Capitolo 21: Il Modello dell'Utilità Scontata

Per calcolare l’inclinazione delle curve di indifferenza nello spazio (c1, c2), calcoliamo il
differenziale totale di questa espressione, ottenendo:
u'(c1) dc1 + u'(c2) dc2/(1+ρ) = 0 (21.5)
dove u'(c) rappresenta la derivata prima di u(c) rispetto a c. Dalla definizione del differenziale
totale, risulta che:
dc2/dc1= - (1+ρ) u'(c1) / u'(c2) (A21.1)
Abbiamo così ottenuto l’inclinazione della curva di indifferenza come definita in (21.5).
Mostriamo ora come derivare l’espressione (21.5).
Se c1 * , c2 * , …, ct * , …, cT * è il piano di consumo che massimizza la funzione di utilità intertemporale
U(c1, c2, …, ct , …, cT) = u(c1) + u(c2)/(1+ρ) +…+ u(ct)/(1+ρ) t-1 +…+u(cT)/(1+ρ) T-1 (A21.2)
dato il flusso di reddito m1, m2, …, mt, …, mT,
al quale è associato il vincolo di bilancio intertemporale
m1 + m2/(1+r) + … + mT-1/(1+r) T-2 + mT/(1+r) T-1
= c1 + c2/(1+r) + … + cT-1/(1+r) T-2 + cT/(1+r) T-1 (A21.3)
allora il piano di consumo c2 * , …, ct * , …, cT * massimizza la funzione di utilità intertemporale
U(c2, …, ct , …, cT) = u(c2) + u(c3)/(1+ρ) +…+ u(ct)/(1+ρ) t-2 +…+u(cT)/(1+ρ) T-2 (A21.4)
dato il vincolo di bilancio intertemporale
m1 + m2/(1+r) + … + mT-1/(1+r) T-2 + mT/(1+r) T-1
= c1 * + c2/(1+r) + … + cT-1/(1+r) T-2 + cT/(1+r) T-1 (A21.5)
in quanto
U(c1, c2, …, ct , …, cT) = u(c1) + U(c2, …, ct , …, cT)/(1+ρ). (A21.6)