Capitolo 21: Il Modello dell'Utilità Scontata

appresentativo delle preferenze individuali, il suo valore è indipendente dal fattore di sconto di
mercato r.
Il valore del parametro ρ è rappresentativo dei pesi relativi attribuiti dal consumatore ai livelli di
consumo presente e futuro. Per completare la caratterizzazione del modello dell’utilità scontata è
necessario specificare le proprietà della funzione di utilità u, la cui forma esplicita varia a livello
individuale. In generale, u è una funzione concava: al crescere del consumo, l’utilità associata al
consumo stesso aumenta ad un tasso decrescente. Ovvero, ad ogni incremento unitario del consumo
corrisponde un aumento dell’utilità decrescente per livelli crescenti di consumo. Di seguito,
assumeremo che u è una funzione radice (funzione concava per valori positivi di consumo 1 ). Una
forma funzionale alternativa per u è la funzione logaritmo (anche essa concava per valori positivi di
consumo). La forma funzionale assunta da u influenza la forma delle funzioni di domanda, ma la
proprietà relativa alla relazione esistente tra r e ρ (proprietà che illustreremo tra breve) è verificata
per ogni funzione u concava, compresa la funzione logaritmo. Naturalmente, la forma funzionale di
u dipende in maniera cruciale dalle preferenze individuali.
21.3: Le Curve di indifferenza nel modello dell’utilità scontata
Prima di illustrare le implicazioni del modello dell’utilità scontata come specificato nel paragrafo
precedente, analizziamo le proprietà delle curve di indifferenza disegnate nello spazio (c1, c2). Il
lettore interessato esclusivamente alla discussione delle implicazioni del modello, può ignorare la
trattazione matematica contenuta in questo paragrafo.
L’espressione di una generica curva di indifferenza nello spazio dei punti (c1, c2) è data da:
U(c1, c2) = costante (21.3)
Sostituendo l’espressione che definisce il modello dell’utilità scontata (21.1) nell’equazione (21.3),
otteniamo la seguente equazione per una generica curva di indifferenza nello spazio (c1, c2):
u(c1) + u(c2)/(1+ρ) = costante (21.4)
A partire da questa espressione si calcola l’inclinazione delle curve di indifferenza, definita come
segue (l’appendice matematica di questo capitolo contiene la dimostrazione):
inclinazione della curva di indifferenza = - (1+ρ) [du(c1)/dc1] /[du(c2)/dc2] (21.5)
dove du(c)/dc rappresenta la derivata prima di u(c) rispetto a c, vale a dire il tasso al quale l’utilità
aumenta al crescere del consumo.
Il valore dell’inclinazione, dunque, è negativo per cui le curve di indifferenza sono inclinate
negativamente. Inoltre, se u è concava, in corrispondenza di punti sempre più in basso e a destra
lungo ogni curva di indifferenza, c1 aumenta e c2 diminuisce, di conseguenza, du(c1)/dc1 diminuisce
e du(c2)/dc2 aumenta, e l’inclinazione della curva di indifferenza diminuisce in valore assoluto.
Quindi u è concava, le curve di indifferenza sono convesse. Se invece u è lineare, du(c1)/dc1 e
du(c2)/dc2 sono costanti e diventa costante anche l’inclinazione delle curve di indifferenza (le curve
di indifferenza sono lineari). Proseguendo su questa linea di ragionamento, concludiamo che:
Se u è concava, lineare o convessa le curve di indifferenza sono convesse, lineari o concave nello
spazio (c1, c2).
1 E’ difficile pensare a valori negativi di consumo.