iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

%
.
¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥¡©¨§¡¡© ¢ !¨"# !%$&¨"#¢## !
Esercizio 1.1
Utilizzando le proprietà (1.2), (1.3) e (1.6), dimostrare la disuguaglianza
¦¨§© ¡¤£¥ £§ ¡¦ ¦§
¢¡¤£¥
dove il segno di uguale si verifica se e solo se e sono tra di loro proporzionali.
La (1.7) è nota come disuguaglianza di Schwarz 8 . Essa garantisce la convergenza
dell’integrale (1.1) quando £ 2 3 ¦ ). ( £¦
(1 7)
Sulle funzioni (
è necessario agire con operatori:
( = (8 (18 8)
In generale, oltre alla sua espressione esplicita 9 , la completa definizione dell’operatore
richiede anche la definizione del dominio ! ( ) delle funzioni ( su cui opera.
L’insieme di funzioni, " ( ), tale che a ogni sua funzione ( corrisponda almeno una
funzione ( ,#! ( ), è detto rango o immagine di : in generale il dominio ! ( )
non coincide con " la sua immagine ( ).
Nel ! ($ seguito il dominio $
) dell’operatore hamiltoniano verrà indicato con
e avranno interesse ! operatori con dominio ( ) denso 10 in 2 3 ). Dato (& % '
che la hamiltoniana contiene l’energia cinetica, che nello spazio delle posizioni è
rappresentata da un laplaciano, gli elementi dello spazio di Hilbert sono funzioni
%
2 3 (& ' ) tali da potersi anche derivare due volte (eventualmente nel senso delle
% , (
distribuzioni, cfr. Appendice A). Inoltre sarà opportuno che gli elementi di " ($ )
siano % ancora in 2 3 ). Tuttavia, con opportune cautele si renderà necessario
(& '
utilizzare anche operatori con un dominio più ampio.
Per salvaguardare il principio di sovrapposizione lineare occorre considerare
operatori lineari:
(=¥( 1 + >;( 2) = =& ( 1 + > ( 28 (18 9)
Si possono ricordare alcune definizioni riferite a operatori lineari 11 :
1) operatore aggiunto (' (o coniugato hermitiano) di :
8 Hermann Amandus Schwarz (1843–1921).
' (0/ *¢1 = . (0/ *1;)*)A* ,+! ( )8 (18 10)
9 , può essere, per esempio, di tipo moltiplicativo (per un numero o una funzione), derivativo oppure
integrale.
10 Un insieme -/.10 è detto denso in 0 se l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti - è uguale
a 0 . Ne segue che - è denso in 0 se e solo se 2 ortogonale a - per 24350 implica 2 = 0.
11 Frigyes Riesz e Béla Sz.-Nagy: Leçons d’analyse functionnelle, Académie des Sciences de Hongrie,
1955 [traduzione inglese della seconda edizione francese a cura di Leo F. Boron: Functional Analysis,
Frederick Ungar Publ. Co., New York, 1955].
Guido Fano: Metodi matematici della meccanica quantistica, Zanichelli, Bologna, 1967.
154