iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

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¡ §¨§ 2
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Quando l’energia del sistema non è definita perché il suo stato è costituito da
un pacchetto di onde e non da un singolo autostato della hamiltoniana, esiste la
possibilità di una certa dispersione dei valori di energia intorno a quello più probabile
come esito di una misurazione. In analogia con quanto fatto in meccanica statistica
(cfr. Esempio I.2.4, eq. (I.2.76)), le fluttuazioni di energia intorno al valore più
probabile sono misurate dallo scarto quadratico medio definito dalla relazione:
cioè
$ 1 2
8 (58 1)
$ 1 ) 2 1)
(¤$ ) 2 = . ($
Se lo stato del sistema è in un autostato di $ ,
(¤$ ) 2 = . $ 2
1
Allora non ci ¤ $
sono fluttuazioni,
di tipo (3.11), 2
1 ¢= 2 . $ 1 e ¤ $
$ .
= 0. Se invece il sistema si trova in uno stato
dà un’indicazione della dispersione di valori di
energia che intervengono nella sovrapposizione (3.11).
$ 1 = )
$ 2
1 = 2
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Esercizio 5.1
La condizione di assenza di dispersione d’energia, ¥ = 0, si può mettere sotto la
forma
dove ¡ §
= 1. Utilizzando la disuguaglianza di Schwarz (1.7), verificare che la
.
condizione ¥ = 0 equivale a imporre:
§
=
§
¡ §¡ §
Esercizio 5.2
Valutare esplicitamente ¥ per uno stato di tipo (3.11).
Esercizio 5.3
Se nella (4.2) varia (! §
+§ in ), è possibile calcolare lo scarto quadratico
(¥ medio ) 2 ?
Di fronte a un sistema quantistico, in assenza di ulteriori informazioni si può
solo ipotizzare che lo stato del sistema sia del tipo (3.11). Perciò si è costretti a parlare
in termini probabilistici invocando il valore di aspettazione dell’energia e lo scarto
quadratico medio. Tuttavia, quando si compie davvero una misurazione sul sistema,
a meno degli errori intrinseci strumentali dell’apparato sperimentale, è possibile in
linea di principio ottenere valori precisi delle osservabili che si misurano. Una volta
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