iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

£ §¡
= £
¤ =
¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥%¡¦©¦" ¨§!¡¡© ¢ !¨"# !%$&"¨ ¢## !
diventa
(2 29)
- ¥ ¡
!¦£
£ (2 30)
La sua soluzione è del tipo
=
¤ ¡
=£
¥£¢¥¤§¦
-¨
(2 31)
Non tutti i valori £ di però sono fisicamente accettabili, in quanto si deve imporre alla
(2.30) la condizione al contorno:
= (¤
2© ) (2 32)
)
che corrisponde all’indistinguibilità del sistema rispetto a una rotazione completa intorno
all’asse © . Questa condizione implica nella (2.31)
(¤
+
L’insieme dei numeri interi
£ ©© (2 = - = 0 1 2 33)
pertanto costituisce (in unità - ) lo spettro discreto
¥
dell’operatore £ §
e le corrispondenti autofunzioni (2.31) possono essere normalizzate:
3 2
0
2 = £
2
3 2
0
1 (2 34)
)
Il valore della costante di normalizzazione è dunque
(¤ ¤
£ =
1
(2 35)
2©
Il procedimento seguito nell’Esempio 2.1 è tipico. L’equazione agli autovalori
(eq. (2.29)) viene risolta in una certa rappresentazione, per esempio nello spazio delle
posizioni, in cui dare forma analitica esplicita all’operatore e all’autofunzione (eq.
(2.30)); in questo modo l’equazione agli autovalori diventa in generale un’equazione
differenziale che esige, per la sua soluzione, delle condizioni al contorno; la condizione
al contorno (eq. (2.32)) determina la discretizzazione dello spettro degli autovalori
propri e quindi l’appartenenza delle autofunzioni proprie allo spazio % 2 (& ' 3 ).
Perciò infine si può normalizzare l’autofunzione e fissare la costante di normalizzazione
(eq. (2.35)) 19 .
19 Per un breve riassunto riguardante la teoria delle equazioni differenziali si veda l’Appendice B.
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