Capitolo 21: Il Modello dell'Utilità Scontata

Se il consumatore inizia a vivere nel periodo 1, il suo flusso di reddito sarà m1 nel periodo 1, m2 nel
periodo 2, …, mt nel periodo t, …, e, infine, mT nel periodo T. Nel periodo 1, l’individuo formula
un piano di consumo intertemporale (c1, c2, …, ct , …, cT) con l’obiettivo di massimizzare l’utilità
definita nell’equazione (21.6), dato il proprio flusso di reddito e il tasso di interesse (che assumiamo
essere noto). Nel periodo 1, l’individuo consuma c1 come pianificato. Cosa avviene nel periodo 2?
Il consumatore consuma c2 come pianificato o preferisce riformulare il proprio piano di consumo?
Dipende. Supponiamo che il consumatore decida di riformulare il proprio piano di consumo nel
periodo 2. In tal caso, passato il periodo 1, il consumatore massimizza una nuova funzione obiettivo
relativa ai periodi che vanno da 2 a T. A partire dalla formula dell’utilità intertemporale (21.6),
otteniamo la nuova funzione obiettivo:
U(c2, …, ct , …, cT) = u(c2) + u(c3)/(1+ρ) +…+ u(ct)/(1+ρ) t-2 +…+u(cT)/(1+ρ) T-2 (21.7)
Ora poniamoci la seguente domanda: la massimizzazione dell’utilità intertemporale (21.7) dato il
flusso di reddito da 2 a T, implica gli stessi valori ottimali di consumo c2, …, ct , …, cT di quelli
relativi al piano di consumo c1, c2, …, ct , …, cT formulato nel periodo 1?
La risposta è “si”. Il motivo non è intuitivo, ma possiamo comprenderlo ricorrendo alla matematica.
Infatti, la funzione di utilità intertemporale può essere riscritta come segue (la dimostrazione di
questa proposizione è contenuta nell’appendice matematica del capitolo):
U(c1, c2, …, ct , …, cT) = u(c1) + U(c2, …, ct , …, cT)/(1+ρ) (21.8)
Di conseguenza, la combinazione ottimale (c2, …, ct , …, cT), dato il valore ottimo di c1 ottenuto
dalla massimizzazione dell’utilità nel periodo 1 (rispetto alla scelta di c1, c2, …, ct , …, cT), è uguale
alla combinazione ottimale (c2, …, ct , …, cT) che risulta dalla massimizzazione dell’utilità
intertemporale nel periodo 1 (rispetto alla scelta di c1, c2, …, ct , …, cT ). Un consumatore razionale,
dunque, non dovrebbe riformulare il piano di consumo programmato nel periodo 1 in nessuno dei
periodi successivi al primo.
In pratica, e come è evidente dall’espressione (21.7), dati due periodi qualsiasi s e t, il peso relativo
associato all’utilità che deriva dal consumo nel periodo s è sempre uguale a (1+ρ) s-t qualsiasi sia il
periodo nel quale il consumatore sconta il futuro. Ciò significa che il consumatore non desidera
mai riformulare i propri piani di consumo (é ovvio che in assenza di incertezza, non c’è alcun
motivo per cambiare i propri programmi). Viceversa, se il tasso di sconto soggettivo è variabile nel
tempo, il consumatore potrebbe riformulare il piano di consumo programmato nel periodo 1. Questa
eventualità può essere interpretata come segue. Il consumatore che sconta il futuro in maniera
diversa in periodi diversi della propria vita può essere pensato come tanti individui con diversi tassi
di sconto soggettivi. Questo può essere il caso di una persona che al mattino si sveglia con
l’intenzione di non bere alcolici e la sera finisce inevitabilmente col farlo!
21.6: Riassunto
Nella maggior parte del capitolo ci siamo soffermati sulla definizione delle proprietà del modello
dell’utilità scontata in un’economia a due periodi. Solo nell’ultimo paragrafo abbiamo esteso il
modello ad uno scenario multi periodale. Tale estensione è stata giustificata da argomenti
normativi. Assumendo che il consumatore viva in due soli periodi, abbiamo ottenuto i seguenti
risultati:
Nel modello dell’utilità scontata, la funzione di utilità intertemporale è definita da U(c1, c2) = u(c1)
+ u(c2)/(1+ρ), dove ρ rappresenta il tasso di sconto soggettivo intertemporale.