ E = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E ' 

(3.2.9) 

q 

4 3 q 11 

7 12 q 9 

d 

Δ E = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E ' 

(3.2.10) 

d 

d 

Με : 

K 

3 

ΔEq ( Xd − Xd ')( Xq' + Xe) 

= = 1+ 

ΔE 

' 

A 

q 

ΔE V ( X − X ') 

K = =− [( r + R )cos δ − ( Χ ' −X 

)sin δ ] 

q ∞ d d 

4 a e 0 q e 

Δδ 

As 

Δ Eq ( ra + Re)( Xd − Xd 

') 

Κ 

11 

= = 

ΔE 

' A 

d 

s 

s 

0 

(3.2.11) 

~ 41 ~

ΔE 

V ( X − X ') 

K = =− [( X ' + X )cos δ + ( r + R )sin δ )] 

K 

d ∞ q q 

7 d e 0 a e 

Δδ 

As 

12 

ΔE 

( ra + Re)( Xq −Xq') 

d 

= =− 

ΔE 

' 

A 

q 

ΔE 

( Xd ' + Xe)( Xq −Xq') 

d 

Κ 

9 

= = 1+ 

ΔE 

' 

A 

d 

s 

s 

0 

(3.2.12) 

Οι συντελεστές γραμμικοποίησης είναι οι Κ1‐Κ12 και περιγράφουν την μεταβολή 

των μεταβλητών ροπής, της τάσης ακροδεκτών και τις τάσεις Εq ,Εd ως προς τις 

μεταβλητές κατάστασης. Έτσι είναι δυνατό να παρασταθεί το μοντέλο της 

γεννήτριας στο πεδίο της συχνότητας. Εκεί είναι ευκολότερο να εξεταστεί η 

ευστάθεια της μηχανής για διάφορες συνθήκες λειτουργίας. 

Όπου Κ 3 ,Κ 4 ,Κ 11 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος πεδίου. 

Ειδικότερα ο Κ 3 περιγράφει την επίδραση της ωμικής αντίστασης και επαγωγικής 

αντίδρασης της γραμμής διασύνδεσης και του στάτη στην E q , όταν οι υπόλοιπες 

μεταβλητές κατάστασης είναι σταθερές. Ο Κ 4 περιγράφει την απομαγνήτιση του 

τυλίγματος του πεδίου αυξανόμενης της δ. Ο Κ 11 εκφράζει την επίδραση της 

μεταβατικής ΗΕΔ του άξονα d στον άξονα q. Έχουν και οι τρεις τιμές θετικό 

πρόσημο για τις περισσότερες μηχανές. 

Οι Κ 7 ,Κ 9 ,Κ 12 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος απόσβεσης. 

Ειδικότερα ο Κ 9 περιγράφει την επίδραση της ωμικής αντίστασης και επαγωγικής 

αντίδρασης της γραμμής διασύνδεσης και του στάτη στην E q , για μικρή μεταβολή 

της Ε d . Ο Κ 7 περιγράφει την απομαγνήτιση του τυλίγματος του πεδίου αυξανόμενης 

της δ. Ο Κ 12 εκφράζει την επίδραση της μεταβατικής ΗΕΔ του άξονα d στον άξονα 

q. Ο Κ 9 έχει πάντα θετικές τιμές, ο Κ 12 μικρές αρνητικές τιμές ενώ ο Κ 7 έχει τις 

περισσότερες των περιπτώσεων αρνητικές τιμές. 

Αντίστοιχα προκύπτει η γραμμικοποιημένη εξίσωση της ροπής της μηχανής στην 

μεταβατική κατάσταση και έχουμε: 

Δ T = i Δ E ' + i Δ E ' + [ E ' −( X ' − X ') i ] i + [ E ' −( X ' −X ') i ] 0 

i 

e q0 q d0 d q0 d q d0 q d0 

d q q d 

(3.2.13) 

και με αντικατάσταση των (3.2.5), (3.2.6) μας δίνει την 

Δ T = K Δ δ + K Δ E ' + K Δ E ' 

(3.2.14) 

e 

1 2 q 8 

d 

~ 42 ~

Με 

ΔΤ V 

K = = {[ E ' −( X ' − X ') i ][( r + R )sin δ + ( Χ ' + X )cos δ ] − 

e ∞ 

1 q0 d q d0 a e 0 d e 0 

Δδ 

As 

−[ E ' −( X ' − X ') i ][( r + R )cos δ −( Χ ' + X )sin δ ]} 

d0 d q q0 a e 0 q e 0 

Δ T r + R 

X ' + X 

Κ = = i + [ E ' −( X ' − X ') i ] + [ E ' −( X ' −X 

') i ] q0 

e a e 

q e 

2 q0 q0 d q d0 d0 

d q 

ΔΕq' 

As As 

K 

Δ T r + R 

= = i + 

e a e 

8 d 0 

ΔΕd 

' As 

(3.2.15) 

' 

[ E ' ( X ' X ') i X + X 

− − ] − [ E ' −( X ' − X ') i 

d e 

d0 d q q0 q0 

d q d0 A 

] 

s 

Οι Κ 1 ,Κ 2 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης της ηλεκτρομηχανικής ροπής. Ο 

Κ 1 είναι ο συντελεστής χρονισμού της μηχανής αν αμελήσουμε την επίδραση των 

τυλιγμάτων πεδίου και απόσβεσης. Ο K 2 εκφράζει την μεταβολή της ροπής σε μια 

μεταβολή του μαγνητικού ροής του τυλίγματος πεδίου, ενώ ο Κ 8 εκφράζει την 

μεταβολή της ροπής σε μια μεταβολή του τυλίγματος απόσβεσης. Οι Κ 1 , Κ 2 έχουν 

κατά κανόνα θετικές τιμές, αντίθετα ο Κ 8 έχει σχεδόν πάντα αρνητική τιμή. 

Η μεταβολή του μέτρου της τάσης ακροδεκτών είναι: 

υ 

υ 

d 0 

qo 

Δ Vt 

= Δ υd 

+ Δ υq 

(3.2.16) 

Vt0 Vt0 

Όπου : 

Δ υ = δ Δδ 

− Δ + Δ (3.2.17) 

d 

q 

V∞ 

cos 

0 

Xe 

i q 

R e 

i d 

Δ υ =− δ Δδ 

− Δ + Δ (3.2.18) 

V∞ 

sin 

0 

Xe 

i d 

R e 

i q 

Άρα το μέτρο τάσης των ακροδεκτών είναι : 

V 

1 

Δ V = ( υ cosδ −υ sin δ ) Δ δ + ( υ R −X υ ) Δ i q 

+ 

∞ 

t d0 0 q0 0 q0 e e d0 

Vt0 Vt0 

1 

+ ( υ R + X υ ) Δi 

V 

t0 

d0 e e q0 

d 

(3.2.19) 

Και προκύπτει με αντικατάσταση στην (3.2.19) των (3.2.5),(3.2.6): 

~ 43 ~

Δ V = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E ' 

(3.2.20) 

t 

Όπου 

5 6 q 10 

d 

ΔV 

V 

K = = { A ( υ cosδ − υ sin δ ) + [( X ' + X )cos δ + ( r + R )sin δ ][ υ R −υ 

X ] − 

t ∞ 

5 s d0 0 q0 0 d e 0 a e 0 q0 

e do e 

Δδ 

AV 

s t0 

− [( r + R )cos δ − ( X ' + X )sin δ ][ υ R + υ X ]} 

a e 0 q e 0 d0 

e qo e 

ΔV 

1 

K = = [( υ R − υ X )( r + R ) + ( υ R − υ X )( X ' + X )] 

K 

t 

6 qo e d 0 e a e do e q0 

e q e 

ΔEq' 

AV 

s t0 

10 

ΔVt 

= = 

ΔE 

' 

d 

1 

AV 

s 

t0 

[ −( υ R − υ X )( X ' + X ) + ( r + R )( υ R −υ 

X )] 

qo e d 0 e d e a e do e q0 

e 

(3.2.21) 

Οι Κ 5 ,Κ 6 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος πεδίου, ενώ ο Κ 10 

είναι ο συντελεστής γραμμικοποίησης που περιγράφει την επίδραση του 

τυλίγματος απόσβεσης στην τάση των ακροδεκτών. 

Επομένως το γραμμικό μοντέλο της σύγχρονης μηχανής 4 ης τάξης που περιγράφεται 

από τους συντελεστές γραμμικοποίησης είναι : 

⎛ 0 ω0 

0 0 0 ⎞ 

. 

⎛ ⎞ ⎜ 

⎟ 

1 D 1 1 

⎜ 

Δδ 

⎟ ⎜ − Κ1 − − K2 − K8 

0 ⎟ 

⎜ . ⎟ ⎜ 2Η 

2H 2H 2H 

⎟⎛Δδ 

⎞ 

⎛ 0 0⎞ 

⎜Δω 

⎟ ⎜ 1 1 1 1 ⎟⎜ 

⎟ 

⎜ ⎟ 

0 1 

Δω 

⎜ . ⎟ ⎜− K4 0 − K3 − K11 

⎟⎜ 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜Δ E ' Td0' Td0' Td0' Td0' 

q ⎟= ⎜ 

⎟⎜ΔEq 

' ⎟ 

⎜ 0 0⎟⎛ΔVref , t ⎞ 

+ 

⎜ 

. 

⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟⎜ ⎟ 

⎜ ⎟⎜ ⎟ 

0 0 ΔTm 

⎜ ' K7 0 K12 K9 

0 ΔEd 

Δ E ⎟ ⎜− − − 

⎟⎜ 

' ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 

d 

⎜ ⎟ ⎜ Tq0' Tq0' Tq0' 

⎟ 

⎜K 

⎟ 

E 

⎜ . 

E ⎟ ⎜ 0⎟ 

fd 

⎜ 

⎟ 

⎜Δ 

E 

fd 

' ⎝Δ 

⎠ TE 

⎟ KE KE KE 

1 

⎝ ⎠ 

⎝ ⎠ − K5 0 − K6 − K 

⎜ 

10 

− 

TE TE TE T ⎟ 

⎝ 

E ⎠ 

(3.2.22) 

~ 44 ~

Με την σχέση εισόδου εξόδου να είναι : 

⎛Δδ 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛Δω 

⎞ ⎛ 0 1 0 0 0⎞⎜Δω 

⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Δ Te 

= K1 D K2 K8 

0 ⎜ΔEd 

' ⎟ 

⎟ 

⎜ V ⎟ ⎜ 

⎜ ⎟ 

t 

K5 0 K6 K10 

0 ⎝Δ 

⎠ ⎝ ⎠⎜ΔEd 

' ⎟ 

⎜ 

ΔE 

⎟ 

⎝ fd ⎠ 

(3.2.23) 

3.3) Σχεδίαση σταθεροποιητών σε ένα Σύστημα Ηλεκτρικής 

Ενέργειας 

Η παρακάτω σχεδίαση είναι ακριβής στην περίπτωση που εξετάζουμε την 

απόσβεση μιας τοπικής ταλάντωσης, που εκδηλώνεται ανάμεσα στη γεννήτρια και 

στο σύστημα, και όχι στην περίπτωση πολλών μηχανών καθώς τότε έχουμε 

αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μηχανών. Αποτελείται από δύο επιμέρους τμήματα. 

• Υπολογισμό της γωνίας αντιστάθμισης. 

• Υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή. 

Η σχεδίαση ενός σταθεροποιητή θα πρέπει να γίνεται σε συνθήκες μέγιστης 

φόρτισης του συστήματος. Στις συνθήκες αυτές η ροπή απόσβεσης των γεννητριών 

ελαχιστοποιείται και μια ενδεχόμενη διαταραχή είναι πολύ πιθανόν να εμφανίσει 

μη αποσβενύμενες ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ανάμεσα στις γεννήτριες. Έτσι 

αν ο σταθεροποιητής μπορεί να εξασφαλίσει την απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων στη μέγιστη φόρτιση τότε μπορεί να εγγυηθεί και την γενικότερη 

ευσταθή λειτουργία του συστήματος. 

Για σύστημα που λειτουργεί σε συνθήκες μέγιστης φόρτισης γίνεται ανάλυση 

των ρυθμών απόκρισής του, με στόχο να βρεθούν εκείνοι οι ηλεκτρομηχανικοί 

ρυθμοί οι οποίοι χρήζουν ανάγκης περαιτέρω απόσβεσης. Στην συνέχεια 

υπολογίζεται η γωνία αντιστάθμισης και η συνάρτηση μεταφοράς του 

σταθεροποιητή και το κέρδος του σταθεροποιητή. 

Ο σταθεροποιητής λειτουργεί μέσω του συστήματος διέγερσης της γεννήτριας 

και απώτερος σκοπός είναι η παραγόμενη ροπή να είναι σε φάση με την ταχύτητα 

ώστε να συνεισφέρει καθαρή θετική ροπή απόσβεσης. 

~ 45 ~

Επιλέγεται η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, η οποία έχει σαν είσοδο 

την τάση αναφοράς του ΑΡΤ και σαν έξοδο την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα 

της γεννήτριας. Έπειτα υπολογίζεται το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του 

ηλεκτρομηχανικού ρυθμού για την παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού 

βρόχου στην γεννήτρια. Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου είναι 

διαφορετική από τη συνάρτηση μεταφοράς της γεννήτριας, γιατί στη συνάρτηση 

αυτή περιλαμβάνεται και ο ΑΡΤ με το σύστημα διέγερσης της γεννήτριας. 

Ωστόσο κατά την περίπτωση που το σημείο λειτουργίας του συστήματος περνά 

κοντά από ένα σημείο ισχυρού συντονισμού τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα δεν είναι 

αξιόπιστοι δείκτες ευαισθησίας της ιδιοτιμής ενός ηλεκτρομηχανικού ρυθμού. 

Επιπλέον θα πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη η σχετική θέση των μηδενικών 

του συστήματος χωρίς σταθεροποιητές αλλά και η μετατόπιση των μηδενικών λόγω 

της δράσης των σταθεροποιητών. Αυτό γίνεται γιατί όταν ένα μηδενικό βρίσκεται 

κοντά σε έναν πόλο τότε με την προσάρτηση του σταθεροποιητή ο πόλος αυτός 

πιθανόν να μην μπορέσει να μετακινηθεί πέραν του μηδενικού αυτού με 

αποτέλεσμα να μην αυξηθεί ουσιαστικά η απόσβεση του αντίστοιχου ρυθμού. 

3.3.1) Υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης 

Ο υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης του PSS επιτυγχάνεται με χρήση της 

μεθόδου των ολοκληρωτικών υπολοίπων. 

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην εξής μεθοδολογία. Έστω η συνάρτηση 

μεταφοράς ανοιχτού βρόχου η οποία έχει σαν είσοδο την τάση αναφοράς του 

Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης (ΔU(s)) και σαν έξοδο την ταχύτητα περιστροφής του 

δρομέα της γεννήτριας (Δy(s)). Συμβολίζουμε τη συνάρτηση αυτή με G(s) . Ισχύει: 

Δy() 

s 

Gs () = Δ us () 

Αν θεωρηθεί ότι οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι διακριτές τότε, η συνάρτηση 

αυτή μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα σαν ένα άθροισμα επιμέρους κλασμάτων ως 

εξής: 

n 

n 

⎡ cu 

i 

vi 

b⎤ 

⎡ Ri 

⎤ 

G( 

s) 

= ⎢∑ 

⎥ = ⎢∑ 

⎥ 

⎣ i= 

1 s − λi 

⎦ ⎣ i= 

1 s − λi 

⎦ 

~ 46 ~

Ο μιγαδικός αριθμός 

συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s) . 

Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο ενός ρυθμού 

πως θα μεταβληθεί η αντίστοιχη ιδιοτιμή 

R i 

είναι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του ρυθμού i για τη 

i 

αποτελεί μια ένδειξη για το αν και 

λ 

i 

στην περίπτωση που το σύστημα 

ανοιχτού βρόχου μετατραπεί με χρήση ανατροφοδότησης της εξόδου του στην 

είσοδό του σε κλειστού βρόχου σύστημα. Με χρήση ολοκληρωτικών υπολοίπων 

προκύπτουν οι ρυθμοί του συστήματος που πρόκειται να επηρεαστούν και πόσο 

στην περίπτωση μιας τέτοιας ανατροφοδότησης . 

Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του ρυθμού i για τη συνάρτηση μεταφοράς 

ανοιχτού βρόχου G(s) 

είναι R 

i 

ενώ το όρισμα του είναι arg( R i 

) . 

Το μέτρο του ολοκληρωτικού υπολοίπου καθορίζει το πόσο θα μετατοπιστεί η 

ιδοτιμή μετά τη χρήση της ανατροφοδότησης, ενώ το όρισμα του ολοκληρωτικού 

υπολοίπου είναι το μέγεθος εκείνο το οποίο καθορίζει την κατεύθυνση προς την 

οποία θα μετακινηθεί η ιδιοτιμή μετά το κλείσιμο του βρόχου. 

Αν θεωρηθεί ότι το σύστημα ανοιχτού βρόχου κλείνει μέσω μιας διάταξης 

θετικής ανατροφοδότησης η οποία έχει συνάρτηση μεταφοράς υπολογισμένη 

κατάλληλα έτσι ώστε η ιδιοτιμή λ 

i 

με το κλείσιμο του βρόχου να μετατοπιστεί προς 

τα αριστερά, η συνάρτηση μεταφοράς αυτή είναι η συνάρτηση μεταφοράς του 

σταθεροποιητή και είναι η : 

H 

( s) 

K T ( s) 

PSS 

= 

PSS 

PSS 

Για μια ιδιοτιμή λ 

i 

το όρισμα της συνάρτησης μεταφοράς του σταθεροποιητή 

είναι arg( T ( λ )) = ϕ 

PSS 

i 

i 

Έτσι γίνεται κατανοητό με χρήση της θεωρίας των ολοκληρωτικών υπολοίπων 

προκειμένου η ιδιοτιμή λ 

i 

να μετατοπιστεί προς τα αριστερά μετά τ του βρόχου 

για το όρισμα ϕ 

i 

θα πρέπει να ισχύει : 

Για να μετατοπιστεί η ιδιοτιμή λ 

i 

προς τα αριστερά μετά την ανατροφοδότηση 

για το όρισμα ϕ 

i 

θα πρέπει να ισχύει : 

~ 47 ~

φ =+ 180°−arg( R) arg( R) ∈ (0, + 180 ° ) 

i i i 

(3.3.1) 

φ =− 180°−arg( R) arg( R) ∈( − 180 ° ,0) 

i i i 

Για την κάθε περίπτωση. Αν το όρισμα του ολοκληρωτικού υπολοίπου του 

ρυθμού i για τη συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου της γεννήτριας είναι 

θετικό τότε η συνάρτηση μεταφοράς του σταθεροποιητή θα πρέπει να έχει μια 

προπορεία φάσεως στην περιοχή της ιδιοτιμής 

λ 

i 

. Αντίθετα, αν το όρισμα του 

ολοκληρωτικού υπολοίπου είναι αρνητικό τότε η συνάρτηση μεταφοράς του 

σταθεροποιητή θα πρέπει να έχει μια υστέρηση φάσεως στην περιοχή αυτή. 

Στην παράγραφο 2.4 εξετάστηκε σταθεροποιητής δυο βαθμίδων αντιστάθμισης 

φάσης , ένα κέρδος Κ PSS , ένα φίλτρο αποκοπής και έναν περιοριστή. Το γενικότερο 

μοντέλο του σταθεροποιητή αποτελείται από n βαθμίδες αντισταθμίσεως φάσεως, 

ένα κέρδος 

K PSS 

, ένα φίλτρο απαλοιφής καθώς και έναν περιοριστή. 

Η συνάρτηση μεταφοράς του γενικευμένου μοντέλου είναι η : 

H 

PSS 

sTW 

( s) 

= 

1+ 

sT 

W 

K 

PSS 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

1 

2 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

3 

2n−1 

(3.3.2) 

4 

1+ 

sT 

2n 

Όπου ο όρος 

sT 

w 

/( 1+ 

sTw 

) εκφράζει το φίλτρο απαλοιφής το οποίο δεν εισάγει 

σημαντική φάση στο εύρος συχνοτήτων των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων και 

μπορεί να παραληφθεί. 

Άρα η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: 

H 

PSS 

( s) 

= K 

PSS 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

1 

2 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

1+ 

sT 

3 

2n−1 

(3.3.3) 

4 

1+ 

sT 

2n 

Για όμοιες βαθμίδες στον σταθεροποιητή έχουμε: 

H 

PSS 

n 

⎛ 1+ 

sT1 

s K 

PSS 

sT ⎟ ⎞ 

( ) = 

⎜ 

(3.3.4) 

⎝1+ 

2 ⎠ 

~ 48 ~

Και στο πεδίο της συχνότητας έχουμε: 

H 

PSS 

n 

⎛ 1+ 

jωT1 

j K 

PSS 

j T ⎟ ⎞ 

( ω ) = 

⎜ 

(3.3.5) 

⎝1+ 

ω 

2 ⎠ 

Αν οι χρονικές σταθερές Τ 1 και Τ 2 συνδέονται με τη σχέση: 

T 

1 

= kT 2 

για k>1 (3.3.6) 

Τότε αν γραφτεί η συνάρτηση μεταφοράς με πραγματικό και φανταστικό μέρος 

έχουμε: 

2 

⎛1 + k( ωT2) ( k−1) 

ωT 

⎞ 

2 

HPSS 

( jω) 

= KPSS 

⎜ + j 

2 

2 ⎟ 

⎝ 1 + ( ωT2) 1 + ( ωT2) 

⎠ 

n 

(3.3.7) 

Επομένως η προπορεία φάσεως που εισάγει ο σταθεροποιητής στο πεδίο της 

συχνότητας είναι : 

φ 

PSS 

−1 ⎛ ( k−1) 

ωT 

⎞ 

2 

= n tan ⎜ 2 

⎝1 + k( ωT2 

) ⎠ ⎟ (3.3.8) 

Έτσι ώστε να μετατοπιστεί προς τα αριστερά η ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στην 

ηλεκτρομηχανική ταλάντωση, η φάση 

πρέπει να ισούται με το επιθυμητό όρισμα 

ϕ 

PSS 

που εισάγει ο σταθεροποιητής θα 

ϕ 

i 

της (1). Η φάση ϕ 

PSS 

όμως 

μεταβάλλεται με τη συχνότητα και επομένως στο εύρος συχνοτήτων των 

ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων θα πρέπει να ισχύει : 

Η (8) με χρήση της (9) γράφεται: 

ϕ 

PSS 

( jω) 

≤ ϕ i 

(3.3.9) 

1 ( 1) 

2 

tan 

⎛ k− 

ωT 

φ 

− i 

⎜ 

⎞ 

2 ⎟≤ 

⎝1 + ( ωT2 

) ⎠ n 

(3.3.10) 

Η σχεδίαση του σταθεροποιητή γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η φάση που 

εισάγει να μεγιστοποιείται στη συχνότητα της ιδιοτιμής που αντιστοιχεί στην 

ηλεκτρομηχανική ταλάντωση. 

~ 49 ~

Η γωνία προπορείας φάσεως μεγιστοποιείται όταν : 

dφ 

dw 

PSS 

= 0 ⇔ 

( k− 1)(1 + k( ωT ) ) −2 k( ωT ) ( k−1) 

= 0 ⇔ 

(1 + k( ωT ) ) + ( k−1) ( T ) 

2 2 

2 2 

2 2 2 2 

2 

ω 

2 

(3.3.11) 

( k− 1)(1 + k( ωT ) ) −2 k( ωT ) ( k− 1) = 0 

2 2 

2 2 

Άρα η μεγιστοποίηση γίνεται για : 

ω T = 

2 

1 

k 

(3.3.12) 

Η συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης θα είναι: 

1 1 1 

ω = = = 

T2 k kTT 

2 2 

TT 

1 2 

(3.3.13) 

Η φάση που εισάγει ο σταθεροποιητής στη συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής 

ταλάντωσης ισούται με το επιθυμητό όρισμα ϕ 

i 

και θα είναι : 

−1⎛ 

( k−1) ωT ⎞ ⎛ 

2 

−1 

( k−1)(1/ k) ⎞ 

−1⎛( k−1) 

⎞ 

φi 

= ntan ⎜ ntan ntan 

2 ⎟= 2 

1 k( ωT2 

) ⎜ 

= ⎜ ⎟ 

1 k(1/ k) ⎟ 

⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ 2 k ⎠ 

(3.3.14) 

Όπου τελικά καταλήγουμε στην: 

⎛ϕi 

⎞ 

1+ 

sin⎜ 

⎟ 

⎝ n 

k = 

⎠ 

⎛ϕi 

⎞ 

1− 

sin⎜ 

⎟ 

⎝ n ⎠ 

(3.3.15) 

~ 50 ~

Με την παραπάνω μεθοδολογία μπορεί να σχεδιαστεί ένας σταθεροποιητής n 

όμοιων βαθμίδων ο οποίος να αποσβένει πλήρως έναν ηλεκτρομηχανικό ρυθμό. Ο 

σταθεροποιητής σχεδιάζεται με τέτοιον τρόπο ώστε στη συχνότητα του 

ηλεκτρομηχανικού ρυθμού να μεγιστοποιείται η προπορεία φάσεως που εισάγει 

και η αντιστάθμιση να είναι πλήρης. 

Για την υστέρηση που εισάγει ο βρόχος διέγερσης, ο PSS διαθέτει δυο βαθμίδες 

προπορείας της φάσης ώστε να αντισταθμίζεται αυτή η υστέρηση. 

Οι δυο βαθμίδες είναι απαραίτητες καθώς η υστέρηση φάσης που εισάγει ο 

βρόχος διέγερσης είναι αρκετές φορές μεγαλύτερη από 90 ο . Η κάθε βαθμίδα 

μπορεί να αντισταθμίσει περίπου μέχρι 45 ο .Το διάγραμμα φάσης του 

σταθεροποιητή είναι συμμετρικό γύρω από μία κεντρική συχνότητα, τη συχνότητα 

του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού. Ο σταθεροποιητής εισάγει μια προπορεία στη 

φάση που μεγιστοποιείται σε αυτή την συχνότητα, έτσι επιτυγχάνεται η 

αντιστάθμιση, και παράλληλα παρέχει κάποια μερική αντιστάθμιση σε ένα 

ικανοποιητικό εύρος συχνοτήτων. 

Όσο μεγαλύτερο το παραπάνω εύρος τόσο καλύτερα, καθώς παρόλο που δεν 

έχουμε τέλεια αντιστάθμιση του κύριου τοπικού ρυθμού, μπορεί να παραμείνει σε 

συγχρονισμό η γεννήτρια σε πληθώρα περιπτώσεων πιθανών ταλαντώσεων. 

3.3.2) Υπολογισμός του κέρδους του σταθεροποιητή. 

Το κέρδος του σταθεροποιητή υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να 

αποφεύγεται το φαινόμενο συντονισμού του ρυθμού διέγερσης με τον 

ηλεκτρομηχανικό ρυθμό. 

Για τον υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή δουλεύουμε εμπειρικά με 

δοκιμές ακολουθώντας την εξής διαδικασία. Αυξάνουμε το κέρδος συνεχώς με 

ρυθμό τέτοιο ώστε να μειώνονται οι ανεπιθύμητες αλληλεπιδράσεις με τους 

άλλους ρυθμούς και να εξασφαλίζεται η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών 

ταλαντώσεων του συστήματος. Ακόμα αν είναι εφικτό να γνωρίζουμε τα όρια των 

αποκλίσεων της συχνότητας ενός ηλεκτρομηχανικού ρυθμού μπορούμε να θέσουμε 

τα ανώτατα όρια (Δω lim ) και να εξετάζουμε συνεχώς αν βρισκόμαστε σε επιτρεπτά 

πλαίσια. 

~ 51 ~

Αν η απόσβεση της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης μειωθεί για μικρή αύξηση 

του κέρδους, αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει πλησιάσει κοντά στο σημείο 

συντονισμού του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού και του ρυθμού διέγερσης. Ακόμα αν 

η απόκλιση της συχνότητας της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης ξεπεράσει το Δω lim 

της αρχικής τιμής, τότε συνεπάγεται ότι έχουμε αλληλεπίδραση της ταλάντωσης με 

το ρυθμό διέγερσης και το κέρδος πρέπει να περιοριστεί για να μειώσουμε την 

υπερβολική ελάττωση της απόσβεσης του ρυθμού διέγερσης. 

~ 52 ~

4 ο Κεφάλαιο 

Διάταξη ελέγχου Matlab 

Η διάταξη την οποία εξετάσαμε για να δείξουμε πως μπορούμε να ελέγξουμε τις 

ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ενός συστήματος γεννήτριας –άπειρου ζυγού είναι 

η ακόλουθη: 

~ 53 ~

~ 54 ~

Αποτελείται από την σύγχρονη γεννήτρια, τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης και τον 

Σταθεροποιητή του συστήματος. 

Η σύγχρονη γεννήτρια παριστάνεται με χρήση του μοντέλου 4 ης τάξης στο πεδίο 

της συχνότητας. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της μορφής: 

• 

x = Ax + Bu 

y = Cx + Du 

Με Α ,Β τους πίνακες 

της σχέσης (63) 

⎛ 0 ω0 

0 0 0 ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

1 D 1 1 

− Κ1 − − K2 − K8 

0 ⎟ 

⎜ 2Η 

2H 2H 2H 

⎟ 

⎜ 1 1 1 1 ⎟ 

⎜− K4 0 − K3 − K11 

⎟ 

⎜ Td0' Td0' Td0' 

Td0' 

⎟ 

⎜ 1 1 1 ⎟ 

⎜− K7 0 − K12 − K9 

0 ⎟ 

⎜ Tq0' Tq0' Tq0' 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

KE KE KE 

1 

K5 0 K6 K10 

− 

⎜ 

− − − 

TE TE TE 

T ⎟ 

⎝ 

E ⎠ 

⎛ 0 0⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

0 1 

⎟ 

⎜ 0 0⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 0 0⎟ 

⎜K 

⎟ 

E 

⎜ 0⎟ 

⎝ TE 

⎠ 

C τον πίνακα 

⎛ 0 1 0 0 0⎞ 

⎜ 

⎟ 

K1 D K2 K8 

0 

⎟ 

⎜K5 0 K6 K10 

0 

⎝ 

⎠ 

της σχέσης (64) και D τον μηδενικό πίνακα. 

Οι μεταβλητές κατάστασης είναι: η γωνία του άξονα της μηχανής Δδ ,η γωνιακή 

συχνότητα του συστήματος Δω, η μεταβατική ΔΕ q του εγκάρσιου άξονα q, η 

μεταβατική ΔΕ d του ευθύ άξονα d και η μεταβατική κατάσταση ΔΕ fd του πεδίου 

διέγερσης της αναφοράς. 

Δηλαδή 

⎛Δδ 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜Δω 

⎟ 

x = ⎜ΔEq 

' ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ΔEd 

' ⎟ 

⎜ 

E ⎟ 

⎝Δ 

fd ⎠ 

Η είσοδος της μηχανής είναι η τάση αναφοράς ΔV ref,t και η μηχανική ροπή της 

σύγχρονης μηχανής ΔT m . 

~ 55 ~

⎛ΔVref , t ⎞ 

Δηλαδή u = ⎜ ⎟ 

⎝ΔTm 

⎠ 

Η έξοδος του συστήματος δίνει την γωνιακή συχνότητα , την Ηλεκτρομαγνητική 

ροπή και το μέτρο τάσης των ακροδεκτών της μηχανής. 

⎛Δω 

⎞ 

⎜ ⎟ 

y = ΔTe 

⎜ V ⎟ 

⎝Δ 

t ⎠ 

Η σχέση που συνδέει τον έλεγχο της τάσης αναφοράς με τη γωνιακή συχνότητα 

και την τάση των ακροδεκτών της γεννήτριας είναι η : 

K ⎡ 

a 

Ts 

1 

+ 1 T3s+ 

1 Ts ⎤ 

r 

Δ Vref , t 

= ⎢−Δ Vt + ⋅ ⋅ ΚPSSΔω⎥ 

Ts 

a 

+ 1⎣ 

Ts 

2 

+ 1 Ts 

4 

+ 1 Ts 

r 

+ 1 ⎦ 

(65) 

Όπου ο όρος 

Ka 

ΔVt 

Ts+ 

1 

a 

είναι ο βρόχος του αυτόματου ρυθμιστή τάσης ενώ ο όρος 

Ka 

Ts+ 

1 Ts+ 

1 Ts 

Ts+ 1 Ts+ 1 Ts+ 1 Ts+ 

1 

a 

1 3 

r 

⋅ ⋅ ⋅ ΚPSSΔ 

2 4 r 

ω είναι ο βρόχος του σταθεροποιητή (PSS). 

Εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία μόνο η τάση αναφοράς ΔV ref,t αλλάζει 

τιμή ενώ η μηχανική ροπή παραμένει σταθερή για κάποιο διάστημα. Για να 

επιτευχθεί αυτό θεωρούμε ότι έχουμε είσοδο με ΔT m σταθερή η οποία αλλάζει 

μετά από 15 sec με χρήση βηματικής. Η βηματική σε συνδυασμό με την τάση 

αναφοράς αποτελούν την είσοδο της σύγχρονης μηχανής. Από την έξοδο της 

μηχανής παίρνουμε τα Δω και ΔV t που συμμετέχουν στον βρόχο ελέγχου του 

συστήματος όπως φαίνεται και από την σχέση (65). 

Οι συντελεστές Κ 1 ‐Κ 12 του πίνακα Α προκύπτουν από τις σχέσεις (52),(53),(56) 

για μία τυπική κατάσταση φόρτισης της μηχανής. 

Συγκεκριμένα οι τιμές των συντελεστών αυτών για το πείραμα μας είναι : 

K1=9.000, K2=3.800, K3=4.000, K4=1.800 

K5=‐0.0206, K6=0.420, K7=‐2.000 

K8=‐6.000, K9=3.000, K10=0.100 

K11=0.050, K12=‐0.050 

~ 56 ~

Γενικότερα οι τυπικές τιμές των συντελεστών αυτών για μια τυπική κατάσταση 

φόρτισης, όπως προκύπτουν από την βιβλιογραφία [7]: 

Κ 1 8~10 

Κ 2 6~9.5 

Κ 3 4 

Κ 4 1,5~4 

Κ 5 0~‐0.1 

Κ 6 0.2~0.5 

Κ 7 0~‐2 

Κ 8 ‐2~‐6 

Κ 9 3 

Κ 10 0.1~ 

Κ 11 0.01~0.1 

Κ 12 ‐0.01~‐0.1 

Τα δυναμικά χαρακτηριστικά της γεννήτριας είναι : 

H=3.91, D=10, KE=25, TE=0.03 

T do =5.9, T qo =1.0, X d =1.85, X q =1.80 

X’ d =0.26, X’ q =0.42 

Για τον αυτόματο ρυθμιστή τάσης χρησιμοποιούμε το απλοποιημένο μοντέλο 

της ανάλυσης ευστάθειας μικρών διαταραχών που αναφέραμε στο 2 ο κεφάλαιο 

είναι: 

Με Ta=0.05, Ka=25 

Για την παράσταση του σταθεροποιητή , PSS, χρησιμοποιούμε το μοντέλο ενός 

τυπικού σταθεροποιητή με δυο βαθμίδες αντιστάθμισης με χωρίς να λαμβάνεται 

υπόψη το φίλτρο. 

~ 57 ~

Με 

T1=0.3 , T2=0.1 

T3=0.01, T4=0.007 

TR=0.4 

Για την μελέτη του συστήματος μας εργαζόμαστε ως εξής : 

Αρχικά στο σύστημα που εξετάζουμε, τοποθετούμε μια τυχαία αρχική 

⎡0 

⎤ 

⎢ 

0.2 

⎥ 

⎢ ⎥ 

κατάσταση με διάνυσμα ⎢0 

⎥, όπου έχουμε μεταβολή στην γωνιακή συχνότητα 

⎢ ⎥ 

⎢0 

⎥ 

⎢ 

⎣0.3⎥ 

⎦ 

Δω και στην μεταβατική κατάσταση του πεδίου διέγερσης ΔΕfd. Στη συνέχεια 

ζητούμε από το σύστημα μετά από χρόνο 15 sec να πραγματοποιηθεί μια 

μεταβολή στη ΔT m η οποία να έχει τιμή ίση με 0.3. Η ΔV r όλη την ώρα ελέγχεται με 

τη βοήθεια του ΑΡΤ και του ΣΣΙ. 

Οι αποκρίσεις που παίρνουμε με τη χρήση του Matlab είναι οι εξής: 

~ 58 ~

Για την Δδ 

4 

3 

2 

Dd (deg) 

1 

0 

-1 

-2 

0 5 10 15 20 25 30 

time sec 

Παρατηρούμε ότι η Δδ καταλήγει στην μόνιμη κατάσταση μετά από κάποιο χρόνο 

και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο της βηματικής έχουμε μια αρχική 

μεταβατική κατάσταση και ένα νέο σημείο ισορροπίας με τιμή 0.5 ο . 

~ 59 ~

Για την Δω: 

0.2 

0.15 

0.1 

Dw (rad/sec) 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

-0.2 

0 5 10 15 20 25 30 

time (sec) 

Παρατηρούμε ότι φτάνουμε σύντομα στην μόνιμη κατάσταση και στην αρχική 

μετατόπιση και στην δεύτερη διαταραχή. 

~ 60 ~

Για την ΔE d 

0 5 10 15 20 25 30 

0.7 

0.6 

0.5 

DEd (V) 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

time (sec) 

Παρατηρούμε ότι η ΔE d καταλήγει αρχικά στην μόνιμη κατάσταση μετά από την 

πρώτη διαταραχή και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο της βηματικής φτάνουμε 

μετά από μια μεταβατική κατάσταση στο νέο σημείο ισορροπίας στην τιμή 0.35 V. 

~ 61 ~

Για την ΔΕ q 

0 5 10 15 20 25 30 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

DEq (V) 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

time (sec) 

Ομοίως παρατηρούμε ότι η ΔEq καταλήγει και αυτή με την σειρά της στην μόνιμη 

κατάσταση μετά από κάποιο μικρό χρόνο και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο 

της βηματικής έχουμε εκ νέου μια αρχική μεταβατική κατάσταση και ένα νέο 

σημείο ισορροπίας στην τιμή ‐0.09. 

~ 62 ~

Για την ΔE fd 

150 

100 

50 

DEfd (V) 

0 

-50 

-100 

-150 

0 5 10 15 20 25 30 

time (sec) 

Για την διέγερση του ΔE fd έχουμε επίσης μία αρχική διαταραχή η οποία οδηγείται 

στην μόνιμη κατάσταση όπως συμβαίνει και στην δεύτερη διαταραχή. 

~ 63 ~

Για την ΔT e 

0 5 10 15 20 25 30 

30 

20 

10 

DTe (Nm) 

0 

-10 

-20 

-30 

time (sec) 

Για την ΔΤ e έχουμε μια αρχική μεταβατική κατάσταση η οποία οδηγήται σύντομα 

στην μόνιμη κατάσταση. Κατά την δεύτερη διαταραχή έχουμε αρχικά μια 

μεταβατική κατάσταση και μια μετατόπιση στη συνέχεια σε ένα νέο σημείο 

ισορροπίας στην τιμή 2.35 Nm. 

~ 64 ~

Για την ΔV t 

0 5 10 15 20 25 30 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

DVt (V) 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.3 

-0.4 

time (sec) 

Τέλος και για την ΔVt έχουμε ύστερα από την ύπαρξη της διαταραχής την 

σταθεροποίηση της τιμής στην μόνιμη κατάσταση ύστερα και από τις δυο 

διαταραχές. 

~ 65 ~

ΣΧΟΛΙΑ‐ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: 

Η καλή σχεδίαση και συνεργασία και λειτουργία του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης 

και του Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος έχει σαν αποτέλεσμα να εξαλείφονται 

οι μεταβατικές καταστάσεις και το σύστημα να οδηγείται σε ένα νέο σημείο 

ισορροπίας και ευστάθειας. Έτσι γίνεται δυνατός ο έλεγχος μικρών διαταραχών και 

μεταβατικών καταστάσεων του συστήματος μας. 

Ο στόχος του συστήματος ΑΡΤ‐ΣΣΙ να διατηρεί το μέτρο της τάσης των ακροδεκτών 

της μηχανής, την γωνιακή συχνότητα και την Ηλεκτρομαγνητική ροπή επετεύχθη 

καθώς μετά από τις διαδοχικές διαταραχές η γεννήτρια οδηγήθηκε σε νέο σημείο 

ισορροπίας με αποτέλεσμα να μην αποσυχρονιστεί. 

Ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης σε συνδυασμό με το σύστημα διέγερσης 

δημιούργησαν μια καθυστέρηση φάσης στην ηλεκτρομαγνητική ροπή της 

γεννήτριας η οποία αντισταθμίστηκε με τον Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος. Ο 

Σταθεροποιητής μόλις δέχτηκε το σήμα που σχετίζεται με την ταλάντωση του 

δρομέα έδρασε με τέτοιον τρόπο ώστε να αυξηθεί η συνιστώσα ροπής απόσβεσης 

της ηλεκτρομαγνητικής ροπής. Αυτό επετεύχθη με μεταβολή της ταχύτητας του 

δρομέα , με μεταβολή της ηλεκτρικής ισχύος και της συχνότητας. 

Για τον σωστό υπολογισμό των χαρακτηριστικών χρονικών σταθερών του 

σταθεροποιητή δουλέψαμε αρχικά με την μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων 

που παρουσιάστηκε παραπάνω και βρήκαμε με μία τελική στρογγυλοποίηση ότι τα 

κατάλληλα κέρδη ήταν τα T1=0.3 , T2=0.1. Στη συνέχεια για τις σταθερές Τ3 και 

Τ4 δουλέψαμε με προσεγγιστικό τρόπο για την καλύτερη και ταχύτερη απόκριση 

του συστήματος, εφόσον γνωρίζαμε ότι έπρεπε οι τιμές των Τ3 και Τ4 να είναι 

μικρότερες από αυτές των Τ1 και Τ2 με κάποια μικρή διαφορά. (Θα πρέπει να 

ισχύει Τ1>Τ2>Τ3>Τ4). 

Για τον υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή δουλέψαμε εμπειρικά. 

Χρειάστηκαν πολλές δοκιμές οι οποίες μας βοήθησαν ώστε να επιλεγεί το 

καταλληλότερο κέρδος για την εξασφάλιση της ευστάθειας του συστήματος. Το 

κέρδος του σταθεροποιητή υπολογίστηκε έτσι ώστε να αποφευχθούν φαινόμενα 

συντονισμού του ρυθμού διέγερσης με τον ηλεκτρομηχανικό ρυθμό καθώς και να 

πραγματοποιηθεί η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων στο σύστημα. 

Η τιμή του κέρδους που επιλέχθηκε ήταν KPSS=0.4, ενώ το διάστημα των τιμών του 

κέρδους του σταθεροποιητή κατά το οποίο το σύστημά μας βρισκόταν σε 

ευστάθεια ήταν από ‐0.5 έως 1.1. Η τιμή που επιλέξαμε ήταν αυτή κατά την οποία 

εξασφαλίσαμε γρήγορη απόσβεση και περιορισμένο αριθμό ταλαντώσεων. 

~ 66 ~

Όπως γίνεται αντιληπτό από τις παραπάνω αποκρίσεις παρατηρούμε ότι μετά την 

αρχική αυθαίρετη τιμή που θέσαμε στο σύστημα, αυτό ανταποκρίνεται και 

οδηγείται σε μόνιμη κατάσταση ύστερα από την μεταβατική περίοδο, μέχρι την 

τιμή 15 sec όπου δρα η βηματική είσοδος και αλλάζει η τιμή της ΔT m κατά 0.3. Το 

γεγονός αυτό οδηγεί το σύστημα μας προσωρινά ξανά σε μια μεταβατική 

κατάσταση η οποία ωστόσο και αυτή αντιμετωπίζεται και οδηγεί το σύστημα μας 

στην μόνιμη κατάσταση ευστάθειας. 

Σαν τελικό συμπέρασμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι έγινε απόλυτα σαφές ότι για 

την ορθή λειτουργία του συστήματος, ούτε ο Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος, 

ούτε ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης μπορούν να δουλέψουν ανεξάρτητα, παρά 

μόνο συμπληρωματικά. Είναι και τα δυο συστήματα απαραίτητα για τον ορθό 

έλεγχο και λειτουργία της διάταξης. 

~ 67 ~

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: 

[1] Νικόλαος Α. Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος «Εισαγωγή στα Συστήματα 

Ηλεκτρικής Ενέργειας», Πάτρα 2005 

[2] Νικόλαος Α. Βοβός, «Ανάλυση έλεγχος και Ευστάθεια Συστημάτων Ηλεκτρικής 

Ενέργειας», Θεσσαλονίκη 2004 

[3] P. Kundur, «Power System Stability and Control”, EPRI Power System 

Engineering Series, McGraw‐Hill, 1994. 

[4] G. Rogers, «Power System Oscillations», Kluwer Academic Publishers, 2000 

[5] E.G. Potamianakis ,C.D . «Vournas Aggregetion of Wind Farms in Distribution 

Networks», European Wind Energy Conference, Madrid, Ιούνιος 2003 

[6] Αντώνιος Θ. Αλεξανδρίδης, «Δυναμική και Έλεγχος Ε‐L Παθητικών 

Ηλεκτρομηχανικών Συστήματος» , Πάτρα 2007 

[7] B.M Nomikos, «An Adaptive PSS Design for a Synchronous Generetor Connected 

to a Large Power System», RIMAPS Porto, Σεπτέμβριος 2001 

~ 68 ~

âÎ¹ÏÎ»ÏÎ¼Î±ÏÎ¹ÎºÎ® ÎÏÎ³Î±ÏÎ¯Î± - Nemertes

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

âÎ¹ÏÎ»ÏÎ¼Î±ÏÎ¹ÎºÎ® ÎÏÎ³Î±ÏÎ¯Î± - Nemertes