Complemento ortogonale e proiezioni - Sezione di Matematica

Soluzione. Imponiamo al vettore generico v = (x, y, z, w) t ∈ R 4 l’ortogonalità ai vettori dellabase (v 1 , v 2 ) di E, ottenendo il sistema omogeneo:{x + y + z + w = 0.x + z = 0Risolvendo il sistema, otteniamo la base di E ⊥ :Osserviamo poi che:• Si ha sempre E ∩ E ⊥ = {O}.⎛⎜⎝10−10Infatti, se v ∈ E ∩ E ⊥ , allora v × v = 0 e quindi v = O.⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝010−1⎞⎟⎠ . □La proprietà importante del complemento ortogonale è espressa nel seguente teorema.Teorema Sia E un sottospazio di R n . Allora si ha:R n = E ⊕ E ⊥ .In particolare, se dim E = k, allora dim E ⊥ = n − k.Dimostrazione. Fissiamo una base ortonormale di E, diciamo (u 1 , . . . , u k ), e completiamo talebase a una base ortonormale di R n , diciamo (u 1 , . . . , u k , z 1 , . . . , z n−k ). Dato v ∈ R n , possiamoscrivere:v = a 1 u 1 + · · · + a k u k + b 1 z 1 + · · · + b n−k z n−k .Poniamo w = a 1 u 1 + · · · + a k u k e w ⊥ = b 1 z 1 + · · · + b n−k z n−k . Quindiv = w + w ⊥ .Ora è evidente che w ∈ E; inoltre, poichè ogni z i è ortogonale a tutti i vettori u j , si ha chez i ∈ E ⊥ per ogni i, dunque w ⊥ ∈ E ⊥ . Quindi,R n = E + E ⊥ .Poiché E ∩ E ⊥ = {O}, concludiamo che R n = E ⊕ E ⊥ . □2

Supponiamo ora che dim E = k. Dalla c) abbiamo KerP E = E ⊥ , che ha dimensione n − k.Dunque:• 0 è un autovalore di P E con molteplicità geometrica n − k.Osserviamo poi che v ∈ E se e solo se P E (v) = v. Quindi:• 1 è un autovalore di P E con molteplicità geometrica k.Non ci sono altri autovalori (altrimenti la somma delle molteplicità geometriche sarebbemaggiore di n, il che è impossibile). Poiché P E è diagonalizzabile (in effetti, è simmetrico) lamolteplicità algebrica di ogni autovalore deve uguagliare la sua molteplicità geometrica. Dunqueil polinomio caratteristico di una proiezione ortogonale è:dove k è la dimensione del sottospazio.3 Esempip(x) = (−1) n x n−k (x − 1) k ,Esempio È dato il sottospazio E : x − 3y = 0 di R2 .a) Determinare l’endomorfismo P E dato dalla proiezione ortogonale su E.( 1b) Decomporre il vettore v = nella somma v = w + w−2)⊥ con w ∈ E e w ⊥ ∈ E ⊥ .Soluzione. a) Una base ortonormale di Eè u = √ 1 ( ) 3dunque la matrice canonica di P 10 1E è( ) xSi ha P E = 1 y 10( ) 9x + 3y.3x + yuu t = 110( 1b) Per definizione, w = P E = 1 −2 10conclusione: ( 1=−2)1 10)( 31)( ) 9 3.3 1e quindi w ⊥ =( 3+1)7 ( 1.10 −3)( 1− w =−2)1 10( ) 7. In−21□Esempio Sia E il sottospazio di R 3 cosi’ definito:E = {(x, y, z) ∈ R 3 : x − 2y + 2z = 0}.4

La matrice canonica di P E è dunque⎛ ⎞BB t = 1 8 2 −2⎝ 2 5 4 ⎠ .9−2 4 5e si ha:⎛ ⎞ ⎛⎞xP E⎝y⎠ = 1 8x + 2y − 2z⎝ 2x + 5y + 4z ⎠ .9z −2x + 4y + 5ze) Non occorre fare molti calcoli. Sappiamo che P E è simmetrico, dunque diagonalizzabile; gliautovalori sono 0, di molteplicità geometrica 1 (infatti E(0) = KerP E = E ⊥ ), e 1, di molteplicitàgeometrica 2 (poichè E(1) = E). Il polinomio caratteristico è dunque −x(x − 1) 2 . □Esempio Determinare un endomorfismo ⎛ ⎞ f di R 3 con autovalori 0, 1 e tale che Imf è il sottospaziogenerato E dal vettore ⎝2⎠.11Soluzione. Un endomorfismo che verifica le condizioni è la proiezione ⎛ ⎞ ortogonale sul sottospazioE. Una base ortonormale di E è data dal vettore u = √ 1 1⎝2⎠. La matrice canonica di P E è61quindi⎛ ⎞uu t = 1 1 2 1⎝2 4 2⎠ .61 2 14 EserciziEsercizio 1. Sia W il sottospazio di R 2 avente equazione x + 2y = 0. Si denoti con P (v) laproiezione ortogonale di v ∈ R 2 su W .( 5a) Determinare P .4)( ( x xb) Determinare P , dove è il generico vettore di Ry)y)2 .c) Dimostrare che P definisce un endomorfismo simmetrico di R 2 , e trovare una base ortonormaledi R 2 formata da autovettori di P .6

( xSoluzione. b) P =y)1 5( ) 4x − 2y. □−2x + y⎛ ⎞ ⎛ ⎞22Esercizio 2. Sia E il sottospazio di R 3 generato dai vettori v 1 = ⎝2⎠ , v 2 = ⎝−1⎠.1 −2a) Trovare una base di E ⊥ .b) Trovare una base ortonormale di E, ed estendere tale base a una base ortonormale di R 3 .⎛ ⎞1c) Decomporre il vettore v = ⎝0⎠ nella somma w + w ⊥ , con w ∈ E e w ⊥ ∈ E ⊥ .0d) Trovare la matrice canonica dell’endomorfismo P W dato dalla proiezione ortogonale sulsottospazio W = E ⊥ .7