∆ιπλωματική Εργασία - Nemertes

Δ x() t =∑ z () t v
n
i
i=
1
i
(3.1.29)
Από την (3.1.29), φαίνεται ότι τα στοιχεία του δεξιού ιδιοδιανύσματος
καθορίζουν την επίδραση που έχει ένας ρυθμός στις μεταβλητές κατάστασης.
Επιπλέον, καθώς ο ρυθμός z i είναι βαθμωτό μέγεθος, δίνουν μια αίσθηση της
κατεύθυνσης στο διανυσματικό χώρο που ορίζουν, προς την οποία το σημείο
λειτουργίας θα μετατοπιστεί για μια μικρή απόκλιση από το σημείο ισορροπίας και
ότι η απόκριση του γραμμικοποιημένου δυναμικού συστήματος είναι ένας
γραμμικός συνδυασμός των ρυθμών του ενώ από την (3.1.26) προκύπτει ότι αν το
σύστημα έχει διακριτές ιδιοτιμές τότε οι αντίστοιχοι ρυθμοί είναι αποζευγμένοι και
ανεξάρτητοι μεταξύ τους.
Από την (3.1.24) φαίνεται ότι τα στοιχεία του αριστερού ιδιοδιανύσματος
καθορίζουν τη συμμετοχή που έχουν οι μεταβλητές κατάστασης στην εμφάνιση
ενός ρυθμού. Από τις (3.1.24) και (3.1.29) προκύπτει ότι η ελεύθερη απόκριση του
συστήματος, δίνεται από τη σχέση:
n
∑
i=
1
λ t
n
∑
i
i
Δx ( t)
= u z e = u v x e
(3.1.30)
i
i o
i=
1
i
i
o
λ t
Ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών λ i , λ * i με λ i = σ i + jω i , εισάγει στην απόκριση του
συστήματος έναν όρο της μορφής:
σ it
e sin( ωit
+ θ )
(3.1.31)
Η συχνότητα της ταλάντωσης f i δίνεται από τη σχέση:
ωi
f i = (3.1.32)
2π
Τέλος, ο λόγος απόσβεσης ζ i του ρυθμού i καθορίζει την εξασθένιση του
πλάτους της ταλάντωσης και δίνεται από τη σχέση:
ζ
i
−σ
i
= (3.1.33)
σ + ω
2
i
2
i
Προφανώς αν η ιδιοτιμή λ i = σ i + jω i έχει αρνητικό πραγματικό μέρος (ευσταθής
λειτουργία), ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης είναι θετικός (ζ i > 0), ενώ για θετικό
πραγματικό μέρος (ασταθής λειτουργία), η απόσβεση είναι αρνητική (ζ i < 0).
~ 38 ~