Prove triassiali

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE 

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale 

Sezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica) 

“RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI” 

Corso di Geotecnica 

Ingegneria Edile, A.A. 2010\2011 

Johann Facciorusso 

johannf@dicea.unifi.it 

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Dr. Ing. . Johann Facciorusso 

Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile 

A.A. 2010/2011 

Rappresentazione degli stati tensionali 

PIANI E TENSIONI PRINCIPALI 

Preso un punto P all’interno di un corpo 

continuo, le tensioni sui possibili elementi 

superficiali infinitesimi passanti per P 

(tensione risultante e relative componenti 

normale σ e tangenziale τ sull’elemento 

superficiale considerato) variano in generale 

da elemento a elemento. 

σ 

Si può dimostrare che nella stella di 

piani passanti per P esistono almeno 3 

piani, ortogonali fra loro, su cui agiscono 

esclusivamente tensioni normali. Questi 

3 piani sono detti principali; le tensioni 

che agiscono su di essi sono dette 

tensioni principali 

σ 1 

= tensione principale maggiore (agisce sul piano principale maggiore π 1 

) 

σ 2 

= tensione principale intermedia (agisce sul piano principale intermedio π 2 

) 

σ 3 

= tensione principale minore (agisce sul piano principale minore π 3 

) 

3 

σ 

2 

π 

1 

π 

2 

π 

3 

P 

σ 

σ 

1 

1 

σ 

2 

2/77 

σ 

3



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STATI TENSIONALI 

STATO TENSIONALE ISOTROPO 

σ 1 

= σ 2 

= σ 3 

(tensione isotropa) 

tutti i piani della stella sono 

principali e la tensione (isotropa) 

è eguale in tutte le direzioni. 

STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO 

σ i 

= σ j 

≠σ k 

esiste un fascio di piani principali (che ha per asse la 

σ k 

)sui quali agiscono tensioni uguali (σ i 

= σ j 

) e un 

piano principale ad essi ortogonale (sul quale agisce 

la σ k 

) 

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STATO TENSIONALE PIANO 

Poiché gli stati tensionali critici per i terreni interessano, nella maggior parte 

dei problemi pratici, piani ortogonali al piano principale intermedio, ovvero 

appartenenti al fascio avente per asse la direzione della tensione principale 

intermedia σ 2 

, è possibile ignorare il valore e gli effetti della tensione 

principale intermedia e riferirsi ad un sistema piano di tensioni 

σ 

1 

σ 

1 

σ 

3 

P 

θ 

Piano π 

Piano principale minore π 

3 

σ 

Piano principale maggiore, π 1 

3 

CONVENZIONE SEGNI: 

σ positiva se di compressione; 

τ positiva se produce rotazione anti oraria 

rispetto ad un punto mediatamente 

esterno al piano di giacitura 

θ positivo in senso antiorario 

σ 

θ 

θ 

τ 

θ 

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CERCHIO DI MOHR 

Si consideri, nell’intorno del punto P, un elemento prismatico triangolare di 

spessore unitario e lati di dimensioni infinitesime, disposti parallelamente ai 

due piani principali, π 1 

e π 3 

, e ad un generico piano π passante per P inclinato 

di θ rispetto a π 1 

. 

σ 

1 

σ 

1 

σ 

3 

P 

θ 

σ θ 

τ θ 

Piano π 

σ 

Piano principale maggiore, π 1 

3 

σ 

θ 

θ 

dl 

τ 

θ 

Piano principale minore π 

3 

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Dall’equilibrio alla traslazione dell’elemento prismatico nelle direzioni π 1 

e π 3 

: 

σ 

σ 

3 

1 

⋅ dl ⋅sin 

θ − σ 

⋅ dl ⋅ cosθ − σ 

θ 

θ 

⋅ dl ⋅sin 

θ − τ 

⋅ dl ⋅ cosθ + τ 

⋅ dl ⋅ cosθ = 0 

⋅ dl ⋅sin 

θ = 0 

Equazione di un cerchio sul piano (σ,τ) 

θ 

θ 

τ 

σ 

θ 

θ 

σ1 

−σ 

3 

= 

2 

= σ 

3 

+ 

⋅ sin 2θ 

2 

( σ −σ 

) ⋅cos 

θ 

1 

3 

σ 

1 

Riportando in un sistema di assi cartesiani ortogonali 

(piano di Mohr) le tensioni normali, σ, lungo l’asse X e le 

tensioni tangenziali, τ , lungo l’asse Y, al variare di θ, si 

ottiene un cerchio (cerchio di Mohr) con: 

RAGGIO : R = (σ 1 

– σ 3 

)/2 CENTRO : C ≡ [(σ 1 

+ σ 3 

)/2; 0] 

σ 

3 

re, π 1 

θ 

σ 

θ 

dl 

τ 

θ 

che rappresenta il luogo geometrico delle condizioni di tensione su tutti i 

piani del fascio. 

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τ 

θ 

Y 

Def. Si definisce polo o origine dei piani il punto tale che qualunque retta 

uscente da esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate 

rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta 

considerata. 

O 

σ 

3 

A 

σ 

θ 

θ 

σ 

1 

C 

2θ 

D 

E 

B 

Se si assume il piano principale maggiore π 1 

come riferimento per individuare l’orientazione 

dei piani del fascio (la cui traccia è l’asse X) 

A ≡ (σ 3 

,0) rappresenta il polo 

X 

Se si assume il piano principale minore π 3 

come 

riferimento per individuare l’orientazione dei 

piani del fascio (e la cui traccia coincide con 

l’asse X), il polo coincide con B ≡ (σ 1 

,0) 

OSS. L’angolo di inclinazione θ tra due piani (BÂD) è metà dell’angolo al 

centro del cerchio di Mohr che sottende i punti rappresentativi delle tensioni 

agenti sui due piani (BĈD). 

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Se per individuare l’orientazione dei piani del fascio si assume come riferimento 

il piano orizzontale, non coincidente con un piano principale, sul quale agiscono 

la tensione normale σ D 

e tangenziale τ D 

, il polo, P, è individuato 

dall’intersezione col cerchio di Mohr della retta orizzontale condotta dal punto 

D che ha per coordinate la tensione normale e tangenziale sul piano orizzontale. 

Y 

σ D 

O 

σ 

polo 

3 

A 

P 

σ 

1 

90°‐β 

α 

C 

cβ 

Tensione sul piano 

orizzontale 

D 

E 

B 

Tensione sul piano inclinato di 

rispetto all’orizzontale 

X 

τ π D 

1 β α 90°‐β 

α 

π 2 

σ 1 

σ 3 

β = inclinazione (oraria) del piano principale 

maggiore rispetto all’orizzontale 

90° ‐ β = inclinazione (antioraria) del piano 

principale minore rispetto all’orizzontale 

α = inclinazione (oraria) del generico piano del 

fascio rispetto all’orizzontale 

σ E 

τE 

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Criterio di rottura di Mohr‐Coulomb 

RESISTENZA AL TAGLIO 

Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali 

sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di 

incipiente rottura. 

Def. La resistenza al taglio di un terreno in una direzione è la massima 

tensione tangenziale, τ f 

, che può essere applicata al terreno, in quella direzione, 

prima che si verifichi la “rottura”. 

Nella Meccanica dei Terreni si parla di resistenza al taglio, perché nei terreni, 

essendo di natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono 

principalmente per scorrimento relativo fra i grani. 

La rottura (ovvero quella condizione cui corrispondono deformazioni 

inaccettabilmente elevate): 

‣ può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza 

(come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi) 

‣ oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza 

completa perdita di resistenza (come si verifica spesso nei terreni) 

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In linea teorica se si utilizzasse per l’analisi delle condizioni di equilibrio e di 

rottura dei terreni un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a 

contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e 

tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di 

equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è 

applicabile. 

In pratica si utilizza un modello continuo, costituito, nell’ipotesi di terreno 

saturo, dalla sovrapposizione nello stesso spazio di un continuo solido 

corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente 

all’acqua che occupa i vuoti interparticellari. 

OSS: l’hp di mezzo continuo è accettabile anche perchè la dimensione 

caratteristica dei fenomeni di interesse pratico è molto maggiore di quella della 

microstruttura, ovvero dei grani e dei pori. 

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Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, 

definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali (I parte 

del principio delle tensioni efficaci): 

σ’= σ ‐ u 

La resistenza al taglio dei terreni è legata alle tensioni efficaci (II parte del 

principio delle tensioni efficaci): 

“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la 

compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile 

esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci” 

τ f = f (σ’ ) 

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CRITERIO DI MOHR‐COULOMB 

Il più semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr‐ 

Coulomb (‐Terzaghi): 

τ 

f 

= 

cʹ+ 

( σ − u) ⋅ tan ϕ ʹ = cʹ+σʹ 

⋅tan 

ϕʹ 

n , f 

Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi) 

la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto Psu una 

superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è data dalla somma 

di due termini: 

il primo, detto coesione (c’), è indipendente dalla tensione efficace (σ’) 

agente nel punto P in direzione normale alla superficie 

il secondo è proporzionale a σ’ mediante un coefficiente d’attrito tanϕ’. 

L’angolo ϕ’ è detto angolo di resistenza al taglio. 

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Nel piano di Mohr il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb è descritto da una 

retta, detta retta inviluppo di rottura, che separa gli stati tensionali possibili da 

quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del 

materiale. 

τ 

τ 

f 

= 

cʹ+σʹ 

n , f 

⋅tan 

ϕʹ 

STATI TENSIONALI 

IMPOSSIBILI 

ϕ’ 

c’ 

STATI TENSIONALI POSSIBILI 

σ’ 

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Se nel punto P si verifica la rottura, lo stato di tensione corrispondente 

(supposto per semplicità piano) sarà rappresentato nel piano τ‐σ’ da un 

cerchio di Mohr tangente all’inviluppo di rottura 

τ 

inviluppo di rottura 

ϕ’ 

rottura 

stato tensionale relativo al punto P 

in cui si verifica la rottura 

τ 

f 

c’ 

O 

σ’ 

3,f 

σ’ 

n,f 

no rottura 

Impossibile 

σ’ 

σ’ 1,f 

N.B. Un cerchio di Mohr tutto al di sotto della retta inviluppo di rottura indica 

invece che la condizione di rottura non è raggiunta su nessuno dei piani 

passanti per il punto considerato, mentre non sono fisicamente possibili le 

situazioni in cui il cerchio di Mohr interseca l’inviluppo di rottura. 

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τ 

f 

(Nel punto P) l’inclinazione del piano di rottura (sul quale agiscono agiscono 

la tensione efficace normale σ’ n,f e la tensione tangenziale τ f ) rispetto al piano 

principale maggiore (sul quale agisce σ’ 1,f ) è pari a: 

θ f = π/4 + ϕ’/2 

τ 

c’ 

traccia del piano 

di rottura 

F O σ’ A 

3,f 

C B 

σ’ 

n,f 

D 

σ’ 1,f 

θ = π/4+ϕ’/2 

f 

2θ 

f 

ϕ’ 


σ‘ 

τ n,,f 

f 

π 1 θ f 90°−θ f 

π 3 

σ’ 

σ‘ 1,f 

σ‘ 3,f 

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OSSERVAZIONI 

I. Il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb non dipende dalla tensione principale 

intermedia, σ’ 2,f 

τ 

ϕ’ 

c’ 

σ’ 

3,f 

σ’ 

2,f 

σ’ 

1,f 

C 

B 

σ’ 

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II. La tensione τ f 

non èil valore massimo della tensione tangenziale, che è 

invece pari al raggio del cerchio di Mohr: 

τ 

max 

= 

1 

2 

⋅ 

( 

' ' 

σ −σ 

) 

τ 

1 

max 

3 

τ 

ed agisce (E) su un piano ruotato di π/4 rispetto al 

piano principale maggiore (e quindi di ϕ’/2 rispetto 

al piano di rottura) 

traccia del piano 

di rottura 

θ = π/4+ϕ’/2 

τ 

f 

F 

D E 

O c’ π/4 

σ’ A C 

3,f 

ϕ’ 

B 

σ’ 

n,f 

σ’ 1,f 

f 


σ’ 

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III. I parametri di resistenza al taglio c’ e tanφ’ non sono caratteristiche fisiche 

del terreno, ma sono funzione di molti fattori (storia tensionale, indice dei 

vuoti, tipo di struttura, composizione granulometrica, etc.). 

IV. L’inviluppo a rottura può presentare c’ = 0. 

V. L’inviluppo di rottura reale non è necessariamente una retta (anzi, è 

marcatamente curvilineo in prossimità dell’origine degli assi); spesso tale 

approssimazione è accettabile solo in un campo limitato di tensioni. 

VI. Come conseguenza del principio delle tensioni efficaci: 

‐ per i terreni a grana grossa (nei quali a variazioni di tensione totale 

corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace) la 

resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel 

tempo dopo l’applicazione del carico. 

‐ per i terreni a grana fine (consolidazione): 

a. se le tensioni efficaci crescono (es. rilevato), anche la resistenza al taglio 

cresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a breve termine, 

b. se le tensioni efficaci decrescono (es. scavo) anche la resistenza al taglio 

decresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a lungo termine 18/77



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Criterio di Tresca 

CRITERIO DI TRESCA 

Qualora il terreno pervenga a rottura in condizioni non drenate (in genere nei 

terreni coesivi e quando la velocità di applicazione del carico è tale da impedire 

lo smaltimento delle sovrappressioni interstiziali) e quando non è nota l’entità 

delle sovrappressioni Δu, la resistenza al taglio può essere determinata ed 

espressa solo in termini di tensioni totali, secondo il criterio di Tresca: 

τf = c u 

dove c u 

èla resistenza al taglio non drenata. 

Nel piano di Mohr il criterio di Tresca è descritto da una retta orizzontale (ϕ u 

= 

0), che inviluppa i cerchi di rottura espressi in termini di tensioni totali: 

τ 

τf = c 

u 

( ϕu 

= 

0) 

c u 

σ 

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Coefficienti di Skempton 

COEFFICIENTI DI SKEMPTON 

IPOTESI: Elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all’interno 

di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna orizzontale 

STATO TENSIONALE: assial‐simmetrico (le tensioni geostatiche verticale e 

orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra 

loro uguali; cioè σ 1 

= σ v 

e σ 2 

= σ 3 

= σ h 

, con σ v 

> σ h 

). 

CONDIZIONI DI CARICO E DI FALDA: 

nessun carico applicato e condizioni 

idrostatiche 

σ 3 

σ 1 

u/γ w 

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Si applica, in modo istantaneo in superficie, un carico (infinitamente esteso in 

direzione orizzontale), che produce istantaneamente, nell’elemento di terreno 

considerato, un incremento assial simmetrico dello stato tensionale totale (Δσ 1 

e 

Δσ 2 

= Δσ 3 

) e un incremento della pressione interstiziale (Δu), che possono essere 

scomposti (nell’hp Δσ 1 

> Δσ 3 

) in: 

‣ incremento delle tensioni isotropo, cioè eguale in tutte le direzioni, 

di intensità Δσ 3 

(con incremento di pressione interstiziale Δu b 

) 

‣ incremento deviatorico, agente solo in direzione verticale, 

di intensità (Δσ 1 

– Δσ 3 

) (con incremento di pressione interstiziale Δu a 

) 

Δu/ γ w 

Δu/ 

b γ 

Δσ 

= 

1 

Δσ 3 

Δσ 3 

Δσ 3 + 

w 

Δu= Δu a 

+ Δu b 

Δσ 1 

−Δσ 3 

0 

Δu/ 

γ 

a 

21/77 

w



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Si definiscono coefficienti di Skempton i rapporti: 

B 

= 

Δ 

u b 

Δσ 3 

A 

= 

Δ 

u a 

( Δσ 

− Δ ) 3 

1 

σ 

A = 

A 

B 

e complessivamente l’incremento di pressione interstiziale 

all’applicazione del carico risulta: 

Δu 

= 

oppure: 

Δu 

B ⋅ Δσ 

= B ⋅ 

3 

+ A 

⋅ 

( Δσ − Δσ 

) 

[ Δσ 

+ A⋅ 

( Δσ 

− Δ )] 

3 1 

σ 

3 

1 

3 

conseguente 

Tali coefficienti possono essere determinati in laboratorio con prove triassiali 

consolidate non drenate. 

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COEFFICIENTE B DI SKEMPTON: 

a) terreno saturo (S r 

= 1): un incremento di tensione totale isotropa Δσ in 

condizioni non drenate non produce alcuna deformazione ⇒ in base al 

principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di tensione 

1.0 

efficace (Δσ’= 0) 

Δu 

B = 

Δ σ 

Δσ = Δσ’+ Δu= Δu = 1 

b) terreno asciutto (S r 

= 0): un incremento di 

tensione totale isotropa Δσ non produce 

variazioni delle pressioni interstiziali (Δu= 0): 

Δu 

B = 

Δ σ 

Δσ = Δσ’+ Δu= Δσ’ = 0 

c) terreno non saturo (0



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COEFFICIENTE A DI SKEMPTON: 

Nell’ipotesi di terreno saturo, in condizioni non drenate, il coefficiente A (= 

A) non è unico per lo stesso terreno, ma dipende (a differenza di B, sempre 

uguale a 1) dall’incremento di tensione deviatorica (Δσ 1 

– Δσ 3 

) e dallo stato 

tensionale iniziale. 

1.0 

Di particolare interesse èil valore a rottura: 

A 

f 

= 

A 

cui OCR; 

f 

Δu 

f 

= 

( Δσ − Δσ ) 

1 

‐ per argille NC varia di norma tra 0.5 e 1 

‐ per argille fortemente OC è negativo. 

3 

f 

Coefficiente A di Skempton 

0.5 

0 

-0.5 

1 

2 3 4 6 810 20 

Grado di sovraconsolidazione, OCR 

24/77 

fAf 

dipende da numerosi fattori tra



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PROVA DI TAGLIO DIRETTO 

Prova di taglio diretto 

TIPO DI TERRENO: campioni ricostituiti di materiali sabbiosi; campioni 

indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine. La dimensione massima dei 

grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all’altezza del provino. 

SCOPO DELLA PROVA: 

determinare le caratteristiche di 

resistenza al taglio del terreno 

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ATTREZZATURA: il provino è un prisma a sezione quadrata (lato = 60÷100 mm 

>> altezza = 20÷40 mm per velocizzare il processo di consolidazione e ridurre 

l’attrito laterale) 

Il provino è inserito in un telaio 

metallico diviso orizzontalmente in 2 

parti uguali; è racchiuso tra due piastre 

metalliche forate e nervate, carta filtro 

e pietre porose. 

Il tutto èposto in una scatola metallica 

piena d’acqua che può scorrere a 

velocità prefissata su un binario 

trascinando la parte inferiore del 

telaio; la parte superiore è bloccata da 

un contrasto collegato ad un 

dinamometro per la misura delle forze 

orizzontali. 

Pietre 

porose 

Capitello 

Telaio 

Provino 

Sulla testa del provino si trova un capitello che consente di trasformare un 

carico verticale in pressione uniforme. 

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PROCEDURA DI PROVA (la prova è eseguita su almeno 3 provini): 

I. fase di consolidazione 

È applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo (in genere 24h) 

una forza verticale N che dà inizio ad un processo di consolidazione edometrica 

(essendo il provino saturo confinato lateralmente) 

Si misurano gli abbassamenti del provino , ΔH, nel tempo, controllando in tal 

modo il processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione 

verticale efficace media: ' N 

σ 

(A = area trasversale del provino) 

n 

= 

A 

II. fase di taglio 

Si fa avvenire lo scorrimento orizzontale (prova a deformazione controllata) 

della parte inferiore della scatola a velocità costante (2∙10 ‐2 mm/s per sabbie; 10 ‐4 

mm/s per argille) e molto bassa (per evitare l’insorgere di sovrappressioni 

interstiziali, altrimenti non misurabili) producendo quindi il taglio del 

provino nel piano orizzontale medio (in condizioni drenate). 

Si controlla lo spostamento orizzontale relativo δ e si misurano la forza 

orizzontale T(t), che si sviluppa per contrastare lo scorrimento, e le variazioni 

di altezza del provino. 

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INTERPRETAZIONE DELLA PROVA: 

A partire dalle misure effettuate, durante la prova, di: 

ΔH (t)durante la fase di consolidazione edometrica 

δ (t),T(t) e ΔH(t) durante la fase di taglio 

si possono ricavare: 

a) I parametri di consolidazione (es. c V 

) del terreno, limitatamente al carico 

applicato, N (e alla pressione di consolidazione raggiunta, σ’), sulla base dei 

quali può essere tarata la velocità di scorrimento nella fase successiva. 

T 

b) Si determina la forza resistente di 

picco Tf oppure, quando non si 

possa individuare chiaramente un 

Tf 

valore di picco della resistenza, la 

forza T corrispondente ad un 

prefissato spostamento, δr (pari al Tf 

20% del lato del provino) a partire 

dalle misure di T(t) diagrammate 

rispetto allo scorrimento δ 

δf 

δr 

δ 

28/77



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c) La tensione normale e di taglio che agiscono sul piano di rottura (orizzontale) 

sono rispettivamente: 

σ 

' ' 

n , f = σ n = 

N 

A 

τ f = 

T f 

A 

(coordinate di un punto del piano di Mohr 

appartenente alla linea di inviluppo a rottura) 

Ripetendo la prova con differenti valori di N (almeno 3, scelti tenendo conto 

della tensione verticale efficace geostatica) si ottengono i punti sperimentali che 

sul piano di Mohr permettono di tracciare la linea di inviluppo a rottura: 

τ 

τ 3f 

τ 

f 

= c ' + σ ' ⋅tanφ' 

e determinare c’ e ϕ’ 

τ 

ϕ' 

σ' 3n 

τ 2f 

σ' 2n 

τ 1f 

σ' 1n 

Spostamento, δ 

c' 

σ' 1n 

σ' 2n 

σ' 3n 

σ' 

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STATO TENSIONALE: 

All’inizio della fase di taglio (fine consolidazione) lo stato tensionale è di tipo 

geostatico (assial‐simmetrico con piani orizzontale e verticale principali); 

a rottura il piano orizzontale e verticale non sono più piani principali. 

Stato tensionale iniziale 

Stato tensionale a rottura 

τ 

τ 

Tensione sul 

piano di rottura 

ϕ‘ 

τ 

f 

α 

β 

POLO 

σ’ n 

c’ 

Spostamento, δ 

σ’ = K σ’ σ’ σ’ σ’ 

σ’ 

3,0 

3f 

0 n 

1,0= 

α e β = inclinazione dei p.p. minore e maggiore 

rispetto all’orizzontale 

n 

1f 

30/77 

σ’



A.A. 2010/2011 


LIMITI DELLA PROVA DI TAGLIO DIRETTO : 

1. l’area A del provino varia (diminuisce) durante la fase di taglio (per cui 

bisogna tenerne conto nel calcolo delle tensioni a rottura, σ’ n,f 

e τ f 

) 

2. la pressione interstiziale non può essere controllata (se si generano 

sovrappressioni non possono essere quantificate) 

3. non sono determinabili i parametri di deformabilità 

4. la superficie di taglio è predeterminata e, se il provino non è 

omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima 

31/77



A.A. 2010/2011 

Prove triassiali 

TIPO DI TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali 

sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine. 

SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di resistenza al taglio e 

di rigidezza del terreno. 

MODALITÀ DI PROVA: 

la prova in modalità 

standard si esegue a 

compressione su provini 

saturi, consolidati o 

meno, in condizioni 

drenate o non drenate, a 

deformazione controllata 

(altre modalità di prova 

prevedono, ad esempio, 

differenti percorsi di 

carico o provini non 

saturi). 

PROVE TRIASSIALI STANDARD 

32/77



A.A. 2010/2011 


FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: i provini di terreno hanno forma 

cilindrica con rapporto altezza/diametro generalmente compreso tra 2 e 2.5. Il 

diametro è di norma 38 o 50mm (e deve essere almeno 10 volte maggiore della 

dimensione massima dei grani). 

STATO TENSIONALE: è di tipo assialsimmetrico 

e rimane tale durante tutte le fasi 

della prova, quindi le tensioni principali 

agiscono sempre lungo le direzioni assiale e 

radiali del provino 

σ 1 

= σ a 

σ 2 

= σ 3 

= σ r 

33/77



A.A. 2010/2011 


APPARECCHIATURA: si compone di una cella, interamente riempita d’acqua, 

messa in pressione, che consente di trasmettere al provino, contenuto al suo 

interno, una pressione isotropa (misurabile). 

Il provino, appoggiato su un piedistallo 

Carico assiale 

rigido, riceve il carico assiale (misurabile) 

tramite una piastra di carico di contrasto 

ed è isolato dall’acqua contenuta nel 

cilindro tramite una membrana che lo 

avvolge lateralmente, mentre un circuito di 

drenaggio regola il flusso d’acqua (in 

entrata o in uscita) nella sola direzione 

verticale e consente di misurare, quando è 

aperto, il volume d’acqua in uscita, quando 

è chiuso, la pressione interstiziale interna. 

Il piedistallo su cui appoggia 

il provino, avanza, mediante 

una pressa, con una velocità 

costante (con la possibilità di 

misurare gli abbassamenti). 

Misuratore della 

Pressione di cella 

Provino 

Misuratore del 

carico assiale 

Misuratore degli 

spostamenti verticali 

Misuratore della 

pressione interstiziale 

Misuratore del 

Volume d’acqua 

scambiato 

34/77



A.A. 2010/2011 


Particolare della cella triassiale 

35/77



A.A. 2010/2011 


Con l’apparecchio triassiale standard è quindi possibile: 

esercitare una pressione totale isotropa sul provino tramite l’acqua di cella; 

fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino 

misurandone le variazioni di volume (= quantità di acqua espulsa dai tubi di 

drenaggio); 

deformare assialmente il provino a velocità costante fino ed oltre la rottura 

misurando la forza assiale di reazione corrispondente; 

controllare (e misurare) le deformazioni assiali del provino (tramite la 

velocità di avanzamento della pressa) durante la compressione assiale; 

misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino durante la 

compressione assiale a drenaggi aperti; 

misurare la pressione dell’acqua nei condotti di drenaggio (assunta uguale 

alla pressione interstiziale, supposta uniforme, nei pori del provino) durante la 

compressione a drenaggi chiusi; 

mettere in pressione l’acqua nei condotti di drenaggio, creando una eguale 

pressione interstiziale nel provino (contropressione o back pressure) 

36/77



A.A. 2010/2011 


TIPI DI PROVA: 

Le prove triassiali standard sono condotte secondo tre modalità : 

prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (TxCID), 

prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU), 

prova triassiale non consolidata non drenata (TxUU). 

e i risultati vengono interpretati ipotizzando un comportamento deformativo 

isotropo del terreno. 

FASE DI SATURAZIONE (fase 0) 

Per tutti e tre i tipi di prova, il provino è saturato mediante σ c,s u 

l’applicazione (per un certo tempo) di una tensione 

0 

isotropa di cella σ c,s 

e di una poco minore contropressione 

(backpressure, b.p.) dell’acqua interstiziale u 0 

(per non 

avere consolidazione e variazione di tensione efficace). σ c,s 

Per verificare l’avvenuta saturazione: 

1. a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di cella di una quantità Δσ e si 

misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, Δu 

2. se B = Δu/Δσ > 0,95 si considera il provino saturo 

3. se invece risulta B < 0,95 si incrementano della stessa quantità la pressione di 

cella e la b.p. e si ripete dopo un certo tempo la misura di B . 

σ c,s 

σ c,s 

immissione di H 2 

O 

a pressione u 0 

37/77



A.A. 2010/2011 

La prova si svolge in due fasi. 

I. FASE DI CONSOLIDAZIONE 

Il provino, precedentemente saturato, 

è sottoposto a compressione isotropa 

mediante un incremento della 

pressione di cella, a drenaggi aperti 

fino a completa consolidazione. 

PROVA TxCID 

σ c 


σ c 

pressione 

di cella 

u 0 

σ c 


σ a fine consolidazione 

c 

drenaggio aperto 

volume H 2 

0 espulso = ΔV 

La pressione di consolidazione, σ’ c 

, è 

pari alla differenza fra la pressione di 

cella (totale), σ c 

, e la contropressione 

interstiziale, u 0 

: 

σ’ c = σ c –u 0 

Il processo di consolidazione è 

controllato attraverso la misura nel 

tempo del volume di acqua espulso (= 

ΔV) 

38/77



A.A. 2010/2011 


II. COMPRESSIONE ASSIALE 

Ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il 

pistone a velocità costante e sufficientemente 

bassa da non produrre sovrappressioni 

interstiziali all’interno del provino (ad es. 

inversamente proporzionale al tempo di 

consolidazione). 

σ r = σ c 

Durante la fase di compressione assiale: 

• si controlla la variazione nel tempo dell’altezza del provino, ΔH 

• si misurano: 

‣ la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino 

‣ il volume d’acqua espulso o assorbito dal provino ΔV 

(corrispondente alla sua variazione di volume nell’ipotesi di 

provino saturo) 

σ r 

σ a = σ c +N/A 

σ c 

u 0 

N/A 

σ c 

u = pressione 

interstiziale, costante 

drenaggio aperto 

volume H 2 

0 scambiato = ΔV 

N/A = Pressione 

trasmessa dal pistone 

A = area della 

sezione orizzontale 

σ c 

= pressione 

di cella, costante 

39/77



A.A. 2010/2011 


INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: 

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, 

fino ed oltre la rottura del provino: 

la deformazione assiale media, 

ε a 

= ‐ ΔH/H 0 

la deformazione volumetrica media, 

ε V 

= ‐ ΔV/V 0 

la deformazione radiale media, 

ε r 

= (ε V 

– ε a 

) / 2 (essendo ε V 

= ε a 

+ 2∙ε r 

) 

la tensione assiale media, 

σ a 

= N/A + σ c 

(totale) 

σ a 

’= σ a 

–u 0 (efficace) 

la tensione radiale, 

σ r 

= σ c 

(totale) 

σ’ r 

= σ c 

–u 0 

= σ’ c 

(efficace) 

la tensione deviatorica media, 

q =σ a 

– σ r 

= σ’ a 

– σ’ r 

= N/A, 

la pressione media, 

p = (σ a 

+2 σ r 

)/3 (totale) 

p’ = p – u 0 

(efficace) 

40/77



A.A. 2010/2011 


La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 

diversi valori di σ’ c 

= σ c 

–u 0 

1) Dalla curva (σ a 

‐σ r 

)‐ε a 

si determina la 

tensione deviatorica a rottura (σ a 

‐σ r 

) f 

come valore di picco o come valore 

corrispondente ad un prefissato livello 

della deformazione assiale media, ε a 

. 

(σ ’ −σ ’ ) 

a 

r 

(σ ’ −σ ’ ) 

a 

r 

σ’ a 

‐ σ’ r= ( σa ‐ σr) 

3f 

2f 

σ’ c (3) 

σ’ c (2) 

2) Durante la fase di compressione 

assiale la pressione radiale totale (= 

tensione principale minore, σ 3 

) 

rimane costante (uguale alla 

pressione di cella σ c 

, costante) e 

quindi: 

σ 3f 

(a rottura) = σ rf 

= 

= σ rc 

(a fine consolidazione) = σ c 

(di cella) 

(σ ’ −σ ’ ) 

a 

r 

ε 

v 

1f 

σ’ c(3) 

> σ’ c(2) 

> σ’ c(2) 

σ’ c (1) 

41/77 

ε 

a



A.A. 2010/2011 


3) Poiché durante la fase di compressione assiale non si sviluppano 

sovrappressioni (prova drenata), cioè u 0 

= cost, anche la pressione radiale 

efficace rimane costante: 

σ’ 3f 

(a rottura) = σ’ rf 

= σ rf 

‐ u 0 

= σ rc 

–u 0 

(= σ’ rc 

, a fine consolidazione) = σ c 

–u 0 

= σ’ c 

(pressione di consolidazione) 

4) Invece varia progressivamente la pressione assiale (= tensione principale 

maggiore, σ 1 

) , sia totale (σ 1 

= σ a 

)sia efficace (σ’ 1 

= σ’ a 

) 

σ’ 1f 

(a rottura) = σ’ 3f 

+ (σ a 

‐ σ r 

) f 

= σ‘ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

≠ σ’ 1c 

σ 1f 

(a rottura) = σ 3f 

+ (σ a 

‐ σ r 

) f 

= σ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

≠ σ 1c 

4) Una volta note le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine 

consolidazione e a rottura: 

σ’ 1c 

= σ’ 3c 

= σ’ c 

σ’ 3f 

= σ’ c 

σ’ 1f 

= σ‘ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di tensioni 

efficaci che rappresentano l’evoluzione degli stati tensionali durante la 

compressione assiale, fino (ed oltre) la rottura (percorso tensionale). 

42/77



A.A. 2010/2011 


I) Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della 

fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è rappresentato da un 

punto di coordinate [σ’ c 

,0] 

II) I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale efficace durante 

l’applicazione del carico assiale e fino a rottura passano tutti per questo stesso 

punto. 

III) Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha 

un diametro pari a (σ’ a 

‐σ’ r 

) f 

= (σ a 

‐ σ r 

) f 

, passa per i punti di coordinate [σ’ 3f 

,0] e 

[σ’ 1f 

,0] ed è tangente alla retta di equazione: τ 

Stato tensionale efficace 

a rottura 

τ 

STATO TENSIONALE: 

f 

( σ − u) ⋅ tanφ' 

= ' + σ ' ⋅tan 

' 

= c' 

+ 

c 

Stato tensionale efficace a fine consolidazione 

(inizio fase di compressione) 

φ 

ϕ’ 

O σ’1c = σ’ σ’ f 

σ’ 1f 

= σ’ 

3c 

= σ’ 3f 

= σ’ rf 

af 

43/77 

σ’



A.A. 2010/2011 


DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c’ E ϕ’: 

Per determinare l’equazione 

dell’inviluppo a rottura, e quindi 

i parametri di resistenza al taglio 

ϕ’ e c’, per il campo di tensioni 

indagato, bisogna ripetere la 

prova su almeno tre provini dello 

stesso terreno, a differenti valori 

della pressione efficace di 

consolidazione (scelti tenendo 

conto della tensione efficace 

geostatica) 

N.B. Se il terreno è normal‐consolidato c’ = 0 

CAMPO D’APPLICAZIONE: 

c’ 

τ 

O 

σ’ 

σ’ 

rf(1) σ’ rf(2) σ’ rf(3) 

σ’ af(1) 

σ’ af(2) 

σ’ a(f3) 

σ’ f 

ϕ’ 

L’esecuzione della prova TxCID richiede un tempo tanto maggiore quanto 

minore èla permeabilità del terreno, ed è pertanto generalmente riservata a 

terreni sabbiosi o comunque abbastanza permeabili 

44/77



A.A. 2010/2011 

PROVA TxCIU 


I. FASE DI CONSOLIDAZIONE 


A drenaggi chiusi e collegati a trasduttori che 

misurano la pressione dell’acqua u nei condotti 

di drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa 

avanzare il pistone a velocità costante, anche 

relativamente elevata. 

Il provino, essendo saturo, non subirà variazioni 

di volume. 


Il provino, precedentemente saturato, è sottoposto ad una fase di consolidazione 

a drenaggi aperti, identica a quella della prova TxCID. 

Durante la fase di compressione assiale: 

• si controlla la variazione nel tempo dell’altezza 

del provino, ΔH 

• si misurano: 

σ r 

σ c 


σ r = σ c 


‣ la pressione interstiziale u all’interno del provino 

u 

N/A 

σ c 

drenaggio chiuso 

(misura di u ) 


trasmessa dal 

pistone 



σ c 

= pressione 


u = pressione 

interstiziale, variabile 

45/77



A.A. 2010/2011 


INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: 

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino 

ed oltre la rottura del provino: 


ε a 

= ‐ ΔH/H 0 


ε r 

= (– ε a 

) / 2 (ε v 

= ε a 

+ 2ε r 

= 0) 

la pressione (o la sovrappressione) 

interstiziale, 

u (Δu) 

la tensione totale radiale media, 

σ r 

= σ c 

(costante durante la prova) 


q = σ a 

– σ r 

= σ’ a 

– σ’ r 

= N/A 

la tensione totale assiale media, 

σ a 

= N/A + σ r 

le tensioni efficaci medie assiali e 

radiali, 

σ’ a 

= σ a 

–u; σ’ r 

= σ r 

–u 

le pressione medie efficaci e totali 

p = (σ a 

+2 σ r 

)/3; p’ = p – u 0 

il coefficiente A di Skempton, 

A = A = Δu/(σ a 

– σ r 

) 

46/77



A.A. 2010/2011 


La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 

diversi valori di σ’ c 

= σ c 

–u 0 

. 

σ ’ − σ 

’ 


‐σ r 

)‐ε a 

si 

determina la tensione deviatorica 

a rottura (σ a 

‐σ r 

) f 

come valore di 

picco o come valore 

corrispondente ad un prefissato 

livello della deformazione 

assiale media, ε a 

. 




) 



, costante) e 

quindi: 

σ 3f 


= σ rc 

(a fine consolidazione) = σ c 

(di cella) 

a 

b) 

r 

(σ ’ − σ ’ ) 

a 

r 

(σ ’ − σ ’ ) 

a 

r 

(σ ’ − σ ’ ) 

a 

r 

Δu 

3f 

2f 

1f 

σ’ 

3c 

σ’ 

σ’ 

2c 

1c 

σ’ c(3) 

> σ’ c(2) 

> σ’ c(2) 

σ’ 

σ’ 

1c 

2c 

σ’ 

3c 

47/77 

ε 

a



A.A. 2010/2011 


3) Poiché durante la fase di compressione assiale si sviluppano 

sovrappressioni (prova non drenata), la pressione interstiziale u varia rispetto 

al valore iniziale u 0 

, e così anche la pressione radiale efficace varia: 

σ’ 3f 

(a rottura) = σ’ rf 

= σ rf 

‐ u f 

= σ c 

–u f 

(≠ σ’ rc 

, a fine consolidazione, = σ c 

–u 0 

) 

≠ σ’ c 

(pressione di consolidazione) 

4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 

) , sia totale (σ 1 

= σ a 

) 

sia efficace (σ’ 1 

= σ’ a 

) variano: 

σ’ 1f 

(a rottura)= σ’ 3f 

+ (σ a 

‐ σ r 

) f 

σ 1f 


+ (σ a 

‐ σ r 

) f 

= σ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

5) Una volta calcolate le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine 


σ’ 1c 

= σ’ 3c 

= σ’ c 

σ’ 3f 

= σ c 

–u f σ’ 1f 

= σ’ 3f 

+ (σ a 

‐ σ r 

) f 

si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di pressioni 

efficaci. 

48/77



A.A. 2010/2011 


STATO TENSIONALE EFFICACE 

I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della 

fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è rappresentato da un 

punto di coordinate [σ’ c 

,0]. 

II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale efficace durante 

l’applicazione del carico assiale fino a rottura (percorso tensionale) non 

passano per uno stesso punto. 

III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha 


‐σ’ r 

) f 

= (σ a 

‐ σ r 

) f 

, passa per i punti di coordinate [σ’ 3f 

,0] e 

[σ’ ,0] ed è tangente alla retta di equazione: ( ) 1f τ = cʹ+ 

σ − u ⋅ tan φʹ 

= cʹ+σʹ⋅ 

tan φ ʹ 

f 

τ 


a rottura 

Stati tensionali efficaci 

intermedi 

O σ’ 3f 

=σ’ rf σ’ 1c 

=σ’ 3c 

σ’ 1f 

=σ’ af 

σ’ 


a fine consolidazione 

49/77



A.A. 2010/2011 


DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c’ E ϕ’ 

Per determinare l’equazione dell’inviluppo a rottura, e quindi i parametri di 

resistenza al taglio ϕ’ e c’, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la 

prova su almeno tre provini dello stesso terreno, a differenti valori della 

pressione efficace di consolidazione (scelti tenendo conto della tensione efficace 

geostatica) 

τ 

c’ 

O 

σ’ 

σ’ 

rf(1) σ’ rf(2) σ’ rf(3) 

σ’ af(1) 

σ’ af(2) 

σ’ a(f3) 

σ’ f 

ϕ’ 

N.B. Se il terreno è normal‐consolidato, c’ = 0 

50/77



A.A. 2010/2011 


Poiché il terreno perviene a rottura in condizioni non drenate, è possibile 

interpretare i risultati della prova anche in termini di tensioni totali. 

STATO TENSIONALE TOTALE 

I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale iniziale della fase 

di compressione (= fine consolidazione isotropa) e fino a rottura sono 

rappresentati da cerchi traslati di u 0 

rispetto ai corrispondenti cerchi espressi in 

termini di tensioni efficaci (essendo la pressione interstiziale isotropa, e quindi 

uguale sia in direzione assiale che radiale): 

τ 


a rottura 

Stato tensionale totale 

a rottura 

Stati tensionali efficaci 

intermedi 

Stati tensionali totali 

intermedi 

O 

σ’ 3f 

=σ’ rf σ’ 1c 

=σ’ 3c 

σ’ 1f 

=σ’ 

u af σ 1c 

=σ 3c σ 1f 

= σ af 

σ’(--) , 

σ(-) 

0uf 

51/77



A.A. 2010/2011 


DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c u 

Per determinare la coesione non drenata, c u 

, si calcola il raggio del cerchio di 

Mohr a rottura τ 

Cerchio di Mohr in tensioni efficaci 

Cerchio di Mohr in tensioni totali 

c 

u 

σ’ f 

σ’ σ σ’ 

3f 3f 1f 1f 

u 

N.B. La c f 

u 

èdiversa per ciascuno dei 3 provini, essendo diversa la pressione efficace 

di consolidazione (e quindi il diametro del cerchio). Se il terreno èNC il rapporto 

c u 

/σ’ c 

ècostante, altrimenti è funzione del grado di sovraconsolidazione OCR 

CAMPO D’APPLICAZIONE 

L’esecuzione della prova TxCIU è generalmente riservata a terreni argillosi o 

comunque poco permeabili, per i quali l’esecuzione di prove TxCID richiederebbe 

tempi molto lunghi 

52/77 

σ 

σ’,σ



A.A. 2010/2011 

PROVA TxUU 


A differenza delle prove TxCID e TxCIU, non è prevista una fase di 

consolidazione isotropa (e in taluni casi neanche di saturazione). 

La pressione di consolidazione del provino , σ’ c 

, è quella che possiede il 

provino in conseguenza dello scarico tensionale conseguente al suo prelievo 

ed estrazione, che (nell’ipotesi che il coefficiente A di Skempton 

corrispondente allo scarico subito valga 1/3) coincide con quella in sito. 


I. FASE DI COMPRESSIONE ISOTROPA 

Il provino, a drenaggi chiusi, è sottoposto a 

compressione isotropa portando in pressione il 

fluido di cella ad un valore assegnato di 

pressione totale σ c 

σ c 

σ c 

u 1 

σ c 

σ c 

σ c 

= pressione 

di cella 

Se il provino è saturo (B=1) il volume del provino 

non varia e l’incremento della pressione isotropa 


di cella comporta un uguale aumento della 

(u 1 

= u 0 

+Δu) 

pressione interstiziale mentre le tensioni efficaci drenaggio chiuso 

non subiscono variazioni 

Durante tale fase si può controllare l’incremento Δudi pressione interstiziale. 

53/77



A.A. 2010/2011 


A drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la 

pressa su cui si trova la cella triassiale a 

velocità costante, anche piuttosto elevata. 

Il provino, essendo saturo, continua a non 

subire variazioni di volume. 


u 


N/A 

σ c 

σ c 

= pressione 


σ r = σ c 


trasmessa dal 

pistone 



σ r 

σ c 

Durante la fase di compressione: 


drenaggio chiuso 


• si misura: ‣ la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino 

u = pressione 


N.B. la variazione di pressione interstiziale all’interno del provino in genere 

non viene misurata 

54/77



A.A. 2010/2011 


INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI 

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, 

fino ed oltre la rottura del provino: 


ε a 

= ‐ ΔH/H 0 


ε r 

= (– ε a 

) / 2 (essendo ε V 

= ε a 

+ 2∙ε r 

= 0) 


q = σ a 

– σ r 

= σ’ a 

– σ’ r 

=N/A 

la tensione totale radiale media, 

(costante σ r 

= σ c 

) 

la tensione totale assiale media, 

σ a 

= N/A + σ r 

la pressione media totale, 

p = (σ a 

+ 2 σ r 

)/3 

55/77



A.A. 2010/2011 


La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno sottoposti a 3 diversi 

valori di σ c 

(ma con uguale σ’ c 

) 

σ a 

-σ r 


‐σ r 

)‐ε a 

si determina la 

tensione deviatorica a rottura (σ a 

‐σ r 

) (σ 

f 

a 

-σ r 

) f 

come valore di picco o come valore 

corrispondente ad un prefissato livello 

della deformazione assiale media, ε a 

. 




) 



, costante) e 

quindi: 

ε a 

σ ’ c 

σ 3f 


= σ rc 

(a fine compressione isotropa) = σ c 

(di cella) 

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A.A. 2010/2011 


3) Durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni 

(prova non drenata), che in genere non vengono misurate, quindi la pressione 

efficace radiale varia, ma non è nota. 

σ’ 3f 

(valore a rottura) = σ’ rf 

≠ σ’ rc 

= σ’ 3c 

(valore a fine compressione isotropa) 


) totale (σ 1 

= σ a 

)varia 

ed è determinabile: 

σ 1f 


+ (σ a 

– σ r 

) f 

= σ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

anche la pressione assiale efficace (σ‘ 1 

= σ‘ a 

) varia, ma non è determinabile: 

5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a fine 


σ 3f 

= σ c 

σ 1f 

= σ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 


totali (i cerchi di Mohr espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, 

non essendo misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione 

assiale e a rottura). 

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A.A. 2010/2011 



I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale della 

fase di compressione (= fine compressione isotropa) è rappresentato da un 

punto di coordinate [σ c 

,0]. 

II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale durante 

l’applicazione del carico assiale e fino a rottura (percorso tensionale) passano 

per lo stesso punto di coordinate [σ c 

, 0] (essendo la tensione totale radiale 

media costante durante la fase di compressione assiale). 

III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura ha 


‐σ’ r 

) f 

= (σ a 

‐ σ r 

) f 

, passa per i punti di coordinate [σ 3f 

,0] e 

[σ 1f 

,0], il suo raggio individua la coesione non drenata: 

⎛σ1 

−σ 

3 ⎞ 

cu 

= ⎜ ⎟ 


⎝ 2 ⎠ 

Per determinare la coesione non drenata, 

c u 

, si calcola il raggio del cerchio di Mohr a 

rottura. 

τ 

u f 

f 

c u 

σ 3c 

= σ c 

σ 1f =σ af 

σ



A.A. 2010/2011 


OSS. 

1) La prova viene eseguita su almeno 3 provini estratti alla stessa profondità 

(stessa pressione di consolidazione σ’ c ), a differenti pressioni totali di cella σ c 

e alle stesse condizioni di saturazione. Il carico assiale che porta a rottura i tre 

provini (diametro del cerchio di Mohr a rottura) è sempre lo stesso ed 

indipendente dalla pressione isotropa di cella σ c 

imposta, quindi la coesione 

non drenata viene calcolata come media dei valori ottenuti per i tre provini. 

I cerchi di Mohr a rottura dei tre provini in termini di tensioni totali 

hanno lo stesso diametro e i cerchi di Mohr in termini di tensioni efficaci 

sono coincidenti. 

τ 

u f(1) 

u f(2) 

u f(3) 

c u 

σ’ 3f =σ’ rf σ’ 1f =σ’ af 

σ c(1) σ c(2) 

σ c(3) 

σ’(--) , 

σ(-) 

σ’ c (1,2,3) u 0 

σ 1f(1) 

σ 1f(2) 

σ 1f(3) 

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A.A. 2010/2011 


OSS. 

2) La prova TxUU può anche essere eseguita su provini di terreno non saturi; 

in tal caso la pressione efficace non è più la stessa e quindi l’inviluppo dei 

cerchi di rottura in termini di tensioni totali risulterà curvilineo per basse 

pressioni di confinamento e orizzontale per le pressioni più elevate (per le 

quali il terreno ha raggiunto la saturazione). 

Inoltre la resistenza al taglio 

in condizione non drenate, c u 

, 

che si ricava dalle prove è 

dipendente, a parità di 

terreno, dalla pressione 

efficace di consolidazione in 

sito e quindi, su provini 

estratti a profondità differenti, 

gli inviluppi a rottura sono 

differenti. 

τ 

σ 

CAMPO D’APPLICAZIONE 

La prova TxUU è generalmente eseguita su provini ricavati da campioni 

“indisturbati” di terreno a grana fine. 

60/77



A.A. 2010/2011 

COMPRESSIONE ASSIALE 

PROVA ELL 

Si fa avanzare la pressa su cui si trova il 

provino a velocità costante, anche piuttosto 

elevata. 

Il provino potrebbe non essere saturo (non è 

possibile controllare la saturazione), in tal 

caso potrebbe subire variazioni di volume. 

σ a = N/A 

N/A 

Prova ELL 

La prova ad espansione laterale libera (ELL), o di compressione semplice, si 

svolge in una sola fase. È una prova triassiale a tutti gli effetti, ma non è 

prevista una fase di saturazione e consolidazione isotropa, né la misura delle 

pressioni interne. 

Durante la fase di compressione: 



• si misura: 

σ u 

r = 0 σ r = 0 


trasmessa dal 

pistone 



u = pressione 


drenaggio impedito dalla velocità di 

deformazione e della permeabilità 


N.B. È una prova semplice, rapida e a basso costo, ma può essere eseguita solo 

su terreni a grana fine 

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A.A. 2010/2011 

Prova ELL 

APPARECCHIATURA 

A differenza dell’apparecchio triassiale, il 

provino non è avvolto da una membrana, non 

èposto all’interno di una cella circondato da 

acqua e quindi non è compresso in direzione 

radiale (σ r 

= 0). 

Il provino, appoggiato su un piedistallo 

rigido, riceve il carico assiale (misurabile) 

tramite una piastra di carico di contrasto per 

l’avanzamento di una pressa a velocità 

costante (elevata), con la possibilità di 

controllare gli abbassamenti. Non èprevisto 

un circuito di drenaggio che consenta di 

regolare il flusso d’acqua (in entrata o in 

uscita) o di misurare la pressione 

interstiziale interna. 

OSS. 

Sebbene vi sia possibilità di drenaggio, l’elevata velocità di deformazione e 

la ridotta permeabilità del terreno fanno sì che le condizioni di prova siano 

praticamente non drenate. 

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A.A. 2010/2011 

Prova ELL 

INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI 

Le misure effettuate durante la prova permettono di calcolare, fino ed oltre la 

rottura del provino: 


ε a 

= ‐ ΔH/H 0 

la tensione totale assiale media (o il deviatore medio), 

σ a 

= N/A + σ r 

= N/A = q (essendo σ r 

= 0) 

σ a 

– σ r 

= σ a 

= q (deviatore) 

I risultati possono essere interpretati solo in termini di 

tensioni totali e può essere determinata la sola coesione 

non drenata, c u 

1) Dalla curva (q)‐ε a 

si determina la tensione 

deviatorica a rottura q u 

come valore di picco o come 

valore corrispondente ad un prefissato livello della 

deformazione assiale media, ε a 

. prova TxUU (con σ c 

= 0) 

q 

q u 

63/77 

ε a



A.A. 2010/2011 

Prova ELL 

2) Durante la compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione 

principale minore, σ 3 

) rimane costante ed uguale 0 (pressione atmosferica) e 

quindi: 

σ 3f 


= σ r0 

(inizio prova) = 0 (pressione atmosferica) 

3) Durante la compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non 

drenata), che non possono essere misurate, quindi la pressione efficace radiale 

varia, ma non è nota. 

σ’ 3f 

(valore a rottura) = σ’ rf 

≠ σ’ r0 

= σ’ 30 

(valore a inizio prova) 


) totale (σ 1 

= σ a 

)varia 

ed è determinabile: 

σ 1f 


+ (σ a 

– σ r 

) f 

= σ c 

+ (σ a 

– σ r 

) f 

= q u 

anche la pressione assiale efficace (σ‘ 1 

= σ‘ a 

) varia, ma non è determinabile: 

σ’ 1f 

(valore a rottura) = σ’ af 

≠ σ’ a0 

= σ’ 10 

(valore a inizio prova) 

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A.A. 2010/2011 

Prova ELL 

5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a inizio 

prova e a rottura: 

σ 3f 

(a rottura)= 0 

σ 1f 

(a rottura)= q u 


totali (i cerchi di Mohr espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, 

nono essendo misurate le pressioni interstiziali durante la fase di 

compressione assiale e a rottura). 

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A.A. 2010/2011 

Prova ELL 


I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale (= inizio 

della prova) è rappresentato da un punto coincidente con l’origine [0, 0]. 

II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale durante 

l’applicazione del carico assiale e fino a rottura (percorso tensionale) passano 

tutti per l’origine (essendo la tensione totale radiale media nulla durante la 

prova). 

III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura ha un 

diametro pari a q u 

e passa per i punti di coordinate [0,0] e [q u 

,0], il suo raggio 

individua la coesione non drenata: τ 

c 

u 

= q u 

/ 2 


Per determinare la coesione non 

drenata, c u 

, si calcola il raggio del 

cerchio di Mohr a rottura. 

O 

q u 

c u 

=q u 

/2 

σ 

66/77



A.A. 2010/2011 

Prova ELL 

OSS. 

1) Se si conoscessero le pressioni interstiziali a rottura, e quindi le tensioni 

efficaci, il cerchio di Mohr a rottura corrispondente sarebbe spostato a 

destra rispetto a quelle in termini di tensioni totali (pressioni interstiziali 

negative), non potendo sostenere il terreno tensioni di trazione. 

TENSIONI TOTALI 

τ 

TENSIONI EFFICACI 

c = q /2 

u 

u 

O 

u f 

< 0 

q 

u 

σ’ f 

σ 

2) Se la prova fosse ripetuta su provini dello stesso terreno estratti alla 

stessa profondità, il cerchio di Mohr a rottura che si otterrebbe sarebbe lo 

stesso (nell’ipotesi di terreno saturo), non potendo modificare la pressione 

di cella. 

67/77



A.A. 2010/2011 

Resistenza al taglio dei terreni 

RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSA 

I terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie) possono essere: 

‣ privi di coesione (sabbie e ghiaie sature non cementate) 

‣ dotati di coesione apparente (sabbie parzialmente sature) 

‣ dotati di coesione (sabbie e ghiaie cementate) 

La resistenza al taglio dei terreni a grana grossa dovrebbe essere determinata 

su campioni indisturbati e rappresentativi delle reali condizioni in sito. 

In genere non è possibile prelevare campioni indisturbati di terreno a grana 

grossa non cementati. 

Le prove di laboratorio condotte su provini di sabbia ricostituiti alla densità 

del terreno in sito, sono scarsamente rappresentativi del comportamento 

meccanico del terreno naturale in sito. 

Si ritiene più affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie sulla 

base dei risultati di prove in sito; le prove di laboratorio su terreni a grana 

grossa vengono effettuate per determinare la resistenza di terreni da 

impiegare come materiali da costruzione, o per lo studio di leggi costitutive. 

68/77



A.A. 2010/2011 


COMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVO 

Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad es. prova di taglio 

diretto o prova triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa 

sabbia aventi differente indice dei vuoti (ovvero con differente densità 

relativa) e sottoposti alla stessa pressione di confinamento può essere molto 

diverso: 

σ ’ − σ’ 

1 3 

Sabbia densa 

e 

a 

Sabbia sciolta 

Sabbia sciolta 

e 

crit 

Sabbia densa 

ε 

a 

ε 

a 

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A.A. 2010/2011 


All’aumentare di ε a 

: 

PROVINO DI SABBIA SCIOLTA 

1. graduale aumento della resistenza mobilizzata (σ’ 1 

‐σ’ 3 

) tendente a 

stabilizzarsi su un valore massimo, anche per grandi deformazioni; 

2. progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell’indice dei 

vuoti) con tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo (corrispondente a 

un indice dei vuoti critico, e crit 

), anche per grandi deformazioni. 

⇒ COMPORTAMENTO CONTRATTIVO 

PROVINO DI SABBIA DENSA 

1. curva di resistenza con un massimo accentuato (corrispondente alla 

condizione di rottura) e un valore residuo, per grandi deformazioni, 

pressoché eguale al valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia 

sciolta (a parità di pressione di confinamento); 

2. piccola diminuzione di volume iniziale, (e quindi di e), seguita da 

un’inversione di tendenza (per cui e supera il valore iniziale e tende allo 

stesso indice dei vuoti critico, e crit 

, sempre a parità di pressione di 

confinamento). 

⇒ COMPORTAMENTO DILATANTE 

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A.A. 2010/2011 


INDICE DEI VUOTI CRITICO 

T 

N 

-ΔV/V 

Il valore dell’indice dei vuoti che 

discrimina fra comportamento 

T 

deformativo volumetrico dilatante e 

contrattivo, è definito indice dei vuoti 

critico. 

N 

L’indice dei vuoti critico non è una caratteristica del materiale ma dipende 

dalla pressione efficace di confinamento, per cui un provino di sabbia di una 

data densità relativa può avere comportamento dilatante a bassa pressione 

efficace di confinamento e contrattivo ad alta pressione efficace di 

confinamento. 

Quindi il comportamento contrattivo o dilatante di una sabbia dipende dallo 

stato iniziale del terreno, ovvero dalla pressione di confinamento, σ’ 0 

, e 

dall’indice dei vuoti (o dalla densità relativa) iniziale, e 0 

. 

71/77



A.A. 2010/2011 


ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO DI PICCO E RESIDUO 

Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni – deformazioni 

si possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due 

angoli di resistenza al taglio: l’angolo di resistenza al taglio di picco (a rottura), 

ϕ’ P 

, e l’angolo di resistenza al taglio residuo (per grandi deformazioni), ϕ’ R 

72/77



A.A. 2010/2011 


I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, 

l’angolo di resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi sono: 

‣ la densità, 

‣ la forma e la rugosità dei grani, 

‣ la dimensione media dei grani, 

‣ la distribuzione granulometrica 

ϕ’ ϕ’ = = 36° 36° + + Δφ’ Δφ’ 1 1 

+ Δφ’ 2 + Δφ’ 3 + Δφ’ Δφ’ 4 4 

Densità Densità Δφ’ 11 sciolta 

media 

densa 

Forma Forma e rugosità e dei dei grani Δφ’ 22 spigolo vivi 

media 

arrotondati 

molto arrotondati 

Dimensione 

Dimensione 

dei 

dei 

grani 

grani Δφ’ 3 Δφ’ 3 sabbia 

ghiaia fine 

ghiaia fine 

ghiaia grossa 

ghiaia grossa 

Distribuzione granulometrica Δφ’ 4 uniforme 

Distribuzione granulometrica Δφ’ 4 uniforme media 

media distesa 

distesa 

- 6° - 6° 

0° 0° 

+ 6° + 6° 

+ 1° + 1° 

0° 0° 

- 3° - 3° 

- 5° - 5° 

0° 

0° 

+ 1° 

+ 1° 

+ 2° 

+ 2° 

- 3° 

0° - 3° 

+ 3° 0° 

+ 3° 

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A.A. 2010/2011 


RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE 

TERRENI NC 

I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle 

profondità di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di 

norma indice di consistenza, I c 

< 0.5 e coesione efficace c’ = 0. 

La curva tensioni‐deformazioni, 

ottenuta da una prova di taglio 

diretto o da una prova triassiale 

drenata, presenta un andamento 

monotono con un graduale aumento 

della resistenza mobilizzata fino a 

stabilizzarsi su un valore massimo 

che rimane pressoché costante anche 

per grandi deformazioni, e che cresce 

al crescere della pressione efficace di 

confinamento. 

σ ’ − σ 

’ 

(σ − a 

σ 

r 

’ ’ ) 

a 

r 

(σ ’ − σ ’ ) 

a 

r 

(σ ’ − σ ’ ) 

a 

r 

3f 

2f 

1f 

= σ a− σr 

σ’ c(1) 

> σ’ c(2) 

> σ’ c(3) 

σ’ c(1) 

σ’ c(2) 

σ’ c(3) 

ε 

a 

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A.A. 2010/2011 


L’angolo di resistenza al taglio ϕ’ èinferiore a quello dei terreni a grana 

grossa e dipende dai minerali argillosi costituenti e quindi dal contenuto in 

argilla, CF, e dall’indice di plasticità, I P 

. 

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A.A. 2010/2011 


TERRENI OC 

I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano di norma indice di 

consistenza, I c 

> 0,5, coesione efficace c’ > 0. 

La curva tensioni‐deformazioni, ottenuta da una prova di taglio diretto o da una 

prova triassiale drenata, presenta un massimo accentuato, corrispondente alla 

condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni. 

σ’ a 

– σ’ r 

OCR 

A parità di pressione efficace di 

confinamento la resistenza al taglio di 

picco dei terreni a grana fine cresce con il 

grado di sovraconsolidazione. 

σ’ c 

ε a 

L’angolo di resistenza al taglio residua è 

indipendente dalla storia dello stato 

tensionale, e quindi dal grado di 

sovraconsolidazione, OCR. 

76/77



A.A. 2010/2011 


A parità del grado di sovraconsolidazione e 

per lo stesso tipo di terreno, la resistenza al 

taglio di picco cresce al crescere della 

pressione efficace di confinamento, mentre il 

picco nella curva sforzi‐deformazioni risulta 

sempre meno accentuato fino ad ottenere un 

andamento monotono, tipico di terreni 

normalconsolidati. 

σ’ a 

– σ’ r 

OCR = cost 

σ’ c 

ε a 

77/77

Prove triassiali

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