∆ιπλωματική Εργασία - Nemertes

Τα αριστερά ιδιοδιανύσματα συνήθως κανονικοποιούνται, έτσι ώστε C i = 1.
Έστω ότι ορίζεται ο nxn πίνακας U με στήλες τα δεξιά ιδιοδιανύσματα, και ο nxn
πίνακας V με γραμμές τα αριστερά ιδιοδιανύσματα του πίνακα κατάστασης Α:
V = v v ]
(3.1.15)
[
1
n
W = w w ] Τ
(3.1.16)
[
1
n
Τότε, από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι
VW = WV = I
(3.1.17)
Δηλαδή, οι πίνακες V και W είναι αντίστροφοι.
Ρυθμοί Απόκρισης
Η ελεύθερη απόκριση του συστήματος, περιγράφεται από την (3.1.4) για u = 0
και η λύση της για το x o διάνυσμα αρχικών συνθηκών των μεταβλητών κατάστασης
είναι:
o
At
x( t,
x ) = e x
(3.1.18)
o
Στην περίπτωση που ο πίνακας Α έχει n διακριτές ιδοτιμές τότε υπάρχει ένας
αντιστρέψιμος πίνακας Ρ, τέτοιος ώστε:
Όπου:
−1
A = P Λ Ρ
Ρ = U =
[ u u ]
1
2
u n
(3.1.19)
(3.1.20)
Ρ
1
= V v1
v 2 v n
− = [ ] Τ
(3.1.21)
Και Λ = diag( λ1 λ2
λn
)
(3.1.22)
Ο μετασχηματισμός του πίνακα κατάστασης Α με χρήση των πινάκων U και V
στο διαγώνιο πίνακα Λ με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Α ονομάζεται μετασχηματισμός
ομοιότητας.
Η ελεύθερη απόκριση της x i μεταβλητής κατάστασης του συστήματος, έχει
μορφή:
i
n
∑
x ( t)
= K exp( λ t)
i=
1
i
i
i = 1, …, n (3.1.23)
Είναι προφανές ότι μια πραγματική ιδιοτιμή καθορίζει μια μονοτονική
συμπεριφορά του συστήματος ενώ ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών καθορίζει μια
~ 36 ~