iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

¡
¨
'
( !
¨
4
¢
4
) 2 §
= 0
£
£
=
= (¥
) 2
¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥%¡¦©¦" ¨§!¡¡© ¢ !¨"# !%$&"¨ ¢## !
che ha per soluzione
+ ¢
- (¤ ) 2 " 2¡
-
¢ 4
4 ¡
¢
-
£ 0# ¡ ( ) = 0) (78 7)
2
) ' =
4(¤
( exp
) + 2 0 ¡ 8 (78 8)
£ ¡
La costante si determina per normalizzazione ' della :
3 +
0/ ( )/ 2 = 18 (78 9)
Utilizzando l’integrale di Poisson,
3 +
¨¡
¤
2
=
) (78 10)
si ottiene
= [ ¢ 2£ (¤ )]¨
1
2 8 (78 11)
La funzione d’onda (7.8) corrisponde effettivamente all’ipotesi (7.4) di una particella
con impulso medio pari a - £ 0 e con posizione media nell’origine. La densità di
probabilità che ne risulta,
¢
( ) 2 / ( )/ 2 =
1
(¤ ) exp
2
2£
è infatti di tipo gaussiano centrata intorno a = 0 e con larghezza ¤ .
Esercizio 7.1
Utilizzando la funzione (7.8) si verifichino le relazioni
2(¤ ) 2¡ ) (78 12)
¡ §
in accordo con le premesse (7.4).
¡ §
La ( ) data dalla (7.12) è del tipo di funzioni che permettono di definire la delta
di Dirac (cfr. eq. (A.26)). Pertanto è
¤
¤ ¤
= ( )8 (78 lim
13)
0
Ciò corrisponde alla situazione di una particella perfettamente localizzata in = 0
con ¤ = 0.
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