Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

Appunti per il corso diFisica MatematicaDaniele AndreucciDipartimentoÒÖÙÑÑѺÙÒÖÓѽºØdi Metodi e Modelli MatematiciUniversità di Roma La Sapienzavia Antonio Scarpa 16 00161 Roma, Italya.a. 2011–2021versione provvisoria

fmm 20110928 22.09c○2009,2010,2011 Daniele AndreucciTutti i diritti riservati–All rights reserved

IntroduzioneQuesta è la versione provvisoria degli Appunti per il corso di Fisica Matematica,tenuto per il Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanicadell’Università La Sapienza di Roma, anno accademico 2011/2012.La versione definitiva verrà resa disponibile al termine del corso.LeAppendicidegliAppunti(Parte8) contengonorisultatichepossonovenireusati nel corso, ma non ne fanno parte in senso proprio (prerequisiti,complementi tecnici, alcuni risultati di calcoli complicati).iii

IndiceIntroduzioneiiiParte 1. Formulazione dei problemi 1Capitolo 1. Formulazione delle equazioni 31.1. Legge di Fourier ed equazione del calore 31.2. Moto browniano: l’equazione della diffusione 41.3. Il principio di Dirichlet 71.4. L’equazione della corda vibrante 91.5. Onde acustiche 101.6. Il significato locale del laplaciano 11Capitolo 2. Problemi al contorno 172.1. Significato dei problemi al contorno 172.2. Problemi al contorno per l’equazione di Laplace 182.3. Problemi al valore iniziale e al contorno per l’equazione delcalore 192.4. Problemi ai valori iniziali e al contorno per l’equazione delleonde 202.5. Il problema di Cauchy in tutto lo spazio 212.6. Dipendenza continua dai dati. 212.7. Condizioni di compatibilità 222.8. Commenti e generalizzazioni 23Parte 2. Il principio di massimo 25Capitolo 3. Alcune soluzioni esplicite 273.1. Soluzioni a variabili separabili nel caso unidimensionale 273.2. Passaggio a coordinate polari 293.3. L’equazione delle onde o della corda vibrante 31Capitolo 4. Principi di massimo 354.1. Principio di massimo per l’equazione di Laplace 354.2. Applicazioni al problema di Dirichlet per l’equazione diLaplace 374.3. Principio di massimo per l’equazione del calore 384.4. Applicazioni al problema di Dirichlet per l’equazione delcalore 394.5. Il lemma di Hopf per l’equazione di Laplace 404.6. Il lemma di Hopf per l’equazione del calore 40v

viDANIELE ANDREUCCIParte 3. Il metodo di Fourier 43Capitolo 5. Metodo della separazione delle variabili 455.1. Soluzioni a variabili separate 455.2. Autofunzioni del laplaciano 475.3. Sviluppi in serie di autofunzioni 48Capitolo 6. Stime dell’energia 536.1. Equazione delle onde 536.2. Stime per l’equazione del calore 566.3. Stime per l’equazione di Laplace 596.4. Commenti e generalizzazioni 59Capitolo 7. Sistemi ortonormali 617.1. Prodotto scalare di funzioni 617.2. Funzioni ortogonali. Sistemi ortonormali 647.3. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali 657.4. Sistemi ortonormali completi 66Capitolo 8. Serie di Fourier in N = 1 698.1. Serie di Fourier in (−π, π) 698.2. Serie di soli seni o soli coseni 708.3. Altri intervalli 728.4. Sviluppi di funzioni regolari 738.5. Il fenomeno di Gibbs 758.6. Serie di Fourier dipendenti da un parametro 788.7. Prodotti di sistemi ortonormali completi 788.8. Serie di Fourier in forma complessa 80Capitolo 9. Sviluppi in serie di autofunzioni 839.1. Convergenza dello sviluppo in serie di autofunzioni 839.2. Il caso di dati al contorno non nulli 869.3. Il caso ‘sbagliato’: il sistema ortonormale non rispetta lecondizioni al contorno 879.4. L’equazione di Laplace in coordinate polari 889.5. Autofunzioni nel cerchio 93Parte 4. Formule di rappresentazione 97Capitolo 10. L’equazione delle onde 9910.1. Il problema ai valori iniziali per la corda infinita 9910.2. Il problema ai valori iniziali in N = 3 10010.3. Discesa al piano 10410.4. Dipendenza continua dai dati. 10510.5. Soluzioni deboli 10610.6. Alcuni problemi per altri domini: tecniche di riflessione 107Capitolo 11. Integrazione per convoluzione 11111.1. Convoluzioni 11111.2. Equazione di Laplace nel semispazio 11611.3. Il problema di Cauchy per l’equazione del calore 119

INDICEvii11.4. Proprietà qualitative di soluzioni dell’equazione del calore 12311.5. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nella sfera126Capitolo 12. Problemi non omogenei 13112.1. Il principio di Duhamel 13112.2. Equazione delle onde 13112.3. Equazione del calore 134Parte 5. Comportamenti asintotici 135Capitolo 13. Comportamenti asintotici 13713.1. Problema della lunghezza critica 13713.2. Teorema di Liouville per funzioni armoniche 139Parte 6. Trasformate di funzioni 143Capitolo 14. Trasformata di Fourier 14514.1. Definizione 14514.2. Proprietà elementari della trasformata di Fourier 14514.3. Applicazione per la risoluzione del problema di Cauchy perl’equazione del calore 14714.4. Applicazione per la risoluzione del problema nel semipianoper l’equazione di Laplace 148Capitolo 15. Trasformata di Laplace 15115.1. Definizione 15115.2. Proprietà elementari della trasformata di Laplace 15115.3. Applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie 153Parte 7. Complementi 155Capitolo 16. Completezza del sistema di Fourier 15716.1. Le somme di Fejer 15716.2. Completezza del sistema di Fourier 159Capitolo 17. Classificazione delle equazioni lineari del secondoordine 16117.1. Equazioni a coefficienti costanti in due variabili 16117.2. Forme quadratiche ed equazioni del secondo ordine 16417.3. Equazioni a coefficienti non costanti 164Capitolo 18. Cenni alle soluzioni deboli 16518.1. Soluzioni deboli 16518.2. Ricerca di minimi per J 1 16718.3. Soluzioni deboli di equazioni non regolari 16818.4. Un caso concreto di ricerca di soluzioni deboli 17018.5. Il metodo di Galerkin 176Capitolo 19. Equazioni a derivate parziali del primo ordine 17919.1. Equazioni semilineari 17919.2. Curve caratteristiche e caratteristiche al suolo 18019.3. Esistenza e unicità di soluzioni 182

viiiDANIELE ANDREUCCI19.4. Equazioni quasilineari 184Capitolo 20. Il teorema del trasporto 18720.1. Moto di un continuo 18720.2. Il teorema del trasporto 188Parte 8. Appendici 191Appendice A. Integrazione di funzioni non continue 193A.1. Insiemi di misura (di Lebesgue) nulla 193A.2. Funzioni integrabili 194A.3. Lo spazio L 2 (E) 199Appendice B. Cambiamenti di coordinate 203B.1. Coordinate cilindriche 203B.2. Coordinate sferiche 205B.3. Coordinate polari in dimensione N 208Appendice C. Richiami e definizioni 211C.1. Funzioni 211C.2. Insiemi 211C.3. Identità trigonometriche 212C.4. Disuguaglianze 212C.5. Riflessioni 213C.6. Integrali 215Appendice D. Simboli e notazione usati nel testo 217D.1. Notazione 217D.2. Simboli usati nel testo 217Appendice E. Risposte agli esercizi 219Parte 9. Indici 223Indice analitico 225

Parte 1Formulazione dei problemi

CAPITOLO 1Formulazione delle equazioniIntroduciamo alcune equazioni alle derivate parziali (e.d.p.) comemodelli di vari fenomeni fisici. Lo scopo è quello di mostrarecome le e.d.p. intervengano nei modelli matematici più diversi,come quelli basati su leggi fenomenologiche o su argomenti di fisicastatistica (equazione del calore); principi variazionali (equazionedi Laplace); leggi della meccanica dei continui (equazionedelle onde).Infine ci soffermiamo sul significato dell’operatore laplaciano,che ricorre nelle e.d.p. che ci interessano.1.1. Legge di Fourier ed equazione del caloreLa legge di Fourier assume che il flusso di calore in un corpo sia dato daJ = −K∇u, (1.1)ove la K > 0 rappresenta la conduttività e u = u(x,t) la temperatura.Quindi la densità di flusso entrante in un dominio spaziale A ⊂ R 3 èJ · ν interna = −K∇u·ν interna = K∇u·ν = K ∂u∂ν , (1.2)ove ν denoterà sempre la normale esterna al dominio A. Questa densità èdefinita, come è ovvio, sulla frontiera ∂A.Supponiamo dunque che il fenomeno di diffusione del calore abbia luogoin un aperto Ω ⊂ R 3 , e obbedisca la legge di Fourier.La variazione di energia termica in un qualunque sottodominio A ⊂ Ω,tra i due istanti t 0 e t 1 , è data dalla differenza∫A∫cρu(x,t 1 )dx−Acρu(x,t 0 )dx =∫ t 1 ∫t 0Acρ ∂u (x,t)dxdt, (1.3)∂tove le costanti c, ρ > 0 rappresentano il calore specifico e la densità.D’altra parte, in assenza di sorgenti di calore, tale variazione deve coinciderecon la quantità di calore scambiato attraverso la frontiera di Anell’intervallo dei tempi (t 0 ,t 1 ): tenendo presente la (1.2), si ha quindi∫ t 1 ∫t 0Acρ ∂u ∫t 1 ∫∂t (x,t)dxdt = K ∂ut 0∂A∫t 1 ∫∂ν dσdt = t 0ove si è usato il teorema della divergenza in A.Adiv(K∇u)dxdt, (1.4)3

4 DANIELE ANDREUCCIPoiché nella (1.4) sia A ⊂ Ω che gli istanti t 0 e t 1 sono arbitrari, ne segueche i due integrandi devono essere uguali in ogni punto (x,t), ossia checρ ∂u∂t= div(K∇u). (1.5)Se poi K è costante, si ottiene subito l’equazione del caloreoveprende il nome di diffusività.∂u∂t= D ∆u, (1.6)D = K cρ(1.7)1.1.1. La legge di Fick. L’equazione (1.6) si ottiene, con gli stessi argomenti,come modello per la diffusione di una concentrazione di massa u,a partire dalla legge di Fick, che è formalmente identica alla (1.1), ove peròu ha il significato appena ricordato, e J assume il significato di flusso dimassa. Il coefficiente K > 0 si chiama ancora diffusività (nei calcoli soprasi prenda cρ = 1). In quest’ambito la (1.6) si dice anche equazione delladiffusione.SivedalaSezione1.2perunaltroepiùdettagliatoapproccioall’equazionedella diffusione.•1.2. Moto browniano: l’equazione della diffusione1.2.1. Ipotesifondamentali. Consideriamounadistribuzionediparticellesospese in un liquido. Essenzialmente a causa dei continui urti con lemolecole del liquido, ogni singola particella segue un moto casuale, dettobrowniano dal nome di Robert Brown, botanico, che descrisse il moto digrani di polline nell’acqua in Phil. Mag. (4) 1828, e Ann. d. Phys. u. Chem.14 1828. Si noti che in questo moto le particelle descrivono traiettoriemolto irregolari, tanto che l’usuale rappresentazionedelle traiettorie comecurve differenziabili (sia pure a tratti) è inadeguata.Il moto delle particelle verrà descritto tramite una funzione distribuzionef(x,t), che dia il numero di particelle per unità di volume, nel punto x altempo t. Inoltre assumeremo che:H.1 Il moto di ogni particella è indipendente dal moto delle altre.H.2 Fissati ad arbitrio tre tempi t 1 < t 2 < t 3 , il moto di ciascuna particellanell’intervallo (t 2 ,t 3 ), relativo alla posizionecheessaoccupaaltempot 2 , è indipendente dal moto della medesima particella nell’intervallo(t 1 ,t 2 ).È evidente che, nell’ambito della descrizione classica del moto, la H.2 sarebbefalsa: lo stato cinematico della particella in t = t 2 , secondo le leggidella meccanica, deve influire sul moto successivo. La H.2 quindi si puòinterpretare così: esiste un intervallo di tempo τ tale che il moto di ogniparticella successivo all’istante t 2 + τ è indipendente dal moto precedentel’istante t 2 , nei limiti dell’approssimazione del modello. Inoltre τ è cosìpiccolo che, sempre nei limiti dell’approssimazione che accettiamo, si può

1.2. MOTO BROWNIANO: L’EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONE 5supporre t 2 + τ = t 2 , ossia τ = 0 (“τ è molto piccolo rispetto all’intervallodi tempo osservato”, come osservò A.Einstein nel riferimento che quisoprattutto seguiamo, cioè Ann. d. Phys., 17 1905).I moti possibili per ogni singola particella verranno descritti per via statistica,nell’impossibilità di seguire singolarmente ogni moto. Si noti la difficoltàche viene posta dalla non derivabilità delle traiettorie. Dobbiamoquindi prescindere addirittura dai concetti di velocità e accelerazione.Introduciamo pertanto direttamente lo spostamento z = (z 1 ,z 2 ,z 3 ) di unaparticella, e, in accordo con H.1 e H.2,H.3 Supponiamo che, per ogni istante t, ciascuna particella abbia probabilitàP(∆t,z) di subire uno spostamento z nell’intervallo (t,t+ ∆t).Si noti che P dipende solo da ∆t e da z. Si assume che il fenomenosia isotropico, cioè che per una opportuna funzione P 0 ,P(∆t,z) = P 0 (∆t,|z|), ∀z ∈ R 3 , ∀∆t > 0. (1.8)Inoltre, visto il significato probabilistico di P, dovrà essere∫R 3 P(∆t,z)dz = 1, ∀z ∈ R 3 , ∀∆t > 0. (1.9)1.2.2. L’equazione della diffusione. È chiaro che all’istante t+∆t si troverannoin x le particelle che erano in punti x−z all’istante t, e che hannosubito uno spostamento z nell’intervallo di tempo (t,t+∆t). Perciò:∫f(x,t+ ∆t) = f(x−z,t)P(∆t,z)dz. (1.10)R 3Usiamo ora lo sviluppo di Taylor di f, che assumeremo regolare quantobasta, per esempio di classe C 3 in (x,t). Valef(x−z,t) = f(x,t)−3∑i=1∂f∂x i(x,t)z i+ 1 23∑i,j=1Sostituendo (1.11) in (1.10), si ottiene∫f(x,t+ ∆t) = f(x,t)+ 1 23∑i,j=1∂ 2 f∂x i∂x j(x,t)∂ 2 f∂x i∂x j(x,t)z i z j +R 1 (x,z,t). (1.11)3∑i=1P(∆t,z)dz−R 3 ∫ ∫z i z j P(∆t,z)dz+R 3∫∂f(x,t)∂x iR 3 z i P(∆t,z)dzR 3 R 1 (x,z,t)P(∆t,z)dz. (1.12)Per (1.8) vale, cambiando la variabile di integrazione z in ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) =−z,∫ ∫∫z i P(∆t,z)dz = (−ζ i )P(∆t,−ζ)dζ = − ζ i P(∆t, ζ)dζ.R 3 R 3 R 3•

6 DANIELE ANDREUCCIDunque quest’integrale è nullo, per i = 1, 2, 3. Consideriamo poi gliintegrali che appaiono nella parte quadratica dello sviluppo (1.12), in particolarequelli ove i ̸= j. Supponiamo per definitezza i = 1, j = 2. Vale,introducendo la variabile ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) = (z 1 ,−z 2 ,z 3 ),∫ ∫∫z 1 z 2 P(∆t,z)dz = ζ 1 (−ζ 2 )P 0 (∆t,|ζ|)dζ = − ζ 1 ζ 2 P(∆t, ζ)dζ,R 3 R 3 R 3ovesièancorausato(1.8). Perciòanchequestiintegralisononulli perogniscelta della coppia (i,j) con i, j = 1, 2, 3, con i ̸= j.Gli integrali dello stesso tipo, ma con i = j, risultano tutti uguali tra diloro, ossia∫ ∫ ∫z 2 1 P(∆t,z)dz = z 2 2 P(∆t,z)dz = z 2 3P(∆t,z)dz =: a(∆t).R 3 R 3 R 3Si ha infatti per esempio, ponendo ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) = (z 2 ,z 1 ,z 3 ),∫ ∫ ∫z 2 1 P(∆t,z)dz = z 2 1 P 0(∆t,|z|)dz = ζ2 2 P 0(∆t,|ζ|)dz.R 3 R 3 R 3Infine si ottiene, usando anche (1.9) nel primo termine del membro didestra di (1.12),f(x,t+ ∆t) = f(x,t)+ 1 2 a(∆t) ∆ f(x,t)+E 1(x,t, ∆t), (1.13)ove E 1 (x,t, ∆t) coincide con l’ultimo integrale di (1.12).D’altra parte, ancora per la formula di Taylor,f(x,t+∆t) = f(x,t)+ ∆t ∂f∂t (x,t)+R 2(x,t, ∆t). (1.14)Confrontando quindi (1.13) e (1.14), si ottiene∂f a(∆t)(x,t) = ∆ f(x,t)+ 1 ∂t 2∆t∆t {E 1(x,t, ∆t)−R 2 (x,t, ∆t)}. (1.15)Vogliamo prendere il limite ∆t → 0. Dobbiamo stipulare l’ipotesiH.4 Esiste un D > 0 tale chea(∆t)lim = D.∆t→0 2∆tInoltre dobbiamo assumere che f e P siano abbastanza regolari da avereE 1 (x,t, ∆t) Rlim = 2 (x,t, ∆t)0, lim = 0. (1.16)∆t→0 ∆t∆t→0 ∆tSostituendo queste relazioni in (1.15), si arriva subito ache è la classica equazione della diffusione.∂f(x,t) = D ∆ f(x,t), (1.17)∂t•

1.2.3. Cammino medio. Si può verificare cheΓ(x,t) =1.3. IL PRINCIPIO DI DIRICHLET 714Dt , x ∈ R 3 , t > 0, (1.18)(4πDt) 3/2e−|x|2è una soluzione di (1.17). È in effetti una soluzione molto importante,detta anche soluzione fondamentale, per i motivi spiegati nella Sezione 11.3.Si potrebbe anche vedere chee anzilim Γ(x,t) = 0, per x ̸= 0, limt→0+∫Γ(0,t) = +∞,t→0+R 3 Γ(x,t)dx = 1, per ogni t > 0.In altri termini, se interpretiamo Γ come densità,in modoanalogo aquantofatto sopra per f, si vede che essa corrisponde all’evoluzione di unamassa unitaria concentrata all’istante iniziale t = 0 nell’origine x = 0.Tuttavia, è possibile un’altra interpretazione di Γ: supponiamo di avereuna particella, che all’istante iniziale occupa la posizione x = 0, e poisegue un moto casuale come quello descritto sopra. La probabilità ditrovare la particella nella posizione x al tempo t si può approssimare, inlinea di principio, eseguendo un grande numero di esperimenti analoghi,liberando sempre la particella singola in x = 0, e poi calcolando la mediaaritmetica dei risultati sperimentali, secondo la tradizionale definizionefrequentista di probabilità. Si otterrebbe, al limite, esattamente la Γ(x,t).Questa interpretazione di Γ in termini probabilistici permette di calcolareil cosiddetto cammino medio ¯l della particella, cioè la radice quadrata delvalore atteso di |x| 2 (|x| è la distanza percorsa dalla particella che si troviall’istante t nella posizione x). Si intende qui che il cammino medio èriferito a un fissato intervallo di tempo (0,t). In conclusione si ottiene,mediante il cambiamento di variabili ζ = x/(2 √ Dt),∫ ∫¯l 2 = |x| 2 Γ(x,t)dx =R 3R 3|ζ| 2 4Dt(4πDt) 3/2e−|ζ|2 (4Dt) 3/2 dζ= 4Dtπ 3/2 ∫R 3 |ζ| 2 e −|ζ|2 dζ = 6Dt,ove l’ultima uguaglianza si ottiene passando a coordinate sferiche in R 3 .Perciò il cammino medio ¯l èproporzionalea √ t. Questorisultato in effettinon sorprende, data l’ipotesi H.4, ove, in termini euristici, si assume che,almeno per ∆t piccoli, gli spostamenti (probabili) vanno come √ ∆t. •1.3. Il principio di DirichletConsideriamo una membrana, soggetta a tensione uniforme, sottopostaa piccoli spostamenti ortogonali dal piano R 2 . Indichiamo con u(x) lospostamento della membrana dal piano, e supponiamo che u ∈ C 2 (Ω).Supponiamo anche di fissare la posizione della membrana sulla frontiera∂Ω, in modo cheu(x) = u 0 (x), x ∈ ∂Ω. (1.19)

8 DANIELE ANDREUCCIL’energia potenziale della membrana è proporzionale alla sua area, che èdata da ∫ √ ∫ [1+|∇u| 2 dx ≃ 1+ 1 2 |∇u|2] dx.ΩSisache la posizione diequilibrio dellamembrana corrispondeaun minimodell’energia potenziale. Dunque la u corrispondente all’equilibrio dàil minimo del funzionaledefinito daJ : K → R,ΩK := {v ∈ C 2 (Ω) | v = u 0 su ∂Ω},∫J(v) = |∇v(x)| 2 dx.ΩDimostriamo che trovare il minimo del funzionale J equivale a trovare lasoluzione del problema di Dirichlet:L’equazione (1.20) si dice equazione di Laplace.∆u = 0, in Ω, (1.20)Teorema 1.1. (Principio di Dirichlet)1) Sia u ∈ C 2 (Ω) la soluzione di (1.20)–(1.21). AlloraossiaΩΩu = u 0 , su ∂Ω. (1.21)J(u) = minv∈KJ(v), (1.22)∫ ∫|∇u(x)| 2 dx ≤ |∇v(x)| 2 dx, per tutte le v ∈ K. (1.23)2) Viceversa, se u ∈ K e sevale (1.22) (o, il che èlo stesso, (1.23)), allora u risolveil problema (1.20)–(1.21).Dimostrazione. 1) Sia v ∈ K. Allora vale∆(u−v) = − ∆v, in Ω.Moltiplicando per u−v e integrandoper partisiottiene(visto che u−v =0 su ∂Ω)∫ ∫∫ ∫− |∇(u−v)| 2 dx = ∇v·∇(u−v)dx = − |∇v| 2 dx+ ∇u·∇vdx.ΩΩΩΩ(1.24)D’altronde, qualunque sia v ∈ K, sempre integrando per parti,∫ ∫ ∫∇u·∇vdx = − v ∆udx+ v ∂u ∫ ∫∂ν dσ = ∂uu 0∂ν dσ = |∇u| 2 dx.∂Ω(1.25)Unendo le (1.24) e (1.25) si ottiene∫ ∫ ∫ ∫|∇u| 2 dx = |∇v| 2 dx− |∇(u−v)| 2 dx ≤ |∇v| 2 dx. (1.26)ΩΩΩΩ∂ΩΩΩΩ

1.4. L’EQUAZIONE DELLA CORDA VIBRANTE 9Perciò valgono le (1.22) e (1.23). Se in quest’ultima vale l’uguaglianza(ossia se v ∈ K è un’altro punto di minimo per J), segue da (1.26) che∇(u−v) ≡ 0 in Ω. Poiché u = v su ∂Ω, allora u ≡ v in Ω.2) Supponiamo invece che esista il minimo di J in K; denotiamolo conu ∈ K. Allora per ogni ϕ ∈ C 2 (Ω), ϕ = 0 su ∂Ω, vale cheu+tϕ ∈ K, per ogni t ∈ R,cosicché la funzione∫Φ(t) = J(u+tϕ) = |∇(u+tϕ)| 2 dx, t ∈ R,Ωha minimo, pari a J(u), in t = 0. Un calcolo esplicito mostra che∫ ∫ ∫Φ(t) = t 2 |∇ ϕ| 2 dx+2t ∇u·∇ϕdx+ |∇u| 2 dx,ΩΩΩe quindi Φ ∈ C 1 (R) e deve essere∫Φ ′ (0) = 2 ∇u·∇ ϕdx = 0. (1.27)Ripetiamo che la (1.27) deve valere per ogni ϕ ∈ C 2 (Ω) con ϕ = 0 su ∂Ω.Dato che per ipotesi u ∈ C 2 (Ω), si può integrare per parti nella (1.27) eottenere∫0 = 2Ω∫∇u·∇ ϕdx = −2ΩΩϕ ∆udx, (1.28)per ogni ϕ come sopra. Questocome è noto implica che ∆u ≡ 0 in Ω, cioèche u risolve (1.20)–(1.21).□Osservazione 1.2. Sopra abbiamo assunto, in riferimento al significatomodellistico dello schema matematico, che Ω ⊂ R 2 ; tuttavia è chiaro cheil Teorema 1.1 vale senza modifiche in qualsiasi dimensione N ≥ 2. □1.4. L’equazione della corda vibranteConsideriamo una corda che a riposo occupa il segmento0 ≤ x 1 ≤ L, x 2 = 0, x 3 = 0.Supponiamo che gli spostamenti u = u(x 1 ,t) dalla posizione di riposoavvengano solo nel piano x 3 = 0, siano ortogonaliall’asse x 1 , e così piccoliche si possa approssimare il versore tangente della corda come segue:(1,u x1 ,0)√1+u 2 x 1≃ (1,u x1 ,0), (1.29)ove appunto u = u(x 1 ,t) denota lo spostamento nel punto di ascissa x 1 altempo t.La tensione S è diretta lungo la tangente alla corda (cioè la corda è perfettamenteflessibile), e soddisfa la legge di Hooke. Quindi per la nostraipotesiche non ci siano spostamentilungo x 1 , si deve avere per ogni scelta

10 DANIELE ANDREUCCIdi x1 ′ e x′′ 1 che le componenti lungo tale asse della tensione nei punti x′ 1 ex1 ′′ si cancellano, ossia S(x 1 ′) = S(x′′ 1 ),oveabbiamo usato(1.29). Infinela tensionenon puòdipenderedaltempo,per la legge di Hooke, e perché, per la nostra ipotesi di approssimazione,la lunghezza del tratto di corda compresotra due ascisse arbitrarie x1 ′ e x′′ 1non varia:∫x 1′′√lunghezza = 1+u 2 x 1dx 1 ≃ x 1 ′′ −x 1 ′ .x ′ 1Perciò S = ¯S costante.Scriviamo poi la legge di moto per un tratto arbitrario di corda: l’unicacomponente significativa delle tre è quella lungo x 2 :∂ 2 ∫x 1′′∂t 2x ′ 1u(ξ,t)ρ(ξ)dξ = S(x ′′1 )u x 1(x ′′∫x 1′′1 )−S(x′ 1 )u x 1(x 1 ′)+ = ¯S[u x1 (x ′′1)−u x1 (x ′ 1)]+x ′ 1x ′′∫ 1x ′ 1F(ξ,t)dξF(ξ,t)dξ, (1.30)ove ρ è la densitàdella corda, e F quella delle forze applicate. Scambiandola derivata con l’integrale, e poi dividendo (1.30) per x1 ′′ −x′ 1 e prendendoil limite x1 ′′ → x′ 1 si ottiene ρu tt − ¯Su x1 x 1= F. (1.31)Se la densità è costante, si ottiene l’usuale equazione delle onde in dimensione1, o della corda vibranteu tt −c 2 u xx = F ρ , (1.32)ove si è denotata come d’uso l’ascissa con x. Si noti che√¯Sc =ρ > 0ha le dimensioni di una velocità.1.5. Onde acusticheConsideriamo un gas, e denotiamo con v la sua velocità, con ρ la densità,con p la pressione, con F la densità di forze esterne.È noto che valgono l’equazione di Eulero∂v∂t +(v∇)v = F−ρ−1 ∇ p, (1.33)e l’equazione di continuità∂ρ∂t+div(ρv) = 0, (1.34)

1.6. IL SIGNIFICATO LOCALE DEL LAPLACIANO 11cui aggiungiamo l’equazione di statop = P(ρ). (1.35)Trascuriamolepotenzedigradosuperiorealprimodiv,delsuogradiente,e di ρ−ρ 0 , essendo ρ 0 il valore della densità all’equilibrio. Con questeipotesi, l’equazione (1.33) diviene∂v∂t = F−ρ−1 0∇ p = F−ρ0 −1 P′ (ρ 0 )∇ρ, (1.36)mentre la (1.34) dà∂ρ∂t + ρ 0divv = 0. (1.37)Prendendo la divergenza nella (1.36), derivando in t la (1.37), e poi sostituendoil termine comune divv t si ottiene∂ 2 ρ∂t 2 = −ρ 0divF+P ′ (ρ 0 ) ∆ ρ, (1.38)che di solito si scrive come∂ 2 u∂t 2 −c2 ∆u = f , (1.39)e prende il nome di equazione delle onde (in questo caso acustiche) in dimensione3. Nella (1.39) si è posto√c = P ′ (ρ 0 ) > 0.1.6. Il significato locale del laplacianoL’operatore differenziale laplaciano è comparso più volte nelle equazioniviste sopra. Cerchiamo qui di comprenderne il significato dal punto divista del comportamento locale della funzione.Teorema 1.3. (Identità di Green) Siano u, v ∈ C 2 (Ω). Vale∫∫ ((v ∆u−u ∆v)dx = v ∂u ∂v)−u dσ. (1.40)∂ν ∂νΩDimostrazione. Si ha∂Ωv ∆u−u ∆v = div(v∇u)−div(u∇v). (1.41)Integrando la (1.41) si ottiene subito la (1.40), in virtù del teorema delladivergenza.□Osservazione 1.4. È facile verificare con i calcoli diretti che le funzioni1Ψ N (x−x 0 ) =|x−x 0 | N−2 , x ̸= x 0,N ≥ 3, (1.42)Ψ 2 (x−x 0 ) = −ln|x−x 0 |, x ̸= x 0 ,N = 2, (1.43)soddisfano∆ Ψ N = 0, x ̸= x 0 .Qui x 0 ∈ R N è un punto fissato.Queste funzioni vengono dette soluzioni fondamentali dell’equazione di Laplace.

12 DANIELE ANDREUCCIIn situazioni che non diano luogo ad ambiguità talvolta indicheremo conun abuso di notazioneΨ N (|x−x 0 |) = Ψ N (x−x 0 ).Teorema 1.5. (Identità di Stokes) Sia u ∈ C 2 (Ω). Per ogni x ∈ Ω valeu(x) = 1γ N∫Qui si è posto∂Ω(Ψ N (x−y) ∂u∂ν (y)−u(y) ∂Ψ N∂ν (x−y) )dσ y− 1γ N∫Ω□Ψ N (x−y) ∆u(y)dy. (1.44)γ N = (N−2)σ N , N ≥ 3; γ 2 = 2π, N = 2.Dimostrazione. Applichiamo l’identità di Green alle due funzioni u eΨ N , nell’apertoΩ\B ε (x)∂ΩΩ\B ε (x),ove ε > 0 è scelto abbastanza piccolo da rendere B ε (x) ⊂ Ω. Si ottiene,osservando che ∆ Ψ N = 0 nell’aperto considerato,∫ ∫ (∂uΨ N ∆udy = Ψ N∂ν −u ∂Ψ ) ∫ (N∂udσ y + Ψ N∂ν∂ν −u ∂Ψ )Ndσ y .∂ν∂B ε (x)(1.45)Calcoliamo il limite dell’ultimo integrale sopraper ε → 0. Si notianzituttoche∣ ∣∣∫∂B ε (x)∂uΨ N ∂ν∣≤ σ N ε N−1 Ψ N (ε)max|∇u| → 0, ε → 0, (1.46)Ωper ogni N ≥ 2. Poi osserviamo che su ∂B ε (x) si ha∂∂ν = − ∂ ∂r , r = |x−y|.Quindi si ha, se N ≥ 3,∫u ∂Ψ ∫N∂νdσ y = −(2− N)ε 1−N∂B ε (x)∂B ε (x)u(y)dσ y . (1.47)A parte un fattorecostantequestaèla mediaintegrale di u sulla superficie∂B ε (x), che tende come è noto a u(x) per ε → 0, per la continuità di u.Si noti infine che il primo membro della (1.45) converge per ε → 0 a∫Ψ N ∆udy,Ωdato che l’integrando, per quanto illimitato, è comunque integrabile in Ω(vedi Capitolo A, in particolare l’Esempio A.12).

1.6. IL SIGNIFICATO LOCALE DEL LAPLACIANO 13Quindi, per ε → 0 si ha da (1.45)∫ ∫ (∂uΨ N ∆udy = Ψ N∂ν −u ∂Ψ )Ndσ y −(N−2)σ N u(x), (1.48)∂νΩ∂Ωcioè la (1.44) nel caso N ≥ 3.Il caso N = 2 richiede solo qualche modifica formale in (1.47).Teorema 1.6. Sia u ∈ C 2 (Ω). Per ogni x ∈ Ω e per ogni B R (x) ⊂ Ω vale∫1u(x) =σ N R N−1 u(y)dσ y − 1 ∫(Ψ N (x−y)−Ψ N (R)) ∆u(y)dy.γ N∂B R (x)B R (x)Dimostrazione. Scegliamo Ω = B R (x) in (1.44). Si ottieneu(x) = 1γ NΨ N (R)∫∂B R (x)∂u∂ν (y)dσ y − 1 ∫∂Ψ Nγ N ∂r (R)− 1γ N∫B R (x)∂B R (x)u(y)dσ y□(1.49)Ψ N (x−y) ∆u(y)dy. (1.50)Applicando il teorema della divergenza al primo integrale di superficienella (1.50), si ottiene la (1.49).□Si noti che nell’ultimo integrale nella (1.49) valeΨ N (x−y)−Ψ N (R) ≥ 0,e quindi tale integrale ha il segno opposto a quello del laplaciano di u, sequesto ha un segno costante. Più in particolare si haCorollario 1.7. (Formula della media) Se u ∈ C 2 (Ω) soddisfa ∆u = 0 inΩ, allora vale∫1u(x) =σ N R N−1 u(y)dσ y , (1.51)∂B R (x)per ogni x ∈ Ω e per ogni B R (x) ⊂ Ω.Se invece ∆u ≤ 0 [∆u ≥ 0] in Ω, allora il segno di uguaglianza nella (1.51)deve essere sostituito con ≥ [≤].Osservazione 1.8. Il Corollario 1.7 stabilisce che − ∆u ha il significato di‘eccesso’ di u(x) rispetto alla sua media integrale. Dunque sia l’equazionedel calore (1.6), che quella delle onde (1.39), predicono che lo scostamentodi u dalla sua media si traduce in un termine ‘cinetico’ (di primo o secondoordine in t rispettivamente) che guida l’evoluzione della soluzione neltempo.Nel caso stazionario (1.20), tale scostamento è nullo (o potrebbe risultareassegnato in presenza, ad esempio, di carichi distribuiti sulla membrana).□

14 DANIELE ANDREUCCIEsercizio 1.9. Sia u ∈ C 2 (Ω); si dimostri che per ogni x ∈ Ω vale1[ ∫1]limR→0 R 2 u(x)−σ N R N−1 u(y)dσ y = − ∆u(x)2N . (1.52)Soluzione∂B R (x)Definizione 1.10. Una funzione u ∈ C 2 (Ω) che soddisfi ∆u = 0 [rispettivamente∆u ≤ 0; ∆u ≥ 0] in Ω, si dice armonica [rispettivamentesuperarmonica; subarmonica] in Ω.□La terminologia della Definizione 1.10, in apparenza in contrasto con l’intuizione,trova spiegazione nel Corollario 1.7.Osservazione 1.11. Il laplaciano è l’unico operatore lineare del second’ordinea coefficienti costanti che risulta invariante per rotazioni (vedi Esercizio1.12). D’altra parte in condizioni di isotropia l’equazione che regolail fenomeno deve risultare appunto invariante per rotazioni. Questochiarisce la presenza del laplaciano nelle e.d.p. fondamentali introdottesopra.□Esercizio 1.12. Mostrare che i multipli scalari del laplaciano sono gli unicioperatori differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine cherimangono invarianti per rotazioni.In termini più espliciti, poniamoLu =con b ij = b ji ∈ R, e poniamo ancheN∑ b ij u xi x j,i,j=1v(x) = u(Ax),con A matrice reale unitaria N×N, cioè tale che A −1 = A t .Allora si deve dimostrare cheLu(x) = Lv(x), per ogni A come sopra, (1.53)se e solo se b ij = bδ ij per un b ∈ R. Qui δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i ̸= j.Soluzione□Concludiamo la Sezione dimostrando che nel Corollario 1.7 le medie disuperficie possono essere sostituite da medie di volume.Lemma 1.13. Una u ∈ C(Ω) soddisfa la (1.51) se e solo se per ogni x ∈ Ω eogni sfera chiusa B ρ (x) ⊂ Ω valeu(x) = 1 ∫ω N ρ N u(y)dy. (1.54)B ρ (x)Dimostrazione. A) Supponiamo che u ∈ C(Ω) soddisfi la (1.51). Fissiamox ∈ Ω. Assumendo, come è sempre possibile, x = 0, e passando acoordinate polari in R N , si ha∫B ρ (0)u(y)dy =∫ ρ0∫∂B r (0)udσdr =∫ ρ0σ N r N−1 u(0)dr = ω N ρ N u(0).□

1.6. IL SIGNIFICATO LOCALE DEL LAPLACIANO 15Quindi (1.54) è dimostrata.B) Se viceversa si assume la (1.54), la (1.51) siricava derivando in ρ l’uguaglianza∫ ∫ ρ ∫ω N ρ N u(0) = u(y)dy = u(y)dσdr.B ρ (0)0∂B r (0)Osservazione 1.14. Un analogo del Lemma 1.13 vale anche se il segno diuguaglianza nella (1.51) è sostituito da una disuguaglianza. La parte A)della dimostrazione vale senza modifiche sostanziali anche per funzionisuperarmonicheesubarmoniche, mentrela parte B) richiede un approcciodiverso (perché le disuguaglianze si possono integrare, ma non derivare).□□

CAPITOLO 2Problemi al contornoSpieghiamo il significato generale dei problemi al contorno, chesono posti in un dominio spaziale, o spazio temporale nel casodelle equazioni di evoluzione, noto a priori.Sulla frontiera del dominio (o su parti di essa) vanno prescrittidati opportuni. Nelle applicazioni e nella teoria appaiono inmodo naturale problemi corrispondenti a dati poco regolari, adesempio discontinui sulla frontiera.2.1. Significato dei problemi al contornoUna classe importante di problemi per e.d.p. del secondo ordine è costituitadai problemi ai valori al contorno. Questi problemi sono detti ancheai valori iniziali e al contorno quando siano posti per equazioni di evoluzione(come l’equazione del calore o quella delle onde). Infatti in questocaso è necessario prescrivere anche dei dati al tempo iniziale.Neiproblemial contornosi assegnaapriori il dominio sucui dovràesseredefinita la soluzione, e questa richiesta è in genere essenziale nel risolvereil problema. Si consideri per esempio il problema∆u = 0, in Ω ⊂ R 2 , (2.1)u(x,y) = 0, x 2 +y 2 = 1. (2.2)Se si chiede solo che Ω sia un aperto che contiene la curva che porta ildato, cioè la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, questo problemaha (almeno) l’infinità di soluzioniu(x,y) = αln ( x 2 +y 2) , in Ω = R 2 \{(0,0)}, (2.3)al variare del parametro α ∈ R.Prendendo il punto di vista dei problemi al contorno, cerchiamo invecele soluzioni definite in tutto il dominio di cui la curva che porta il dato èfrontiera, ossia il cerchio{(x,y) | x 2 +y 2 < 1}.Si dimostra allora che esiste una unica soluzione del problema, che quindicome è ovvio è quella identicamente nulla.Quindi nei problemi al contorno è sufficiente prescrivere un solo dato alcontorno; quando questo è prescritto come il valore dell’incognita u siparla di problema di Dirichlet, mentre se è prescritto il valore della derivatanormale di u sulla frontiera di Ω si parla di problema di Neumann.Si tenga presente che una seconda informazione sulla soluzione è comunqueassegnata, come restrizione sul suo dominio di definizione.17

18 DANIELE ANDREUCCINel caso dei problemi posti per le equazioni di evoluzione, diciamo in unintervallo temporale (0,T), è chiaro che il valore della soluzione (e dellesue derivate) al tempo finale T risulta determinato dai dati prescritti per itempi precedenti t < T. Quindi non appare necessario, dal punto di vistadell’intuizione modellistica, prescrivere dati sulla parte della frontiera deldominio che giace su t = T; anzi appare impossibile. Questa considerazioneintuitiva è infatti confermata dall’analisi matematica deiproblemi inquestione.È infine possibile prescrivere il valore dell’incognita su una parte dellafrontiera del dominio, e invece il valore della derivata normale sulla parterimanente. Si hanno in questo caso problemi con condizioni miste.Osservazione 2.1. (Significato modellistico delle condizioni al contorno)Le condizioni del tipo di Dirichlet sono di immediata interpretazione,conseguenteal significato dell’incognita u. Peresempioin problemidi diffusione del calore, ove in genere u rappresenta una temperatura, lacondizione di Dirichlet si assegna quando la frontiera del dominio vienemantenuta a una temperatura nota.Le condizioni del tipo di Neumann possono avere il significato di condizionidi flusso: sempre nel caso dell’equazione del calore, è infatti notoche il flusso di calore nel corpo è dato da−D∇u,almeno secondo la legge di Fourier. Oppure, nel caso dell’equazione delleonde, questecondizioni sono legate a vincoli di tipo meccanico (corda conestremo libero).□Osservazione 2.2. (Interpretazione matematica delle condizioni alcontorno) Nel seguito scriveremo formalmente condizioni del tipo (2.5),o (2.13), o ancora (2.16). Se le funzioni coinvolte in queste uguaglianzesono tutte continue (fino sul contorno compreso), il significato di talicondizioni è chiaro; tuttavia la teoria matematica permette di considerareanche casi in cui i dati non siano continui. Si noti che in effetti le applicazioniconducono a trattare anche problemi con dati irregolari; peresempio spesso le ‘condizioni di compatibilità’ non sono soddisfatte (vediSezione 2.7).□2.2. Problemi al contorno per l’equazione di Laplace2.2.1. Problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace. Il problema diDirichlet in un aperto limitato Ω ⊂ R N con frontiera regolare è:PD L : Assegnata u 0 : ∂Ω → R, determinare u ∈ C 2 (Ω) tale che∆u = 0, in Ω, (2.4)u = u 0 , su ∂Ω. (2.5)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sul datoal contorno (vedi Teorema 6.12, e Teorema 4.5).•

2.3. PROBLEMI PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 192.2.2. Problema di Neumann per l’equazione di Laplace. Il problema diNeumannin un apertolimitato e connesso Ω ⊂ R N , con frontieraregolareè:PN L : Assegnata f : ∂Ω → R, determinare u ∈ C 2 (Ω) tale che∆u = 0, in Ω, (2.6)∂u∂ν= f , su ∂Ω. (2.7)Osservazione2.3. Unacondizionenecessaria perlarisolubilitàdelproblemadi Neumann è:∫f dσ = 0. (2.8)∂ΩInfatti per il teorema della divergenza, ammesso che una soluzione uesista,∫ ∫ ∫∂uf dσ =∂ν dσ = ∆udx = 0.∂Ω∂ΩOsservazione2.4. ÈchiarocheseurisolveilproblemadiNeumann,ancheu+costante lo risolve. Non può quindi esservi unicità di soluzioni perPN L , almeno nelsensopienodeltermine. Sidimostratuttaviachetuttelesoluzionisitrovanoperaddizionediunacostante(vediTeorema6.12). □Ω□•2.3. Problemi al valore iniziale e al contorno per l’equazione del calore2.3.1. Problema di Dirichlet per l’equazione del calore. Usiamo la notazioneQ T = Ω×(0,T) = {(x,t) | x ∈ Ω, 0 < t < T},∂ p Q T = (∂Q T )\{(x,T) | x ∈ Ω},Q ∗ T = Q T \ ∂ p Q T = Ω×(0,T].Q ∗ T si dice anche interno parabolico di Q T (si noti che Q ∗ T ̸⊂ Q T), e ∂ p Q T sidice frontiera parabolica di Q T .Il problema di Dirichlet per l’equazione del calore nel cilindro Q T è:PD C : Assegnata u 0 : ∂ p Q T → R, determinare u ∈ C 2,1 (Q ∗ T) tale cheu t −D ∆u = 0, in Q T , (2.9)u(x,t) = u 0 (x,t), su ∂ p Q T . (2.10)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sui datial contorno e iniziale (vedi Teorema 6.6, e Teorema 4.12). •

20 DANIELE ANDREUCCI2.3.2. Problema di Neumann per l’equazione del calore. Il problema diNeumann per l’equazione del calore nel cilindro Q T = Ω×(0,T), èPN C : Assegnate u 0 : Ω → R, f : ∂Ω ×(0,T) → R determinare u ∈C 2,1 (Q ∗ T ), tale che u t −D ∆u = 0, in Q T , (2.11)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.12)D∇u(x,t)·ν = f(x,t), su ∂Ω×(0,T). (2.13)Osservazione 2.5. Il problema di Neumann per l’equazione del calore hauna soluzione unica, a differenza del problema di Neumann per l’equazionedi Laplace (vedi Teorema 6.6). Questo è dovuto all’imposizione deldato iniziale, che proibisce la ‘traslazione’ per costanti additive arbitrarie,possibile invece nel caso dell’equazione di Laplace. □2.4. Problemi ai valori iniziali e al contorno per l’equazione delle ondeNel caso dell’equazione delle onde, che contiene la derivata temporaledel secondo ordine dell’incognita, vanno prescrittidue dati iniziali, ossia ivalori dell’incognita, e della sua derivata temporale prima.2.4.1. Problema di Dirichlet per l’equazione delle onde. Il problema diDirichlet per l’equazione delle onde, posto nel cilindro Q T = Ω×(0,T) è:PD O : Assegnate u 0 , u 1 : Ω → R, f : ∂Ω × (0,T) → R determinareu ∈ C 2 (Q T ), tale cheu tt −c 2 ∆u = 0, in Q T , (2.14)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.15)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ Ω, (2.16)u(x,t) = f(x,t), su ∂Ω×(0,T), (2.17)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sui datial contorno e iniziali (vedi Teorema 6.4).•2.4.2. Problema di Neumann per l’equazione delle onde. Il problema diNeumann per l’equazione delle onde, posto nel cilindro Q T = Ω×(0,T)è:PN O : Assegnate u 0 , u 1 : Ω → R, f : ∂Ω × (0,T) → R determinareu ∈ C 2 (Q T ), tale cheu tt −c 2 ∆u = 0, in Q T , (2.18)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.19)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ Ω, (2.20)∂u(x,t) = f(x,t), su ∂Ω×(0,T). (2.21)∂ν•

2.6. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI. 21Vale per il problema PN O un’osservazione simile all’Osservazione 2.5. Inparticolare, questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevolisui dati al contorno e iniziali (vedi Teorema 6.4). •2.5. Il problema di Cauchy in tutto lo spazioUn caso particolare diproblemapostoin un dominio illimitato sihaquandoil dominio è tutto lo spazio. Soprattutto quando l’equazione è di tipoevolutivo (delle onde o del calore) il problema si dice allora problema diCauchy.2.5.1. Problema di Cauchy per l’equazione del calore.PC C : Assegnata u 0 : R N → R determinare u ∈ C 2,1 (R N ×(0,T]) tale cheu t −D ∆u = 0, in R N ×(0,T), (2.22)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N . (2.23)Per assicurare l’unicità della soluzione, occorre imporre qualche restrizionesul comportamento per |x| → ∞ della medesima, per esempio che simantenga limitata.•2.5.2. Problema di Cauchy per l’equazione delle onde.PC O : Assegnate u 0 , u 1 : R N → R determinare u ∈ C 2 (R N ×(0,T)), talecheu tt −c 2 ∆u = 0, in R N ×(0,T), (2.24)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N , (2.25)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R N . (2.26)In questo caso non occorrono particolari restrizioni per ottenere unicità disoluzioni.•2.6. Dipendenza continua dai dati.Un problema per e.d.p. che debba essere utilizzato come modello matematiconelle applicazioni dovrebbe essere ben posto nel senso di Hadamard.Questo significa che le soluzioni del problema devono esistere (quandoi dati sono scelti in modo ragionevole), e che esse devono dipendere concontinuità dai dati stessi. La dipendenza continua dai dati in sostanzaequivale alla richiesta che le soluzioni corrispondenti a dati simili sianoa loro volta simili tra di loro. Un modo più formale di esprimere questoconcetto, se dist sol indica una opportuna ‘distanza’ tra soluzioni, e dist datiuna ‘distanza’ tra dati, è:dist sol (u,ū) ≤ Cdist dati (d, d), ¯ (2.27)ove u [ū]èla soluzionecorrispondentealdato d [ d], ¯ e C > 0èunacostanteindipendente dai dati. Si noti che la (2.27), e in genere la dipendenzacontinua, implicano l’unicità della soluzione (assegnato il dato).La buona posizione di un modello matematico garantisce, tra l’altro, chegli inevitabili errori di misura che si compiono nel determinare i dati siriflettano in modo controllabile sulla soluzione.

22 DANIELE ANDREUCCIRisultati di dipendenza continua sono ad esempio: i Teoremi 6.1, 6.5, 6.7,10.18, 4.7, 4.14, 4.22.2.7. Condizioni di compatibilitàLa regolarità possibile per le soluzioni di problemi ai valori iniziali e alcontorno dipende come è ovvio da quella dei dati del problema.Inoltre, nel caso di problemi posti in un dominio spaziale diverso da tuttolo spazio, possono nascere problemi di compatibilità tra i dati, in generesulla frontiera del dominio all’istante iniziale, a prescindere dalla regolaritàdi ciascuno dei dati iniziali e al contorno. Consideriamo per esempioil problemau tt −c 2 u xx = 0, a < x < b,t > 0, (2.28)u(x,0) = u 0 (x), a < x < b, (2.29)u t (x,0) = u 1 (x), a < x < b, (2.30)u(a,t) = α(t), t > 0, (2.31)u(b,t) = β(t), t > 0. (2.32)Supponiamo di cercare soluzioni di classe C 2( [a,b] × [0, ∞) ) . Intanto èsubito ovvio che dovrà essereu 0 ∈ C 2( [a,b] ) , u 1 ∈ C 1( [a,b] ) , α, β ∈ C 2( [0, ∞) ) . (2.33)C 0 : Inoltre, se la soluzione è continua nella chiusura del suo dominio didefinizione, deve essereu 0 (a) = α(0), u 0 (b) = β(0). (2.34)C 1 : Imponiamoorala regolarità C 1 : su x = a, x = b e t = 0siègiàassuntanella (2.33) la corrispondente regolarità dei dati. Come si è visto per la(2.34), i dati si ‘sovrappongono’ nei due estremi dell’intervallo iniziale.Quindi si deve richiedereu 1 (a) = α ′ (0), u 1 (b) = β ′ (0). (2.35)La u x (a,0) (per esempio) si può in effetti determinare come u0 ′ (a), manon è possibile ottenerla in altro modo in termini dei dati, e quindi nonnascono qui altre questioni di compatibilità tra i dati (le cose stanno inmodo diverso se si considera il problema di Neumann).C 2 : Infine, occupiamoci delle condizioni che nascono dalla richiesta dellaregolarità C 2 . Prendiamo per cominciare un punto (x,0) ∈ (a,b) ×{0}.Qui deve valereu tt (x,0) = c 2 u xx (x,0) = c 2 u 0(x), ′′ (2.36)ossia la u tt è determinata in modo diretto dal dato iniziale. Si noti chequesta determinazione è indipendente dagli altri dati e quindi non possononascerne questioni di compatibilità tra i dati. Si prenda invece il punto(a,0). Qui, proprio per la (2.36), deve essereu tt (a,0) = c 2 u xx (a,0) = c 2 u ′′0(a).

2.8. COMMENTI E GENERALIZZAZIONI 23Però la u tt (a,0) si può ricavare anche dalla (2.31), come α ′′ (0). Siamoquindi condotti a imporre chec 2 u 0(a) ′′ = α ′′ (0), c 2 u 0(b) ′′ = β ′′ (0). (2.37)Segueinfine dai risultati delCapitolo 10 e delCapitolo 12 che sottoquesteipotesi la soluzione di (2.28)–(2.32) ha la regolarità voluta.2.8. Commenti e generalizzazioniOsservazione 2.6. Soprasièsempreassuntoche la e.d.p.fosseomogenea,ossiacon secondomembronullo; èfacile estendereledefinizionial casoincui siano presenti termini noti non nulli, detti anche funzioni sorgente. □Esercizio 2.7. Trovare la condizione necessaria per la risolubilità del problemadi NeumannRisposta∆u = g, in Ω,∂u∂ν = f ,su ∂Ω.□

Parte 2Il principio di massimo

CAPITOLO 3Alcune soluzioni espliciteIntroduciamo alcune soluzioni esplicite alle e.d.p. già incontrate.Le soluzioni a variabili separabili, e le loro combinazioni,giocheranno un ruolo importante nella teoria (metodo diFourier).Altre soluzioni illustrano in modo esplicito certe proprietà delleequazioni. Quando sia disponibile un principio di massimo,soluzioni esplicite possono essere usate come termini diconfronto.3.1. Soluzioni a variabili separabili nel caso unidimensionale3.1.1. Equazionedelleonde. Risolviamo l’equazionedelleondeperseparazionedelle variabili, ossia cerchiamone soluzioni della forma X(x)T(t).Si arriva subito aX(x)T ′′ (t)−c 2 X ′′ (x)T(t) = 0,da cui, supponendo XT ̸= 0, si passa, come visto sopra, aX ′′ (x)X(x) = T′′ (t)c 2 T(t)= −λ ∈ R.Con calcoli elementari si ottengono le soluzioni:λ < 0:λ = 0:λ > 0:X(x) = c 1 e√−λx+c 2 e −√ −λx ,T(t) = k 1 e√−λct+k 2 e −√ −λct .X(x) = c 1 x+c 2 ,T(t) = k 1 t+k 2 .X(x) = c 1 cos( √ λx)+c 2 sin( √ λx),T(t) = k 1 cos( √ λct)+k 2 sin( √ λct).Si può verificare per sostituzione diretta che queste funzioni sono soluzionivalide in tutto il piano, dette soluzioni elementari. •27

28 DANIELE ANDREUCCI3.1.2. Equazione del calore. Per l’equazione del calore, se si cercano soluzioninella forma X(x)T(t), esse devono soddisfareda cui subito, supponendo XT ̸= 0,X(x)T ′ (t)−DX ′′ (x)T(t) = 0,X ′′ (x)X(x) = T′ (t)= −λ ∈ R,DT(t)proprio come sopra. Si ottengono le soluzioni:λ < 0:λ = 0:λ > 0:X(x) = c 1 e√ −λx+c 2 e −√ −λx ,T(t) = k 1 e −λDt .X(x) = c 1 x+c 2 ,T(t) = k 1 .X(x) = c 1 cos( √ λx)+c 2 sin( √ λx),T(t) = k 1 e −λDt .Siverificachequestesoluzionielementari risolvonolae.d.p.intuttoilpiano.Soluzioni non identicamente nulle, che si annullano agli estremi di unintervallo limitato, si hanno solo per λ > 0. Soluzioni che soddisfinocondizioni di Neumann nulle agli estremi di un intervallo limitato, manon siano identicamente nulle, si hanno solo per λ ≥ 0. •3.1.3. Equazione di Laplace. Per l’equazione di Laplace le soluzioni nellaforma X(x)Y(y) devono soddisfareda cui se XY ̸= 0,Segue:λ < 0:λ = 0:λ > 0:X ′′ (x)Y(y)+X(x)Y ′′ (y) = 0,X ′′ (x)X(x) = (y)−Y′′Y(y)X(x) = c 1 e√−λx+c 2 e −√ −λx ,= −λ ∈ R.Y(y) = k 1 cos( √ −λy)+k 2 sin( √ −λy).X(x) = c 1 x+c 2 ,Y(y) = k 1 y+k 2 .X(x) = c 1 cos( √ λx)+c 2 sin( √ λx),Y(y) = k 1 e√λy+k 2 e −√ λy .

3.2. PASSAGGIO A COORDINATE POLARI 29Queste soluzioni risolvono l’equazione in tutto il piano; ora la scelta dellesoluzioni che soddisfano certe condizioni al bordo dipende dalla formadel bordo medesimo (x =costante, o y =costante). •3.2. Passaggio a coordinate polariIl passaggio a coordinate polari ha senso nel piano delle coordinate spaziali(x,y); noi ci limitiamo a considerarlo per l’equazione di Laplace, persemplicità.Sia dunquev(r, ϕ) = u(rcos ϕ,rsin ϕ) (3.1)la rappresentazione in coordinate polari di una funzione u ∈ C 2 (R 2 ).Come è noto il passaggio a coordinate polari introduce certe difficoltà,per esempio in r = 0 si perde la biunivocità della trasformazione. Perchiarezza, osserviamo in dettaglio chev ∈ C 2( (0, ∞)×[−π, π] ) ,e che le derivate prime e seconde di v si mantengono limitate anche perr → 0. Infatti( ) ( )cos ϕ −rsin ϕv r = ∇u· , vsin ϕ ϕ = ∇u· ,rcos ϕ( ) t ( ) ( ) t ( )cos ϕv rr = Dsin ϕ2 cos ϕ −rsin ϕu , vsin ϕ ϕϕ = Drcos ϕ2 −rsin ϕu .rcos ϕInoltre, dalla (3.1),v(0, ϕ) = u(0,0), − π ≤ ϕ ≤ π, (3.2)v(r,−π) = v(r, π), r ≥ 0, (3.3)v ϕ (r,−π) = v ϕ (r, π), r ≥ 0, (3.4)v ϕϕ (r,−π) = v ϕϕ (r, π), r ≥ 0. (3.5)Tuttavia il gradiente e il laplaciano, espressi nelle coordinate polari, presentanodelle singolarità nell’origine (che qui e nel seguito intenderemonel senso di ‘origine nel piano (x,y)’, corrispondente al segmento {0}×[−π, π] nel piano (r, ϕ)). Si veda l’Appendice B. In particolare, per r > 0,∆u(rcos ϕ,rsin ϕ) = v rr (r, ϕ)+ 1 r v r(r, ϕ)+ 1 r 2v ϕϕ(r, ϕ) (3.6)(si valuti la (3.6) da un punto di vista dimensionale).È chiaro tuttavia che la singolarità nell’origine deve essere apparente, nelsenso chev rr (r, ϕ)+ 1 r v r(r, ϕ)+ 1 r 2v ϕϕ(r, ϕ) → ∆u(0,0), r → 0.Se la u è definita e di classe C 2 in un dominio diverso da tutto il piano, leconsiderazioni sopra valgono con le necessarie modifiche.

30 DANIELE ANDREUCCI3.2.1. Soluzioni a variabili separabili. Risolviamo l’equazionev rr (r, ϕ)+ 1 r v r(r, ϕ)+ 1 r 2v ϕϕ(r, ϕ) = 0 (3.7)per separazione delle variabili, ossia cerchiamo soluzioni dell’equazionedi Laplace della forma R(r)Φ(ϕ). Si arriva subito aR ′′ (r)Φ(ϕ)+ 1 r R′ (r)Φ(ϕ)+ 1 r 2R(r)Φ′′ (ϕ) = 0,da cui, supponendo RΦ ̸= 0, si passa ar 2R′′ (r) (r)R(r) +rR′ R(r) = − Φ′′ (ϕ)= −λ ∈ R, (3.8)Φ(ϕ)ove l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il valore comune dei duemembri precedenti non può dipendere né da r né da ϕ.La (3.8) dà il sistemaR ′′ (r)+ 1 r R′ (r)+ λ r2R(r) = 0, (3.9)Φ ′′ (ϕ)−λΦ(ϕ) = 0. (3.10)L’equazione per R è deltipo di Eulero, mentre quella per Φ è a coefficienticostanti.Con calcoli elementari si ottengono le soluzioni:λ < 0:λ = 0:λ > 0:R(r) = c 1 r√−λ+c 2 r −√ −λ ,Φ(ϕ) = k 1 cos( √ −λϕ)+k 2 sin( √ −λϕ).R(r) = c 1 +c 2 lnr,Φ(ϕ) = k 1 +k 2 ϕ.R(r) = c 1 cos( √ λlnr)+c 2 sin( √ λlnr),Φ(ϕ) = k 1 e√λϕ+k 2 e −√ λϕ .Si noti che la condizione RΦ ̸= 0 non è sempre verificata da queste soluzioni;tuttavia si può verificare per sostituzione diretta che esse dannosoluzioni valide in tutto r > 0, −π < ϕ < π.Osservazione 3.1. (Soluzioni in corone circolari)Lesoluzionichecorrispondonoa funzioni regolari u(x,y), definite in corone circolari centratenell’origine, devono soddisfare le condizioni di periodicità (3.3)–(3.5) datesopra. Questo seleziona, tra tuttele soluzioni a variabili separabili trovate,lev(r, ϕ) = ( c 1 r n +c 2 r −n)( k 1 cos(nϕ)+k 2 sin(nϕ) ) , n = 1,2,3,... (3.11)v(r, ϕ) = c 1 +c 2 lnr. (3.12)Se poi vogliamo anche che la u corrispondente sia regolare nell’origine(vedi la (3.2)), dobbiamo prendere c 2 = 0 nelle (3.11), (3.12). □

3.3. L’EQUAZIONE DELLE ONDE O DELLA CORDA VIBRANTE 31Osservazione 3.2. (Soluzioni in settori di piano) Consideriamo β ∈(0,2π], e il settore di pianoLe funzioni della formaQ β := {(rcos ϕ,rsin ϕ) | r > 0,0 < ϕ < β}.corrispondono a soluzioni del problema(v(r, ϕ) = c 1 r π β π)sinβ ϕ , (3.13)∆u = 0, (x,y) ∈ Q β , (3.14)u(x,y) = 0, (x,y) ∈ ∂Q β . (3.15)In genere esistono anche altre soluzioni. Per esempio, se β = 2π, esisteanche la soluzionev(r, ϕ) = rsin ϕ,ossia u = y.□L’equazione3.3. L’equazione delle onde o della corda vibranteu tt −c 2 u xx = 0, (3.16)è un modello per la propagazione di onde in un mezzo unidimensionale,ove c > 0 è la velocità di propagazione delle onde, e u può assumere significatidiversi. Per esempio, se la (3.16) rappresentale piccole vibrazionidi una corda tesa, la u si interpreta come scostamento dalla posizione diriposo della corda. Il punto (x,t) ∈ R 2 varia in domini determinati dalparticolare problema al contorno che stiamo risolvendo.A differenza che nel caso dell’equazione del calore, o di Laplace, o dellastessa equazione delle onde in dimensione N > 1, per la (3.16) si riesce atrovare un’espressionerelativamente semplice che caratterizza tutte e solele soluzioni.Teorema 3.3. Sia u ∈ C 2 (Q) una soluzione di (3.16) in Q = (a,b)×(α, β).Allora esistono due funzioni f e g di una variabile, di classe C 2 , tali cheu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct), in Q. (3.17)Dimostrazione. Introduciamo la trasformazione di coordinateξ = x−ct, η = x+ct, (3.18)e definiamo v come la u riletta nelle nuove variabili, ossia( ξ + ηv(ξ, η) = u , −ξ + η ), u(x,t) = v(x−ct,x+ct). (3.19)2 2cSi noti che v è definita e C 2 nel rettangolo Q racchiuso dalle retteξ + η = 2a, ξ + η = 2b, −ξ + η = 2αc, −ξ + η = 2βc.Calcoli elementari mostrano che la validità di (3.16) in Q implicav ξη = 0, in Q. (3.20)•

32 DANIELE ANDREUCCIPoiché Q è normale rispetto ai due assi ξ ed η, segue da (3.20) chev(ξ, η) = f(ξ)+g(η), in Q, (3.21)con f e g funzioni di classe C 2 . Tornando alle variabili originali, si ottienela (3.17).□Osservazione 3.4. Più in generale il Teorema 3.3 vale in ogni aperto Q ilcui trasformato Q nelle (3.18) sia normale rispetto agli assi ξ ed η. □Proposizione 3.5. Le due funzioni f e g di (3.17) sono uniche nel senso che sevale ancheu(x,t) = ϕ(x−ct)+ψ(x+ct), (x,t) ∈ Q,allora esiste una costante K tale che f = ϕ+K, g = ψ−K.Dimostrazione. Oltre alla (3.21) si ha anchev(ξ, η) = ϕ(ξ)+ψ(η). (3.22)Derivando queste due eguaglianze prima in ξ e poi in η, si ha f ′ = ϕ ′e g ′ = ψ ′ . Dunque f = ϕ + K, g = ψ + C. Infine C = −K segueconfrontando ancora (3.21) e (3.22).□Osservazione 3.6. Si vede subito con il calcolo diretto che ogni u nellaforma (3.17) risolve l’equazione (3.16).□Esercizio 3.7. Supponiamo che l’equazioneAu xx +Bu xt +Cu tt +Du x +Eu t +Fu = 0,ove A, B, C, D, E, F ∈ R sono costanti non tutte nulle, ammetta tutte lesoluzioni nella forma (3.17), con c > 0 fissato e f, g ∈ C 2 (R) arbitrarie.Dimostrare che allora si tratta della (3.16), ossiaA = −c 2 C, B = D = E = F = 0.3.3.1. Armoniche. Nel caso dell’equazione della corda vibrante, per ciascunL > 0 fissato, le soluzioni elementari( nπ)[ ( nπ) ( nπ)]u(x,t) = sinL x k 1 cosL ct +k 2 sinL ct , (3.23)si dicono anche armoniche, o onde stazionarie. La frequenza dell’n-esimaarmonica è data daν n = c nπ 1L 2π = cn2L ,e la sua lunghezza d’onda ècν n= 2L n .L’armonica fondamentale è data da (n = 1)( π)[sinL x k 1 cos( πL ct )+k 2 sin( πL ct )],mentre le altre onde stazionarie si dicono armoniche superiori.Perogniondastazionariasidefiniscononodiipunti ¯xdi[0,L] oveu(¯x,t) ≡0. Si verifica subito che i nodi dell’n-esima armonica sono dati dagli n+1□

3.3. L’EQUAZIONE DELLE ONDE O DELLA CORDA VIBRANTE 33punti x i = iL/n, i = 0, ..., n. Il fatto che il luogo degli zeri di u simantienecostanteneltempospiegal’originedelladenominazionediondastazionaria.Esercizio 3.8. Si spieghi perché la soluzione in (3.23) non contraddice ilTeorema 3.3.□•

CAPITOLO 4Principi di massimoIl principio di massimo, in sostanza, fornisce una stima del massimo(o del minimo) di una soluzione in funzione dei dati, anchesenzaavertrovatonessunarappresentazionepiùomenoesplicitadella soluzione stessa.I principi di massimo hanno uso vastissimo sia nella teoria chenelle applicazioni.4.1. Principio di massimo per l’equazione di LaplaceIl principio di massimo nella sua formulazione più semplice stabilisce cheuna funzione che soddisfa una certa equazione o disequazione differenzialein un dominio assume il suo massimo sulla frontiera del dominio.Teorema 4.1. Sia u ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω), e sia ∆u ≥ 0 in Ω, ove Ω è aperto elimitato. AlloraDimostrazione. SiamaxΩu = maxu. (4.1)∂Ωv(x) = u(x)+εx 2 1 ,con ε > 0 arbitrario. Qui x 1 è la prima coordinata. Se v avesse un puntodi massimo ¯x in Ω si avrebbementre∆v(¯x) ≤ 0,∆v = ∆u+2ε ≥ 2ε > 0, in Ω.Quindi v non può assumere punti di massimo in Ω, ossiamaxΩu ≤ maxΩv = max v ≤ max∂Ω ∂Ω u+εξ2 ,se ξ = max ∂Ω |x 1 |. Per ε → 0 si ottiene la (4.1).□In realtà, sotto le ipotesi del Teorema 4.1 vale il seguente (migliore) risultato.Teorema 4.2. Principio di massimo forte. Sia u ∈ C(Ω) subarmonica inΩ. Allora per ogni x ∈ Ωu(x) ≤ maxu. (4.2)∂ΩSe poi esiste un x ∈ Ω tale che in (4.2) valga l’uguaglianza, u è costante su Ω.35

36 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Definiamo il sottoinsieme di ΩA = {x ∈ Ω | u(x) = M},M := maxu.ΩSe A = ∅, allora u assume il suo massimo solo su ∂Ω, e quindi la (4.2)è dimostrata con il segno stretto di disuguaglianza. Noi mostreremo chese A ̸= ∅, allora A = Ω, e quindi u è costante su Ω, completando così ladimostrazione del Teorema.Sia dunque ¯x ∈ A, e ȳ un altro arbitrario punto di Ω. Dobbiamo solodimostrare che anche ȳ ∈ A, cioè che u(ȳ) = M. Poiché Ω è un apertoconnesso, esiste una curva γ ⊂ Ω di estremi ¯x e ȳ. Definiamoρ = 1 dist(γ, ∂Ω) > 0;2allora è facile vedere che γ è contenuta nell’unione di un numero finitodi sfere B ρ (x i ) con x i ∈ γ, i = 1, ..., n, e tali che |x i − x i+1 | < ρ. Si puòsupporre che x 1 = ¯x.Dimostriamo ora che se u(z) = M, z ∈ Ω, allora u ≡ M in tutta la sferaB ρ (z) ⊂ Ω. Scegliamo un qualunque 0 < r < ρ. Si ha, visto che u èsubarmonica, per il Corollario 1.7,∫∫110 ≥ u(z)−σ N r N−1 u(x)dσ x =σ N r N−1 [u(z)−u(x)]dσ x∂B r (z)=∂B r (z)∫1σ N r N−1∂B r (z)[M−u(x)]dσ x ≥ 0.L’ultima disuguaglianza segue dalla definizione di M. Perciò l’integralesi annulla e, essendo l’integrando non negativo, si deve avere u ≡ M su∂B r (z). Per l’arbitrarietà di r segue in effetti u ≡ M in B ρ (z).Applicando questo risultato, si ha: u ≡ M su B ρ (¯x), perché ¯x ∈ A peripotesi. Poiché x 2 ∈ B ρ (¯x), segue che u(x 2 ) = M. Nello stesso modoallora, u ≡ M su B ρ (x 2 ), e quindi u(x 3 ) = M, e così via. Si dimostra cosìche u ≡ M su γ, e quindi che u(ȳ) = M, concludendo che ȳ ∈ A. □Corollario 4.3. Principio di minimo forte. Sia u ∈ C(Ω) superarmonicain Ω. Allora per ogni x ∈ Ωu(x) ≥ minu. (4.3)∂ΩSe poi esiste un x ∈ Ω tale che in (4.3) valga l’uguaglianza, u è costante su Ω.Dimostrazione. Basta osservare che, se u è superarmonica, allora −u èsubarmonica, e quindi applicare il Teorema 4.2 a −u. □Corollario 4.4. Sia u ∈ C(Ω) armonica in Ω. Allora per ogni x ∈ Ωmin∂Ωu ≤ u(x) ≤ maxu. (4.4)∂ΩSe poi esiste un x ∈ Ω tale che in una delle due relazioni di (4.4) valga l’uguaglianza,u è costante su Ω.In particolare queste conclusioni si applicano a soluzioni u ∈ C 2 (Ω))∩C(Ω) di∆u = 0.

4.2. APPLICAZIONI ALL’EQUAZIONE DI LAPLACE 374.2. Applicazioni al problema di Dirichlet per l’equazione di LaplaceVale il teoremaTeorema4.5. Seu 0 ∈ C(∂Ω), esisteun’unicasoluzionedel problemaPD L dellaSezione 2.2.Dimostrazione. Unicità: Date due soluzioni u 1 , u 2 , definiamo v = u 1 −u 2 . Basta allora applicare il Teorema 4.1 a v e −v per ottenere v ≡ 0 in Ω.L’esistenza si trova dimostrata nel caso particolare in cui Ω è un cerchionella Sezione 11.5; vedi anche la Sezione 11.2 per il caso in cui Ω è ilsemipiano.□Osservazione 4.6. Se il dato u 0 non è continuo su ∂Ω, ma solo continuoa tratti, esiste ancora una soluzione u ∈ C 2 (Ω) di PD L , unica nella classedelle soluzioni limitate su Ω. Per queste soluzioni vale ancora il principiodel massimo, nella forma u ≤ sup ∂Ωu 0 in Ω.□4.2.1. Dipendenza continua dai dati.Teorema 4.7. Sianou 1 e u 2 duesoluzioni di PD L , corrispondenti aduedati u 01 ,u 02 ∈ C(∂Ω). Alloramax|u 1 −u 2 | ≤ max |u 01−u 02 |. (4.5)Ω∂ΩDimostrazione. Segue subito dal Teorema 4.1 (principio di massimo).□4.2.2. Stime di soluzioni mediante il metodo delle soprasoluzioni. Volendoottenere maggiorazioni di u, quando la soluzione non può esserecalcolata in modo esplicito, si può fare uso del principio del confronto: se∆v ≤ 0, in Ω, (4.6)v(x) ≥ u 0 (x), su ∂Ω, (4.7)allora v ≥ u in Ω (questo segue da una semplice applicazione del principiodel massimo a v−u). Per questo funzioni v ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω) chesoddisfino le relazioni (4.6)–(4.7) si dicono soprasoluzioni.È pertanto utile disporre di un certo numero di soluzioni esplicite di (2.4).Per esempio in R 2v(x,y) = e αx sin(αy), v(x,y) = e αx cos(αy), ... α ∈ R,v(x,y) = 1, v(x,y) = x, v(x,y) = xy, v(x,y) = x 2 −y 2 ,e loro combinazioni lineari sono tutte soluzioni.Altresoluzioniesplicitesipossonoottenereincoordinatepolari; sisa(vediAppendice B) che in queste coordinate (r, ϕ)∆ f = 1 r∂∂r(r ∂f∂r)+ 1 r 2 ∂ 2 f∂ϕ 2 .Dunque si verifica subito che, per ogni α ∈ R, le funzioniv(x,y) = r α sin(αϕ),v(x,y) = r α cos(αϕ),•

38 DANIELE ANDREUCCIsono soluzioni in R 2 privato di una semiretta per l’origine. Vedi anche ilCapitolo 3.•4.3. Principio di massimo per l’equazione del caloreTeorema 4.8. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale cheu t −D ∆u ≤ 0, in Q ∗ T .AlloraDimostrazione. SiamaxQ Tu = max∂ p Q Tu. (4.8)v(x,t) = u(x,t)+εx 2 1 ,con ε > 0 arbitrario. Qui x 1 denota la prima coordinata. Se v avesse unpunto di massimo (¯x,¯t) in Q ∗ Tsi avrebbe∆v(¯x,¯t) ≤ 0, v t (¯x,¯t) = u t (¯x,¯t) ≥ 0,il che condurrebbe alla contraddizione (nel punto (¯x,¯t))0 ≤ v t −D ∆v = u t −D ∆u−2Dε ≤ −2Dε < 0.Quindi v non può assumere punti di massimo in Q ∗ T , ossiamaxQ Tu ≤ maxQ Tv = max∂ p Q Tv ≤ max∂ p Q Tu+εξ 2 ,se ξ = max ∂Ω |x 1 |. Per ε → 0 si ottiene la (4.1).□I seguenti corollari sono di derivazione immediata.Corollario 4.9. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale che u t − D ∆u ≥ 0 in Q ∗ T .AlloraminQ Tu ≥ min∂ p Q Tu. (4.9)Corollario 4.10. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale che u t − D ∆u = 0 in Q ∗ T .Alloramin∂ p Q Tu ≤ u(x,t) ≤ max∂ p Q Tu, per ogni (x,t) ∈ Q ∗ T . (4.10)Osservazione 4.11. In realtà vale anche per l’equazione del calore il principiodel massimo forte, nel senso che se, per u come in Corollario 4.10,esiste un (¯x,¯t) ∈ Q ∗ Ttale che in esso una delle disuguaglianze in (4.10)vale come uguaglianza, allora u è costantein Q¯t. Ladimostrazione diquestoteorema, che è più difficile di quella del corrispettivo Teorema 4.2 perl’equazione di Laplace, viene omessa.□

4.4. APPLICAZIONI ALL’EQUAZIONE DEL CALORE 394.4. Applicazioni al problema di Dirichlet per l’equazione del caloreVale il teoremaTeorema 4.12. Se u 0 ∈ C(∂ p Q T ), esiste un’unica soluzione di PD C .L’unicità si dimostra in modo simile al Teorema 4.5, oppure segue dalTeorema 4.14.Osservazione4.13. Seildatou 0 nonècontinuosu ∂ p Q T , masolocontinuoa tratti, esiste ancora una soluzione u ∈ C 2,1 (Q ∗ T ) di PD C, unica nellaclasse delle soluzioni limitate su Q T . Per queste soluzioni vale ancora ilprincipio del massimo, nella forma u ≤ sup ∂p Q Tu 0 in Q T . □4.4.1. Dipendenza continua dai dati.Teorema 4.14. Siano u 1 e u 2 due soluzioni di PD C , corrispondenti a due datiu 01 , u 02 ∈ C(∂ p Q T ). AlloramaxQ T|u 1 −u 2 | ≤ max∂ p Q T|u 01 −u 02 |. (4.11)Dimostrazione. Segue subito dal Teorema 4.8 (principio di massimo).□4.4.2. Stime di soluzioni mediante il metodo delle soprasoluzioni. Volendootteneremaggiorazionidiu(x,t),quandolasoluzionenonpuòesserecalcolata in modo esplicito, si può fare uso del principio del confronto:sev t −D ∆v ≥ 0, in Q ∗ T, (4.12)v(x,t) ≥ u 0 (x,t), su ∂ p Q T , (4.13)allora v ≥ u in Q T (questo segue da una semplice applicazione del principiodel massimo a v−u). Per questo funzioni v ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) chesoddisfino le relazioni qui sopra si dicono soprasoluzioni di PD C .È pertanto utile disporre di un certo numero di soluzioni esplicite di (2.9).Per esempiov(x,t) = e −α2 Dt sin(αx), v(x,t) = e −α2 Dt cos(αx), α ∈ R,v(x,t) = 1, v(x,t) = x, v(x,t) = x 2 +2Dt,elelorocombinazionilinearisonotuttesoluzioni. VediancheilCapitolo3.Esempio 4.15. Consideriamo il caso in cui Ω = (0, π),u 0 (x,t) = 1−2x∣1− π ∣ , 0 ≤ x ≤ π,t = 0,u 0 (x,t) = 0, x ∈ {0, π},t > 0.Dato che v = e −Dt sinx soddisfa (4.12), (4.13), si ottiene0 ≤ u(x,t) ≤ e −Dt sinx, 0 < x < π,0 < t.•□

40 DANIELE ANDREUCCIEsempio 4.16. Consideriamo il caso in cui Ω = (−π/2, π/2),u 0 (x,t) = 1, − π 2 ≤ x ≤ π ,t = 0,{2u 0 (x,t) = 0, x ∈ − π 2 , π },t > 0.2In questo caso il dato u 0 non è continuo. Definiamov(x,t) = Ce −α2 Dt cos(αx),con α ∈ (0,1), C > 0 da scegliere. Intanto è chiaro che v ≥ u 0 per t > 0 e|x| = π/2. Per ottenere v(x,0) ≥ u 0 (x,0) = 1, occorre che(min Ccos(αx) = Ccos α π )1≥ 1, cioè C = ( ) .|x|≤ π 22cos α π 2Pertanto0 ≤ u(x,t) ≤ e −α2 t cos(αx)( ) , − πcos 2 < x < π 2α π 2,0 < t.Si noti che qui la scelta di α ∈ (0,1) è arbitraria.□•4.5. Il lemma di Hopf per l’equazione di LaplaceLemma 4.17. (Hopf) Sia u : Ω → R regolare come richiesto alla soluzione diPN L . Se u soddisfa ∆u ≤ 0 in Ω, non è costante in Ω, e assume il minimo in¯x ∈ ∂Ω, allora ∂u∂ν(¯x) < 0. Questosein ¯x lafrontiera di Ω èabbastanza regolare,ossia se esiste una sfera aperta B ⊂ Ω, tale che ∂B∩∂Ω = {x}.(La dimostrazione viene omessa.)Si noti che la disuguaglianza non stretta ∂u∂ν(¯x) ≤ 0 è ovvia: il contenutodel lemma di Hopf sta proprio nella dimostrazione della disuguaglianzastretta. Un enunciato analogo vale se u soddisfa ∆u ≥ 0 in Ω, e assume ilmassimo in ¯x ∈ ∂Ω.Con questo risultato si può ottenere una dimostrazione del teorema diunicità (a meno di costanti additive) per soluzioni di PN L .4.6. Il lemma di Hopf per l’equazione del caloreLemma 4.18. (Hopf parabolico) Sia u : Q T → R regolare come richiesto allasoluzione di PN C . Se u soddisfa u t − D ∆u ≥ 0 in Q T , assume il minimo in(¯x,¯t), con ¯t > 0, ¯x ∈ ∂Ω, e non è costante in Q¯t, allora ∂u∂ν (¯x,¯t) < 0. Questose in ¯x la frontiera di Ω è abbastanza regolare, ossia se esiste una sfera apertaB ⊂ Ω, tale che ∂B∩∂Ω = {x}.(La dimostrazione viene omessa.)Si noti che la disuguaglianza non stretta ∂u∂ν (¯x,¯t) ≤ 0 è ovvia: il contenutodel lemma di Hopf sta proprio nella dimostrazione della disuguaglianzastretta. Un enunciato analogo vale se u soddisfa u t − D ∆u ≤ 0 in Q T , eassume il massimo per t > 0.

4.6. IL LEMMA DI HOPF PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 414.6.1. Stime di soluzioni mediante il metodo delle soprasoluzioni. Unafunzione v (regolare come la soluzione del problema PN C ) che soddisfav t −D ∆v ≥ 0, in Q T , (4.14)v(x,0) ≥ u 0 (x), x ∈ Ω, (4.15)D ∂v (x,t) ≥ f(x,t), x ∈ ∂Ω,0 < t < T, (4.16)∂νsi dice soprasoluzione di PN C , perchéTeorema 4.19. Se u risolve PN C , e v risolve (4.14)–(4.16), si ha v ≥ u in Q T .Dimostrazione. Sia w = v−u. Allora w soddisfaw t −D ∆w ≥ 0, in Q T ,w(x,0) ≥ 0, x ∈ Ω,D ∂w (x,t) ≥ 0, x ∈ ∂Ω,0 < t < T.∂νPer il principio di massimo, w deve assumere il minimo su ∂ p Q T . D’altraparte, se lo assumesse su un punto (¯x,¯t), con ¯t > 0, si dovrebbe avere∂w∂ν (¯x,¯t) < 0, per il Lemma 4.18, contro la condizione ∂w∂ν≥ 0. Perciò ilminimo è assunto per t = 0, ove w ≥ 0. Quindi w ≥ 0 su tutto Q T . □Osservazione 4.20. Il Teorema 4.19 implica subito un risultato di unicitàper PN C .□Esempio 4.21. Si consideri la soluzione u diu t −Du xx = 0, in (0,L)×(0,T), (4.17)u(x,0) = x, 0 ≤ x ≤ L, (4.18)−Du x (0,t) = 0, 0 < t < T, (4.19)Du x (b,t) = cos 2 t, 0 < t < T. (4.20)Allora, u nonpuòavereminimi omassimi su x = 0per t > 0, perillemmadi Hopf. Su x = L, si ha u x ≥ 0. Dunque u può assumervi un massimo,ma non un minimo; si noti che abbiamo bisogno del lemma di Hopf perescludere che il minimo possa essere assunto per t = (2k+1)π/2, k ∈ N,ove u x = 0. Perciò il minimo di u è assunto per t = 0, e anzi solo per(x,t) = (0,0), per il principio del massimo forte. Dunque u > 0 in ognialtro punto del suo dominio di definizione.□4.6.2. Dipendenza continua dal dato iniziale.Teorema 4.22. Siano u 1 e u 2 due soluzioni del problema di Neumann PN C .Supponiamo che il dato al bordo f coincida per le due soluzioni, mentre i datiiniziali siano due qualunque funzioni u 01 , u 02 ∈ C(Ω). Alloramax|u 1 −u 2 | ≤ max|u 01 −u 02 |. (4.21)Q T Ω•

42 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Per il Lemma 4.18 di Hopf parabolico il massimo, o ilminimo, della differenza w = u 1 −u 2 non possono essere presi sul bordo∂Ω per t > 0, perché ∂w∂ν= 0 su tale bordo. La (4.21) segue subito per ilprincipio del massimo.□•

Parte 3Il metodo di Fourier

CAPITOLO 5Metodo della separazione delle variabiliLe soluzioni di equazioni di evoluzione in cui la variabile tempoe quella spazio appaiono in fattori separati sono importanti pervari motivi: oltre a fornire esempi espliciti di soluzioni, possonoessere combinate in serie per esprimere ogni altra soluzione.Questo approccio, noto come metodo di Fourier, introduceinoltre le autofunzioni del laplaciano.5.1. Soluzioni a variabili separate5.1.1. Equazione del calore. Consideriamo una soluzione u dell’equazionedel calore, definita e regolare nel cilindro Q T , conossiaCerchiamo le soluzioni nella formaQ T = Ω×(0,T), (5.1)u t −D ∆u = 0, in Q T . (5.2)u(x,t) = X(x)T(t), (5.3)cosicché, sostituendo nella (5.2) e supponendo XT ̸= 0, si ottiene, per unacostante λ ∈ R opportuna,∆X(x)X(x)= T′ (t)DT(t)= −λ ∈ R,ove l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il valore comune di ∆X/Xe T ′ /DT non può dipendere né da t né da x.Quindi le soluzioni a variabili separabili dell’equazione del calore hannodi necessità la forma (5.3), coneT(t) = T(0)e −Dλt , t ≥ 0, (5.4)∆X = −λX, x ∈ Ω. (5.5)La costante λ deve essere la stessa in (5.4) e in (5.5).5.1.2. Equazionedelleonde. Consideriamounasoluzioneudell’equazionedelle onde, definita e regolare nel cilindro Q T come in (5.1), ossiau tt −c 2 ∆u = 0, in Q T . (5.6)45•

46 DANIELE ANDREUCCICerchiamo le soluzioni nella forma a variabili separabili (5.3), cosicché,sostituendo nella (5.6) e supponendo XT ̸= 0, si ottiene, per una costanteλ ∈ R opportuna,∆X(x)= T′′ (t)X(x) c 2 = −λ ∈ R,T(t)ove l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il valore comune di ∆X/Xe T ′ /c 2 T non può dipendere né da t né da x.Quindi, supponendoche λ > 0(vediTeorema5.7perquestaipotesi),lesoluzionia variabili separabili dell’equazione delle onde hanno di necessitàla forma (5.3), conT(t) = T(0)cos(c √ λt)+ T′ (0)c √ λ sin(c√ λt), t ≥ 0, (5.7)e X tale che valga (5.5). La costante λ deve essere la stessa in (5.7) e in(5.5). •Osservazione 5.1. Una funzione nella forma (5.3), (5.4), (5.5) risolve l’equazionedel calore (5.2) anche se si annulla in qualche punto di Q T ; questosegue dal calcolo diretto. Dunque l’ipotesi XT ̸= 0 che pure era statastipulata non è in realtà necessaria.Nello stesso modo, una funzione nella forma (5.3), (5.7), (5.5) risolve l’equazionedelle onde (5.6) anche se si annulla in qualche punto di Q T . □Osservazione5.2. UnavoltacheXèfissata,ivaloriinizialidiudipendonosolo da T(0), e da T ′ (0) nel caso dell’equazione delle onde. A sua voltaX dipende da λ, e dalle condizioni al contorno che vengono prescritte su∂Ω×(0,T). Non è affatto detto che una soluzione X di (5.5) esista perogni scelta di λ e delle condizioni al contorno.□Esercizio 5.3. Si determini per separazione delle variabili la soluzione delproblemaRispostau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = sin(3x), 0 < x < π.Esercizio 5.4. Si determini per separazione delle variabili la soluzione delproblemaQuiRispostau t −D ∆u = 0, x ∈ Ω,t > 0,u(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω,t > 0,u(x,0) = sin(x 1 )sin(2x 2 ), x ∈ Ω.Ω = {(x 1 ,x 2 ) | 0 < x 1 < π,0 < x 2 < π}.□□

5.2. AUTOFUNZIONI DEL LAPLACIANO 475.2. Autofunzioni del laplacianoNellaSezione5.1abbiamo chiaritochelapartedipendentedaltempodellesoluzioni a variabili separabili delle equazioni del calore e delle onde è insostanza elementare.Il fattore dipendente dalla variabile di spazio x ∈ R N non lo è affatto.Considereremo qui per esteso solo i due casi seguenti.Definizione 5.5. Si dice che la funzione ϕ, non identicamente nulla, ela costante λ ∈ R, sono rispettivamente un’autofunzione e il corrispondenteautovalore del problema di Dirichlet per il laplaciano in Ω se essesoddisfano∆ ϕ = −λϕ, in Ω, (5.8)ϕ = 0, su ∂Ω. (5.9)Definizione 5.6. Si dice che la funzione ϕ, non identicamente nulla, ela costante λ ∈ R, sono rispettivamente un’autofunzione e il corrispondenteautovalore del problema di Neumann per il laplaciano in Ω se essesoddisfano∆ ϕ = −λϕ, in Ω, (5.10)∂ϕ∂ν= 0, su ∂Ω. (5.11)Teorema 5.7. Tutti gli autovalori λ sono non negativi.In particolare λ = 0 è autovalore per il problema di Neumann, ma non per ilproblema di Dirichlet.Dimostrazione. Moltiplichiamo per ϕ l’equazione (5.8), o (5.10), e integriamoper parti (ossia applichiamo il teoremadella divergenza) ricordandochediv(ϕ∇ ϕ) = ϕ ∆ ϕ+|∇ ϕ| 2 .Si ottiene∫−λΩ∫ϕ 2 dx =Ω∫ϕ ∆ ϕdx = −Ω∫|∇ ϕ| 2 dx+∂Ωϕ ∂ϕ∂ν dσ.In ciascuno dei due casi nelle due Definizioni 5.5, e 5.6, il termineϕ ∂ϕ∂νsi annulla su ∂Ω per (5.9) o (5.11). Dunque si haλ =∫Ω |∇ ϕ|2 dx∫Ω ϕ2 dxSe λ = 0 è un autovalore, da (5.12) segue chee dunque che ϕ è costante in Ω.∇ ϕ(x) = 0, x ∈ Ω,□□≥ 0. (5.12)

48 DANIELE ANDREUCCINel caso del problema di Neumann, è immediato infatti verificare cheλ = 0 è autovalore corrispondente a ϕ = C, C ̸= 0.Nelcaso delproblema diDirichlet, invece, poiché vale la (5.9), si dovrebbeavere ϕ ≡ 0 in Ω, contro l’ipotesi che ϕ non sia identicamente nulla. □Teorema 5.8. Siano ϕ i , λ i , i = 1, 2, due coppie di autofunzione e relativo autovalore,entrambe per lo stesso problema, di Dirichlet o di Neumann.Allora, se λ 1 ̸= λ 2 , vale∫ϕ 1 ϕ 2 dx = 0. (5.13)Dimostrazione. Visto cheda (1.40) segue∫0 =da cui la tesi.ΩΩϕ i∂ϕ j∂ν = 0,∫(ϕ 1 ∆ ϕ 2 − ϕ 2 ∆ ϕ 1 ) = (λ 1 − λ 2 )Ωϕ 1 ϕ 2 ,Osservazione5.9. IlTeorema5.8vaconfrontatoconl’analogorisultatopergli autovettori di una matrice simmetrica. Anche la (5.13) prende il nomedi relazione di ortogonalità (vedi Sezione 7.2).□Osservazione 5.10. Dalle definizioni, segue subito che se ϕ è un’autofunzione,anche Cϕ lo è, per ogni C ̸= 0. Si può quindi sempre assumere,come faremo nel seguito salvo diverso avviso, che l’autofunzione soddisfi∫ϕ(x) 2 dx = 1. (5.14)ΩLa (5.14) si dice condizione di normalizzazione, e va confrontata con l’omonimacondizione per gli autovettori di una matrice quadrata. □Osservazione 5.11. Data una successione di autofunzioni linearmente indipendenti{ϕn } sipuòsempreassumereche essesianonormalizzate eortogonalidueadue,perfinoquellechecorrispondonoallostessoautovalore(vedi il Lemma 9.2).□Esercizio 5.12. Trovare tutte le autofunzioni (normalizzate) del problemadi Dirichlet per l’equazione di Laplace nell’intervallo (0,L). Risposta □Esercizio 5.13. Trovare tutte le autofunzioni (normalizzate) del problemadi Neumann per l’equazione di Laplace nell’intervallo (0,L). Risposta □5.3. Sviluppi in serie di autofunzioniÈ chiaro, per linearità, che una somma finita di soluzioni a variabili separabilidella forma (5.3) è ancora soluzione della stessa e.d.p., con le stessecondizioni omogenee al bordo. Sotto opportune condizioni di convergenza,anche la somma di una serie infinita di tali soluzioni è soluzione.□

Supponiamo dunque che5.3. SVILUPPI IN SERIE DI AUTOFUNZIONI 49u(x,t) =∞∑ α n (t)ϕ n (x), (5.15)n=1siaunasoluzionediquestotipo,ovele ϕ n sonoautofunzionidell’opportunoproblema per l’equazione di Laplace. Procedendo formalmente, ossiaassumendo che lo scambio di serie e integrale sia valido, si ha∫Ωu(x,t)ϕ m (x)dx =∞∑n=1∫α n (t)Ωϕ n (x)ϕ m (x)dx∫= α m (t)Ωϕ m (x) 2 dx = α m (t), (5.16)ove si è usata l’ipotesi (5.14), e si è anche assunto che∫ϕ n (x)ϕ m (x)dx = 0, n ̸= m, (5.17)Ωipotesi non irragionevole: il Teorema 5.8 anzi dimostra la (5.17) se le dueautofunzioni corrispondono ad autovalori diversi.Daquestocalcoloabbiamo imparatocheilcoefficiente α m coincide,amenodiunfattorecostante,conilprimointegralein(5.16); l’ipotesi(5.17)èstatacruciale.Cerchiamo di applicare questo tipo di approccio a problemi più generali.Consideriamo per definitezza il problema per l’equazione del calore condati di Dirichlet, e con una funzione sorgente F non nulla, ossiau t −D ∆u = F(x,t), x ∈ Ω,0 < t < T, (5.18)D ∂u (x,t) = 0,∂νx ∈ ∂Ω,0 < t < T, (5.19)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω. (5.20)Cerchiamo quindi di sviluppare la soluzione u in serie come in (5.15),ove le funzioni ϕ n sono autofunzioni del laplaciano, mentre i coefficientiα n sono da determinare. Non è affatto evidente in questa fase che siapossibile farlo, per la presenza del termine non omogeneo di sorgente.Definiamo intanto, per comodità di notazione, le seguenti funzioni, chesono note una volta assegnati i dati:∫F n (t) = F(x,t)ϕ n (x)dx.ΩPoi ricordiamo che la (5.16) è conseguenza diretta della (5.15), e dunquedeve valere anche in questo caso, per qualunque possibile scelta dellefunzioni α n .Cerchiamo pertanto di ottenere informazioni sul primo integrale nella(5.16); queste non possono che venire dalle (5.18)–(5.20). Moltiplichiamo

50 DANIELE ANDREUCCIla (5.18) per ϕ n e usiamo l’identità di Green (1.40), ottenendo∫ ∫α ′ n(t) = u t (x,t)ϕ n (x)dx = D ∆u(x,t)ϕ n (x)dx+F n (t)Ω∫∫= D u(x,t) ∆ ϕ n (x)dx+DΩΩ∂Ω(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t).∂ν(5.21)Si tratta ora di imporre condizioni adatte su ϕ n per portare a termine ilnostro programma. Dato che le ϕ n sono autofunzioni, si ha per opportuniλ n ∈ R∆ ϕ n = −λ n ϕ n , x ∈ Ω, (5.22)e la (5.21) si riduce a∫∫α ′ n(t) = −Dλ n u(x,t)ϕ n (x)dx+DΩ∫= −Dλ n α n (t)+D∂Ω∂Ω(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t)∂ν(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t).∂ν(5.23)Questa uguaglianza sarebbe una e.d.o. nell’incognita α n , se non fosse perl’integrale di frontiera, che appare non esprimibile in modo semplice intermini della stessa incognita. Però abbiamo ancora un grado di libertànella scelta di ϕ n , ossia le condizioni al bordo.Si noti che in realtà nell’integrale su ∂Ω contenuto nella (5.23), si haϕ n∂u∂ν ≡ 0,per la (5.19). Quindi per annullare l’integrale basterà assumere∂ϕ n(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (5.24)∂νossia che ϕ n sia un’autofunzione del problema di Neumann. Siamo arrivatialla e.d.o.α ′ n(t) = −Dλ n α n (t)+F n (t). (5.25)La determinazione di α n risulta completa quando ricordiamo che devevalere la (5.20), per cui si avrà∫α n (0) = u 0 (x)ϕ n (x)dx. (5.26)ΩI problemi diCauchy (5.25)–(5.26) individuano i coefficienti della seriecherappresenta u, e quindi concludono, salvo la loro effettiva risoluzione, ilnostro metodo.Resta tuttavia una difficoltà piuttosto sottile, ma essenziale: gli argomentisvolti sopra dimostrano (con l’intesa che alcuni passaggi sarebbero ancorada rendere rigorosi) che la serie in (5.15) è una soluzione, se valgono(5.25)–(5.26). Non è invece chiaro che ogni soluzione possa essere rappresentatacome in (5.15). Considerando con attenzione la cosa, si vede

5.3. SVILUPPI IN SERIE DI AUTOFUNZIONI 51che questa difficoltà in realtà si presenta già al tempo iniziale: abbiamoassunto sopra che valgau 0 (x) =∞∑ α n (0)ϕ n (x), (5.27)n=1per un’opportuna successione {α n (0)} (che di fatto deve allora soddisfarela (5.26)). Quest’ipotesi è in genere falsa se non si fanno ipotesi ulteriorisulla successione di autofunzioni {ϕ n }.Come vedremo nel Capitolo 7 bisognerà richiedere che la {ϕ n } costituiscaun sistema ortonormale completo.Osservazione 5.14. Qualora la (5.19) venga sostituita dalla condizione diDirichletu(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω,t > 0, (5.28)con calcoli in tutto analoghi ai precedenti si vede che occorre sostituire incorrispondenza la (5.24) con laϕ n (x) = 0, x ∈ ∂Ω. (5.29)In altri termini, la corretta condizione al bordo per ϕ n coincide con quellaper u, il che è del resto naturale, in vista della (5.15). Si veda a questoproposito anche la Sezione 9.3.□

CAPITOLO 6Stime dell’energiaIlmetododell’energiaconsisteneltrovarestimediintegraliincuiappaiono la soluzione dell’e.d.p., e le sue derivate prime. È cosìchiamato perché tali integrali possono essere interpretati, da unpunto di vista modellistico, come misure dell’energia possedutadal sistema fisico modellato.La tecnica che useremo per ottenere queste stime, in sostanza, siriduce a moltiplicare la e.d.p. per la soluzione medesima (o peruna sua derivata), e integrare per parti.6.1. Equazione delle ondeConsideriamo funzioni z che soddisfinoz tt −c 2 ∆z = 0, in Q T . (6.1)Teorema 6.1. Sia z una soluzione di (6.1), e soddisfiVale alloraz(x,t) ∂z (x,t) = 0, (x,t) ∈ ∂Ω×(0,T). (6.2)∂ν∫Ωz(x,t) 2 dx ≤ e T2 { ∫Ω∫z(x,0) 2 dx+Ωz t (x,0) 2 dx}, (6.3)per ogni 0 ≤ t ≤ T.Dimostrazione. Fissiamo ¯t ∈ (0,T). Introduciamo la funzioneZ(x,t) =∫¯ttz(x, τ)dτ,53(x,t) ∈ Q¯t.

54 DANIELE ANDREUCCIMoltiplichiamo la (6.1) per Z e integriamo per parti su Ω × (0,¯t). Siottiene, osservando anche che Z t = −z,0 =∫¯t ∫0∫=tΩΩ[Zz tt −c 2 Z ∆z]dxdt[Z(x,t)zt (x,t) ] ∫¯tt=¯tt=0 dx+∫¯t−c 20∫¯t+c 20∫∂Ω∫Ω0∫Ω[Z(x,t)∂z∂ν (x,t)] dσdt[∫ ¯tt∇z(x, τ)dτOsserviamo ora che Z(x,¯t) = 0, e che[∫ ¯t ]∇z(x, τ)dτ ·∇z(x,t) = − 1 ∂2 ∂t∣Dunque∫0 = −Ω∫¯t−c 20Z(x,0)z t (x,0)dx+ 1 2∫∂Ω=: −J 0 (¯t)+ 1 2∫Ω]z(x,t)z t (x,t)dxdt·∇z(x,t)dxdτ.∫¯tz(x,¯t) 2 dx− 1 2[Z(x,t)∂z∂ν (x,t)] dσdt+ 1 2 c2 ∫∫Ωz(x,¯t) 2 dx− 1 2∫ΩtΩ∇z(x, τ)dτ∣∣∫¯t0∫Ω2.z(x,0) 2 dx∇z(x, τ)dτ∣z(x,0) 2 dx− J 1 (¯t)+ J 2 (¯t).Vale J 2 (¯t) ≥ 0, e, sotto le nostre ipotesi, J 1 (¯t) = 0. Segue, per le osservazioni7.5 e 7.6, che∫ ∫z(x,¯t) 2 dx ≤ z(x,0) 2 dx+2J 0 (¯t)ΩΩ∫≤Ω∫≤Ω∫z(x,0) 2 dx+Ω∫z(x,0) 2 dx+∫¯t=: K 0 + ¯t0∫ΩΩ∫z t (x,0) 2 dx+Ω∫z t (x,0) 2 dx+ ¯tz(x, τ) 2 dxdτ.Ω[∫ ¯t0∫¯t02dxz(x, τ)dτ] 2dxz(x, τ) 2 dτdx(6.4)

Dato che ¯t ∈ (0,T) è arbitrario, ponendola (6.4) implica la6.1. EQUAZIONE DELLE ONDE 55y(t) =∫ t ∫0Ωz(x, τ) 2 dxdτ,y ′ (t) ≤ K 0 +Ty(t), 0 < t < T,che come è noto (per esempio integrando per separazione delle variabili,e supponendo senza perdita di generalità K 0 > 0) permette di ricavaree dunqueln K 0+Ty(t)K 0≤ Tt,K 0 +Ty(t) ≤ K 0 e T2 0 < t < T. (6.5)Usando la (6.5) nella (6.4) si ottiene infine la (6.3). □Teorema 6.2. Sia z come nel Teorema 6.1. Vale allora∫ ∫1z t (x,t) 2 dx+ c2|∇z|(x,t) 2 dx =2 2Ωper ogni 0 ≤ t ≤ T.Ω∫12Ωz t (x,0) 2 dx+ c22∫Ω|∇z|(x,0) 2 dx. (6.6)Dimostrazione. Moltiplichiamo la (6.1) per z t e integriamo per parti suQ t . Si ottiene0 =∫ t ∫0= 1 2= 1 2Ω∫Ω∫t+c 2∫Ω[z τ z ττ −c 2 z τ ∆z]dxdτ[zt (x, τ) 2] ∫tτ=tτ=0 dx−c20∫t−c 2∫Ω0∫∂Ω∂ (∇z)(x, τ)·∇z(x, τ)dxdτ∂τ[zt (x, τ) 2] τ=t c2dx+τ=0 20∫∂Ω∫Ω[zτ (x, τ) ∂z∂ν (x, τ)] dσdτ.Da qui e dall’ipotesi (6.2) segue la tesi.[zτ (x, τ) ∂z∂ν (x, τ)] dσdτ[|∇z(x, τ)|2 ] τ=tτ=0 dxOsservazione 6.3. Le dimostrazioni in questo paragrafo suppongono chez ∈ C 2 (Q T ). Questa ipotesi di regolarità può essere indebolita con latecnica usata nella dimostrazione del Teorema 6.5. □□

56 DANIELE ANDREUCCI6.1.1. Applicazioni ai problemi al contorno.Teorema 6.4. (Unicità) Siano u 1 , u 2 ∈ C 2 (Q T )∩C 1 (Q T ) entrambe soluzionidi PN O , o entrambe soluzioni di PD O . Allora u 1 = u 2 .Dimostrazione. Poniamo z = u 1 −u 2 , e applichiamo a z il Teorema 6.1.Si ottiene ∫z(x,t) 2 dx ≤ 0,per ogni 0 ≤ t ≤ T, e dunque z = 0 in tutto Q T .Cosideriamo soluzioni diΩ6.2. Stime per l’equazione del calorez t −D ∆z = 0, in Q T . (6.7)Teorema 6.5. Sia z una soluzione di (6.7), tale che valga (6.2). Assumiamo laregolarità z ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T), e z ∈ C 1( Ω×(0,T] ) .Allora vale per ogni 0 ≤ t ≤ T,∫ ∫∫1z(x,t) 2 dx+D |∇z(x, τ)| 2 dxdτ = 1 ∫z(x,0) 2 dx. (6.8)22Ω Q t ΩDimostrazione. Per motivi di regolarità (cioè per essere sicuri che tuttigli integrali siano definiti) procediamo approssimando Q t con dei cilindricontenuti nell’interno parabolico, ossia conQ ε,θt = Ω ε ×(θ,t),ove ε, θ > 0 sono abbastanza piccoli, e Ω ε è un’approssimazione di Ωdall’interno, ossiaΩ ε = {x ∈ Ω | dist(x, ∂Ω) > ε}.Moltiplichiamo (6.7) per z e integriamo per parti in Q ε,θt∫∫0 = [zz τ −zD ∆z]dxdτ = 1 ∫z(x,t) 2 dx− 1 ∫2 2Ω εQ ε,θt∫ t+θ∫∂Ω εz(x, τ)D ∂z∂ν (x, τ)dσdτ+D ∫∫Q ε,θtΩ εz(x, θ) 2 dx|∇z(x, τ)| 2 dxdτ.Mandiamo ora ε → 0, ottenendo, visto che z e ∇z sono continue fino sulbordo laterale di Q T , almeno per t > 0,∫12Ω∫ tz(x,t) 2 dx+D= 1 2∫Ωθ∫Ω∫ tz(x, θ) 2 dx−θ|∇z(x, τ)| 2 dxdτ∫∂Ωz(x, τ)D ∂z∂ν (x, τ)dσdτ = 1 ∫z(x, θ) 2 dx,2Ω□•

6.2. STIME PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 57ove si è usata anche la (6.2).Infine, ricordando che z è continua nella chiusura di Q T si può prendereθ → 0 e ottenere la tesi (6.8).□6.2.1. Applicazioni ai problemi al contorno.Teorema 6.6. (Unicità) Siano u 1 e u 2 nella stessa classe di regolarità di z nelTeorema 6.5, e siano entrambe soluzioni di PN C , o entrambe soluzioni di PD C .Allora u 1 = u 2 .Dimostrazione. Se u 1 , u 2 sono due soluzioni, allora z = u 1 −u 2 soddisfale ipotesi del Teorema 6.5, con z(x,0) ≡ 0. Ne segue che∫z(x,t) 2 dx = 0, per ogni 0 < t ≤ T,provando così che z ≡ 0 in Q T .ΩSi intende nel Teorema 6.6 che i dati iniziali e al contorno per le due u isiano i medesimi. Ammettendo che i dati iniziali possano essere diversi,si haTeorema 6.7. (Dipendenza continua dai dati) Siano u 1 e u 2 come nelTeorema 6.6, ove si ammette che i dati iniziali u 01 e u 02 possano differire. Allora∫∫|u 1 (x,t)−u 2 (x,t)| 2 dx ≤ |u 01 (x)−u 02 (x)| 2 dx, 0 < t ≤ T. (6.9)ΩΩDimostrazione. La (6.9) è una conseguenza immediata di Teorema 6.5.□Osservazione 6.8. Con riferimento alla Sezione 2.6 delCapitolo 2, nel precedenterisultato di dipendenza continua la distanza tra soluzioni, e dati,è quella definita dagli integrali in (6.9).□6.2.2. Il caso di equazioni con sorgente non nulla. Consideriamo il casoin cui l’equazione contenga un termine noto diverso da zero, cioè il casoin cui (6.7) sia sostituita daValez t −D ∆z = F(x,t), in Q T . (6.10)Teorema 6.9. Sia z regolare come in Teorema 6.5, soluzione della (6.10), ove siassume che F sia integrabile e limitata in Q T . Supponiamo anche che z soddisfi lacondizione (6.2).Vale allora per ogni 0 ≤ t ≤ T∫Ωz(x,t) 2 dx ≤ e t { ∫Ω∫ tz(x,0) 2 dx+0∫ΩF(x, τ) 2 dxdτ}□. (6.11)•

58 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Possiamo limitarci al caso in cui z ∈ C 2,1 (Q T ); nel casogenerale si ragiona come nella dimostrazione del Teorema 6.5.Moltiplichiamo la (6.10) per z, e procediamo come nel Teorema 6.5. Siottiene∫12Ω∫∫z(x,t) 2 dx+DQ t|∇z(x, τ)| 2 dxdτ= 1 2∫Ω∫ tz(x,0) 2 dx+da cui, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz0∫ΩF(x, τ)z(x, τ)dxdτ,si haFz ≤ F22 + z22 ,∫∫z(x,t) 2 dx ≤∫ tz(x,0) 2 dx+∫F(x, τ) 2 dxdτΩΩ0Ω∫ t+∫z(x, τ) 2 dxdτ. (6.12)0ΩDefinendola (6.12) implica lay(t) =∫ t ∫0 Ωz(x, τ) 2 dxdτ,ovey ′ (t) ≤ K 0 +y(t), 0 < t < T,∫K 0 = z(x,0) 2 dx+Ω∫ T ∫0ΩF(x, τ) 2 dxdτ.Ragionando come nella dimostrazione del Teorema 6.1, si arriva aK 0 +y(t) ≤ K 0 e T 0 < t < T. (6.13)Sostituendola (6.13) nella (6.12) siottieneinfine la (6.11). Infattiil secondoestremo T nell’integrale di F 2 può in realtà, nella dimostrazione, esserefissato ad arbitrio, per esempio uguale a ¯t, ragionando per 0 < t < ¯t. Inquesto modo si perviene alla (6.11) scritta per t = ¯t, da cui appunto la tesiper l’arbitrarietà di ¯t.□•

Consideriamo soluzioni di6.4. COMMENTI E GENERALIZZAZIONI 596.3. Stime per l’equazione di Laplace∆z = 0, in Ω. (6.14)Teorema 6.10. Sia z una soluzione di (6.14). Vale allora∫ ∫|∇z(x)| 2 dx = z ∂z dσ. (6.15)∂νΩDimostrazione. Un’applicazione del teorema della divergenza dà∫ ∫ ∫0 = z ∆zdx = − |∇z| 2 dx+ z ∂∂ν zdσ,da cui la tesi.Segue subitoΩCorollario 6.11. Sia z come in Teorema 6.10, e si abbia ancheVale alloraΩ∂Ω6.3.1. Applicazioni ai problemi al contorno.∂Ωz(x) ∂z (x) = 0, x ∈ ∂Ω. (6.16)∂ν∫Ω|∇z(x)| 2 dx = 0. (6.17)Teorema 6.12. (Unicità) Siano u 1 , u 2 entrambe soluzioni di PN L . Allorau 1 −u 2 è costante in Ω.Se sono invece entrambe soluzioni di PD L , allora u 1 = u 2 .Dimostrazione. Si applica il Corollario 6.11, e si ottiene∫|∇(u 1 −u 2 )| 2 dx = 0,Ωossia che ∇(u 1 −u 2 ) ≡ 0 in Ω, da cui u 1 −u 2 costante in Ω, essendo Ωconnesso.Nelcasoche u 1 e u 2 risolvano ilproblemadiNeumann,nonpossiamodiredi più. Se tuttavia u 1 e u 2 risolvono il problema di Dirichlet, allora u 1 −u 2si annulla sulla frontiera ∂Ω, e quindi deve essere nulla in tutto Ω. □6.4. Commenti e generalizzazioniOsservazione 6.13. Le (6.6), (6.8) e (6.15) sono tutte uguaglianze, comeanche la (6.17). Tuttavia, in situazioni appena più generali, l’applicazionedelle idee usate sopra conduce in effetti a disuguaglianze.Per esempio, se z ≥ 0 risolvez t −D ∆z ≤ 0,□•

60 DANIELE ANDREUCCIsi può vedere che la (6.8) continua a valere in una versione ove il segnodi uguaglianza è sostituito da ≤. La stessa cosa si può dire se z è unasoluzione di (6.7), con condizioni al bordoD ∂z (x,t) = −αz(x,t), (x,t) ∈ ∂Ω×(0,T), (6.18)∂νcon α > 0 (condizioni al contorno del terzo tipo, o di Robin). □Esercizio 6.14. Spesso si cercano, nel caso di problemi evolutivi, stimeindipendenti dal tempo. Si dimostri che la (6.8) conduce a∫ ∫∫sup z(x,t) 2 dx+D |∇z(x,t)| 2 dxdt ≤ 3 ∫z(x,0) 2 dx.0≤t≤T2Q TΩOsservazione 6.15. Altreapplicazioni delmetododell’energiasonoaccennatenel Capitolo 18; vedi anche la Sottosezione 11.3.1. □Ω□

CAPITOLO 7Sistemi ortonormaliIntroduciamo la teoria dei sistemi ortonormali che ci è necessariaper le applicazioni alle e.d.p..Questo viene fatto nell’ambito di un opportuno spazio vettorialeicuielementisonofunzioni, piuttostochepuntidi R N ; l’analogiacon gli spazi vettoriali elementari è comunque notevole, anche senon completa.Notazione 7.1. In questo capitolo le funzioni, salvo diverso avviso, sonosempre assunte essere in L 2 (I) (vedi Sezione A.3). Identificheremo duefunzioni f e g uguali quasi ovunque, ossia tali che∫|f(x)−g(x)| 2 dx = 0.I7.1. Prodotto scalare di funzioniDefinizione 7.2. Il prodotto scalare di due funzioni f e g è definito da∫(f,g) = f(x)g(x)dx.La norma di una funzione f è‖f‖ =I√(f, f) =( ∫If(x) 2 dx) 1/2.□Questa norma si dice anche la norma di f in L 2 (I), o norma L 2 di f (vediAppendice A).Infine si definisce distanza di f e g la quantità‖f −g‖ =( ∫I|f(x)−g(x)| 2 dx) 1/2.Il prodottoscalare godedelle elementariproprietàdel prodottoscalare travettori:(f,g) = (g, f)(simmetria),(c 1 f 1 +c 2 f 2 ,g) = c 1 (f 1 ,g) +c 2 (f 2 ,g) (linearità),(f, f) ≥ 0, e (f, f) = 0 ⇔ f ≡ 0Qui le c i sono costanti reali.61(positività).□

62 DANIELE ANDREUCCIOsservazione 7.3. L’implicazione presente nella proprietà di positività vaintesa nel senso dell’identificazione spiegata nelle osservazioni all’iniziodel Capitolo.□Due proprietà ancora elementari, ma che richiedono una dimostrazione,sono contenute nel seguente lemma.Lemma 7.4. Valgono la disuguaglianza di Cauchy-Schwarze la disuguaglianza triangolare|(f,g)| ≤ ‖f‖‖g‖, (7.1)‖f +g‖ ≤ ‖f‖+‖g‖. (7.2)Dimostrazione. La dimostrazione usa solo le proprietà elementari vistesopra. Per dimostrareentrambe le disuguaglianze possiamo assumerechesia f che g non siano identicamente nulle, altrimenti la tesi è ovvia.Anzitutto si ha0 ≤ (f −g, f −g) = ‖f‖ 2 −2(f,g) +‖g‖ 2 , (7.3)da cui|(f,g)| ≤ 1 2(‖f‖ 2 +‖g‖ 2) (7.4)(per ottenere il valore assoluto cambiare f in −f). Applichiamo questadisuguaglianza a f/‖f‖, g/‖g‖, ottenendo( ∥∥∥∥1‖f‖‖g‖ |(f,g)| ≤ 1 f22 ‖f‖ ∥ +g) 2 ∥‖g‖∥ = 1+1 = 1;2la (7.1) segue subito.Poi si ha, usando (7.1),‖f +g‖ 2 = (f +g, f +g) = ‖f‖ 2 +2(f,g) +‖g‖ 2≤ ‖f‖ 2 +2‖f‖‖g‖+‖g‖ 2 =(‖f‖+‖g‖) 2,ossia la (7.2).□Osservazione 7.5. Per le definizioni di norma e prodotto scalare, la disuguaglianza(7.1) coincide con∫( )1 ∫ 2( ∫ 2 f(x)g(x)dx∣ ∣ ≤ f(x) 2 dx g(x) dx)1 2 . (7.5)II IIn particolare, se I è limitato,∫I|f(x)|dx ≤ ( misura(I) )1 2( ∫If(x) 2 dx)12. (7.6)□

7.1. PRODOTTO SCALARE DI FUNZIONI 63Osservazione 7.6. L’idea (7.3) è esattamente la stessa che si applica perdimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per numeri reali α, β:che implicaper ogni α, β ∈ R e ε > 0.0 ≤ (α− β) 2 = α 2 −2αβ+β 2 , (7.7)αβ = √ εα× β √ ε≤ ε α22 + β22ε , (7.8)□Corollario 7.7. Vale∣∣‖f‖−‖g‖ ∣ ≤ ‖f −g‖. (7.9)Dimostrazione. Usando la (7.2)‖f‖ ≤ ‖f −g‖+‖g‖,‖g‖ ≤ ‖f −g‖+‖f‖,da cuiossia la (7.9).−‖f −g‖ ≤ ‖f‖−‖g‖ ≤ ‖f −g‖,□Seguesubitochela convergenzain L 2 implica la convergenzadellenorme:Corollario 7.8. Se valeallora vale anchelim ‖f n − f‖ = 0, (7.10)n→∞lim ‖f n‖ = ‖f‖.n→∞Dimostrazione. Basta osservare che, per il Corollario 7.7,∣∣‖f n ‖−‖f‖ ∣ ≤ ‖f n − f‖.Un’altra osservazione importante è data dal seguenteCorollario 7.9. Se vale f n → f in L 2 (I), cioè se vale la (7.10), allora vale anchelim (f n,g) = (f,g),n→∞per ogni g ∈ L 2 (I). In particolare, se la serie ∑F n converge in L 2 (I), alloraDimostrazione. Infatti( ∞ ) ∞∑ F n ,g = ∑ (F n ,g).n=1 n=1|(f n ,g) −(f,g)| = |(f n − f,g)| ≤ ‖f n − f‖‖g‖ → 0.□□

64 DANIELE ANDREUCCI7.2. Funzioni ortogonali. Sistemi ortonormaliDefinizione 7.10. Due funzioni f e g si dicono ortogonali se∫(f,g) = f(x)g(x)dx = 0.Proposizione 7.11. Se le funzioniI{f 1 ,... , f n }sono ortogonali, e se ciascuna è non nulla, allora sono anche linearmente indipendenti.Dimostrazione. Se valen∑c i f i = 0, c i ∈ R,i=1segue, moltiplicando per f j , j ∈ {1,... ,n} fissato,n0 = ∑c i (f i , f j ) = c j (f j , f j ) = c j ‖f j ‖ 2 .i=1Dato che f j ̸= 0 per ipotesi, segue che c j = 0, per ogni j ∈ {1,... ,n}. □Corollario 7.12. Lo spazio L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale.Dimostrazione. Per semplicità svolgiamo la dimostrazione solo nel casoN = 1. Non è poi restrittivo considerare solo il caso in cui I è limitato.Infine, ci possiamo sempre ricondurre al caso in cui I = (−π, π), conopportune trasformazioni lineari affini di coordinate. Si consideri allorala successione f n (x) = cos(nx), per n ≥ 1. Si verifica subito che questasuccessioneèortogonale;quindi costituisce un sistemainfinito di funzionilinearmente indipendenti, per la Proposizione 7.11. □Definizione 7.13. Una successione (finita o infinita) {ϕ n } di funzioni sidice un sistema ortonormale se per ogni scelta di n e m vale{0, n ̸= m,(ϕ n , ϕ m ) =(7.11)1, n = m.La seguente Proposizione è in un certo senso un’inversa della Proposizione7.11.Proposizione 7.14. (Gram-Schmidt) Sia V ⊂ L 2 (I) generato da una successione(finita o no) di funzioni linearmente indipendenti {f n }. Allora V è anchegenerato dal sistema ortonormale {ϕ n } (conlostesso numerodi elementi di {f n })definito daoveψ 1 = f 1 ,ϕ n = ψ n, n ≥ 1, (7.12)‖ψ n ‖n−1ψ n = f n −∑i=1□□(f n , ϕ i )ϕ i , n ≥ 2. (7.13)

7.3. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI CON SISTEMI ORTONORMALI 65Dimostrazione. A) Dato che ciascun ψ n è definito come combinazionelineare a coefficienti non tutti nulli delle f i , non può essere 0, e quindile ϕ n sono ben definite (e in numero uguale alle f n per costruzione).L’ortonormalità del sistema {ϕ n } si verifica subito in modo diretto.B) Sia U il sottospazio di L 2 (I) generato dai ϕ n . Dato che ciascun ϕ n ècombinazione linearedelle f i ,risultaovviocheU ⊂ V. Viceversa,ciascunaf k risulta combinazione lineare delle ϕ 1 , ..., ϕ k , per la (7.13), e quindi valeanche V ⊂ U.□Ilprocedimentocheconducedall’assegnatasuccessione{f n }alsistemaortonormale{ϕ n } si dice procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.Esempio 7.15. (Polinomi di Legendre) Applicando il procedimento diGram-Schmidt alla successione{x n } ∞ n=0in (−1,1) si ottiene la successionedei polinomi di Legendre1P n (x) = √2 n n!n+ 1 2d ndx n(x2 −1) n , n = 0,1,2,3,... . (7.14)□7.3. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormaliSia {ϕ n } ∞ n=1un sistema ortonormale. Fissiamo una funzione f. Per ogniassegnato k > 0 naturale, vogliamo trovare la migliore approssimazionedi f con combinazioni lineari di ϕ 1 , ..., ϕ k . In altre parole, vogliamominimizzare la funzione∥ k ∥∥∥∥2 ∫k2Ψ(c 1 ,c 2 ,...,c k ) =∥ f − ∑ c n ϕ n =∣ f(x)− ∑ c n ϕ n (x)dx,∣n=1al variare dei parametri reali c n .Un calcolo esplicito, che usa (7.11), dàΨ(c 1 ,c 2 ,...,c k ) = ‖f‖ 2 −2Dunque il minimo di Ψ si ottiene perIk∑n=1n=1c n (f, ϕ n ) +k∑n=1c 2 n. (7.15)c n = (f, ϕ n ), n = 1,...,k. (7.16)Definizione 7.16. La funzioneS k (x) =k∑ (f, ϕ n ) ϕ n (x), x ∈ I.n=1si dice somma parziale di f relativa al sistema {ϕ n }.□Lo spazio L 2 (I) è uno spazio vettoriale; lo spazio delle combinazioni linearidi ϕ 1 , ..., ϕ k , è un suo sottospazio vettoriale V k . La funzione S k èquindi l’elemento di V k più vicino a f nel senso della distanza tra funzionisopra definita. Per questo si chiama a volte la proiezione di f su V k .

66 DANIELE ANDREUCCIDato che per ogni k vale (per (7.15), (7.16))si ha0 ≤ (f −S k , f −S k ) = ‖f‖ 2 −k∑n=1(f, ϕ n ) 2 , (7.17)Lemma7.17. Laserie ∑(f, ϕ n ) 2 èconvergente,evaleladisuguaglianzadiBessel∞∑ (f, ϕ n ) 2 ≤ ‖f‖ 2 . (7.18)n=1Proposizione 7.18. Se una stessa funzione f ∈ L 2 (I) ha due sviluppi in serie∞∞f = ∑ α n ϕ n = ∑ β n ϕ n ,n=1 n=1allora α n = β n per ogni n ≥ 1.Dimostrazione. Segue dal Corollario 7.9:( ) (α k = ϕ k , α n ϕ n = ϕ k ,∞∑n=1∞∑n=1β n ϕ n)= β k .7.3.1. Convergenza di sistemi ortonormali. Sia {ϕ n } ∞ n=1un sistema ortonormale.Certo ϕ n non può convergere nel senso di L 2 (I) (vedi SottosezioneA.3.1), perché altrimenti la successione ϕ n sarebbe di Cauchy nellanorma ‖·‖, mentre‖ϕ n − ϕ m ‖ 2 = (ϕ n , ϕ n ) −2(ϕ n , ϕ m ) +(ϕ m , ϕ m ) = 2 ̸→ 0.Invece, un qualunque sistema ortonormale infinito converge debolmente a zero: infattiper ogni f ∈ L 2 (I),∫f(x)ϕ n (x)dx∣ ∣ = |(f, ϕ n)| → 0;Il’ultima relazione di limite è un’ovvia conseguenza della disuguaglianza di Bessel. •7.4. Sistemi ortonormali completiDefinizione 7.19. Un sistema ortonormale si dice completo se e solo se,per ogni f, valelim ‖f −S k‖ = 0. (7.19)k→∞La (7.19) si scrive in modo equivalente come∞f = ∑ (f, ϕ n )ϕ n . (7.20)n=1Talvolta si indica anche la dipendenza da x, fermo restando il fatto che laserie converge nel senso di L 2 (I), ossia nel senso indicato da (7.19), e nonin quello puntuale:f(x) =∞∑ (f, ϕ n )ϕ n (x). (7.21)n=1□□

7.4. SISTEMI ORTONORMALI COMPLETI 67Esercizio 7.20. Si dimostri, usando la definizione, che ogni riordinamentodi un sistema ortonormale completo è ancora completo.Per riordinamento di {ϕ n } intendiamo una successione {ϕ k(n) }, ove k :N → N è biunivoca.□Osservazione 7.21. Dall’Esercizio 7.20 segueche la seriein (7.20) convergea f comunque la si riordini.□Dalla (7.17) segue subitoProposizione 7.22. Il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1è completo se e solo se perogni f vale l’identità di Parseval‖f‖ 2 =∞∑ (f, ϕ n ) 2 . (7.22)n=1Questa Proposizione è l’analogo, nello spazio delle funzioni, del teoremadi Pitagora.Diamo altri criteri di completezza di un sistema ortonormale.Corollario 7.23. A) Se il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1è completo, e se(f, ϕ n ) = (g, ϕ n )per ogni n ≥ 1, allora f = g.B) Viceversa, assegnato il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1 , se(f, ϕ n ) = (g, ϕ n ), per ogni n ≥ 1 =⇒ f = g,allora il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1 è completo.Dimostrazione. A) Si ha infatti, se {ϕ n } ∞ n=1 è completo,‖f −g‖ 2 =B) Per f fissata ad arbitrio, definiamo∞∑ (f −g, ϕ n ) 2 ∞ [2= ∑ (f, ϕ n ) −(g, ϕ n )]= 0.n=1 n=1g =∞∑(f, ϕ i )ϕ i .i=1È chiaro che, per l’ortonormalità del sistema,Quindi per l’ipotesiossia vale la (7.19).(g, ϕ n ) =∞∑(f, ϕ i )(ϕ i , ϕ n ) = (f, ϕ n ).i=1f = g =∞∑(f, ϕ i )ϕ i ,i=1□Questo risultato si può mettere in forma un po’ diversa: basta controllareil caso g = 0.

68 DANIELE ANDREUCCICorollario 7.24. A) Se il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1è completo, e se(f, ϕ n ) = 0per ogni n ≥ 1, allora f = 0.B) Viceversa, assegnato il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1 , se(f, ϕ n ) = 0, per ogni n ≥ 1 =⇒ f = 0,allora il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1 è completo.Dimostrazione. A) Segue subito dalla prima parte del Corollario 7.23,ponendovi g = 0.B) Scegliamo g 1 e g 2 ad arbitrio, e poniamo f = g 1 −g 2 . Assumiamo chevalga (g 1 , ϕ n ) = (g 2 , ϕ n ) per ogni n ≥ 1. Allora (f, ϕ n ) = 0 per ognin ≥ 1, e per l’ipotesi del presenteenunciato, deve valere f = 0. Ma questoimplica che g 1 = g 2 , e quindi abbiamo verificato le ipotesi della secondaparte del Corollario 7.23. Ne segue che il sistema {ϕ n } ∞ n=1 è completo. □Corollario 7.25. Il sistema ortonormale {ϕ n } ∞ n=1è completo se esolo se per ognif, g vale l’identità∞(f,g) = ∑ (f, ϕ n )(g, ϕ n ). (7.23)n=1Dimostrazione. La (7.23) implica subito la (7.22), e dunque la completezzadel sistema, per la Proposizione 7.22. Se viceversa vale la (7.22), siha4(f,g) = (f +g, f +g)−(f −g, f −g) =∞ {∑ (f +g, ϕn ) 2 −(f −g, ϕ n ) 2}n=1= 4∞∑n=1(f, ϕ n )(g, ϕ n ).Osservazione 7.26. Nella parte B) della dimostrazione del Corollario 7.23 abbiamo usatoil fatto che per un qualunque sistema ortonormale, anche non completo, la serie∞∑ (f, ϕ n ) ϕ nn=1ha comunque un limite in L 2 (I) (vedi Sottosezione A.3.1). Stante la completezza dellospazio L 2 (I), basta dimostrareche la successione delle ridotte è di Cauchy in L 2 (I). Infattiper k > h:‖S k −S h ‖ 2 =∥k∑n=h+1(f, ϕ n ) ϕ n∥ ∥∥∥∥ 2=k∑ (f, ϕ n ) 2 → 0,n=h+1se h → ∞, per la disuguaglianza di Bessel. Il sistema ϕ n è completo se questo limite èproprio f.□□

CAPITOLO 8Serie di Fourier in N = 1Definiamo i sistemi ortonormali completi in intervalli di R (o diR N ) che più usiamo nelle applicazioni. Si tratta di successioni difunzioni goniometriche.Dimostriamo poi che più la funzione approssimata è regolare,più è rapida la convergenza della serie di Fourier.Viceversa, per funzioni con discontinuità di salto si presenta ilfenomeno di Gibbs.8.1. Serie di Fourier in (−π, π)Consideriamo il sistema di funzioni in L 2 ((−π, π))1√2π,1√ πcos(x),1√ πsin(x),1√ πcos(2x), ... ,1√ πsin(2x), ... ,1√ πcos(nx), ...1√ πsin(nx), ...Questo è detto sistema di Fourier. È facile verificare con calcoli elementariche questo sistema è ortonormale, ossia che, scelte due funzioni ϕ e ψqualunque in esso, si ha(ϕ, ψ) = 1, se ϕ = ψ; (ϕ, ψ) = 0, se ϕ ̸= ψ.È più complesso dimostrare cheTeorema 8.1. Il sistema di Fourier è un sistema ortonormale completo.La dimostrazione verrà data nel Capitolo 16.Introduciamo il classico simbolismoove, per ogni n ≥ 1,a 0 = 12πS k (x) = a 0 +∫ π−πk∑n=1f(x)dx, a n = 1 πb n = 1 π∫ π−πa n cos(nx)+b n sin(nx), (8.1)∫ π−πf(x)sin(nx)dx.f(x)cos(nx)dx,Si noti che si pone S 0 (x) = a 0 . La S k coincide con l’analoga sommatoriaintrodotta sopra per sistemi ortonormali generali, a meno di una69

70 DANIELE ANDREUCCIridefinizione di k. In particolare‖f −S k ‖ = min{‖f − Σ k ‖ | Σ k ∈ F k}, (8.2)ove F k denota l’insieme di tutte le combinazioni lineari di 1 e di sin(nx),cos(nx), con 1 ≤ n ≤ k.8.2. Serie di soli seni o soli coseniPer la risoluzione di problemi al contorno per e.d.p. è importante averea disposizione sistemi ortonormali che soddisfano certe condizioni negliestremi dell’intervallo ove sono definiti; vedi anche la Sezione 5.3. Daquesto punto di vista il sistema di Fourier non risulta comodo, perchèi suoi componenti non hanno un comportamento ben definito in questosenso.Consideriamo i due sistemi di funzioni in (0, π):C =S ={ 1{√}∪√ 2π}π cos(nx) | n ≥ 1 ,{ √ 2π sin(nx) | n ≥ 1 }.Un calcolo elementare mostra che ciascuno dei due sistemi è ortonormalein (0, π). Gli sviluppi in serie relativi a C e a S sono, rispettivamente,e∞∑α 0 + α n cos(nx), α 0 = 1 πn=1∫ π0f(x)dx, α n = 2 π∫ π0f(x)cos(nx)dx,(8.3)∞∑ β n sin(nx), β n = 2 ∫ πf(x)sin(nx)dx. (8.4)πn=10Teorema 8.2. Ciascuno dei due sistemi ortonormali C e S è completo in (0, π).Dimostrazione. Basta svolgere le dimostrazioni per S, il caso di C essendodel tutto analogo. Sia g : (0, π) → R. Estendiamola in modo dispari a(−π, π) (si noti che si può sempre assumere g(0) = 0, per le osservazioniall’inizio del Capitolo 7). Denotiamo con f questa estensione, e costruiamonela serie di Fourier, come visto nella Sezione 8.1. Essendo f dispari,i coefficienti a n relativi alla proiezione sui coseni sono tutti nulli. Per lostesso motivo, i coefficienti b n si calcolano comeb n = 1 π∫ π−πf(x)sin(nx)dx = 2 π∫ π0g(x)sin(nx)dx = β n ,ove β n , definito in (8.4), è proprio il coefficiente relativo all’n-esima funzionedi S.

8.2. SERIE DI SOLI SENI O SOLI COSENI 71Dunque: le somme parziali ˜S k di g, relative a S, si riducono a quelle S k dif, relative al sistema di Fourier. Per cui∫ π|g(x)− ˜S k (x)| 2 dx =∫ π00∫ π|f(x)−S k (x)| 2 dx≤ |f(x)−S k (x)| 2 dx → 0, k → ∞.−πNe segue che S è completo in (0, π), in base alla Definizione 7.19.□Tutte le funzioni ϕ ∈ S soddisfanomentre per tutte le ψ ∈ C valeϕ(0) = ϕ(π) = 0, (8.5)ψ ′ (0) = ψ ′ (π) = 0. (8.6)Condizioni al bordo di tipo misto (vedi le (8.9), (8.10)) possono essereottenute considerando i due sistemi in L 2 ((0, π/2))˜C =˜S ={ 2√ cos ( (2n+1)x ) }| n ≥ 0 ,π{ 2√ sin ( (2n+1)x ) }| n ≥ 0 .πUn calcolo elementare mostra che ciascuno dei due sistemi è ortonormalein (0, π/2). Gli sviluppi in serie relativi a ˜C e a ˜S sono, rispettivamente,e∞∑ ˜α n cos(2n+1)x, ˜α n = 4 ∫ π 2n=0π0∞∑˜β n sin(2n+1)x, ˜β n = 4 ∫ π 2n=0π0f(x)cos(2n+1)xdx, (8.7)f(x)sin(2n+1)xdx. (8.8)Teorema8.3. Ciascunodeiduesistemiortonormali ˜C e ˜S ècompletoin(0, π/2).Dimostrazione. Basta svolgere le dimostrazioni per ˜C, il caso di ˜S essendodel tutto analogo. Sia g : (0, π/2) → R. Estendiamola a tutto (0, π)in modo dispari intorno a π/2. Denotiamo con f questa estensione, ecostruiamone la serie di soli coseni. Essendo f dispari intorno a π/2, ilcoefficiente α 0 si annulla. Per lo stesso motivo, i coefficienti α h , h ≥ 1, si

72 DANIELE ANDREUCCIcalcolano comeα h = 2 π= 2 π= 2 π= 2 π∫ π0∫ π 20∫ π 20∫ π 20f(x)cos(hx)dxf(x)cos(hx)dx+ 2 π∫ ππ2∫ πf(x)cos(hx)dxg(x)cos(hx)dx− 2 g(π−x)cos(hx)dxππ2g(x)cos(hx)dx− 2 π= [1−(−1) h ] 2 ππ∫20∫ π 2g(x)cos(hx)dx =0g(y)cos(hπ−hy)dy{0, h = 2n,˜α n , h = 2n+1.Dunque: le somme parziali ˜S k di g, relative a ˜C, si riducono a quelle S k dif, relative al sistema di coseni. Per cuiπ∫20|g(x)− ˜S k (x)| 2 dx =π∫20|f(x)−S k (x)| 2 dx≤∫ π0|f(x)−S k (x)| 2 dx → 0, k → ∞.Ne segue che ˜C è completo in (0, π/2), in base alla Definizione 7.19.Tutte le funzioni ϕ ∈ ˜S soddisfanoϕ(0) = 0, ϕ ′( π2□)= 0, (8.9)mentre per tutte le ψ ∈ ˜C vale( πψ ′ (0) = 0, ψ = 0. (8.10)2)8.3. Altri intervalliSia (a,b) un qualunque intervallo limitato, e sia f in L 2 ((a,b)). Possiamoricondurci al caso di una funzione g definita su (c,d) mediantecambiamenti di variabile del tipo( ξ − β)ξ = αx+β, a < x < b, g(ξ) = f , c < ξ < d.αQui α e β sono costanti reali, date daα = d−cb−a , β = bc−adb−a .

8.4. SVILUPPI DI FUNZIONI REGOLARI 73La g ha uno sviluppo in serie nel sistema ortonormale prescelto (nellavariabile ξ), che dà luogo a uno sviluppo per f quando vi si sostituiscaξ = αx+β. Sia {ϕ n } un sistema ortonormale in L 2 ((c,d)). Alloraψ n (x) = √ αϕ n (αx+β)è un sistema ortonormale in L 2 ((a,b)).Più in particolare si ha quanto segue.Riconducendusi al caso del sistema di Fourier in (−π, π) si ottiene ilsistema ortonormale completo in (a,b):√1b−a , √2b−a cos( n(αx+β) ) ,Qui√2b−a sin( n(αx+β) ) , n ≥ 1.α = 2πb−a , β = −b+a b−a π.Il sistema di soli coseni in (0, π) dà luogo al sistema√ √1 2b−a , b−a cos( n(αx+β) ) , n ≥ 1,oveα = πb−a , β = − a π. (8.11)b−aNello stesso modo, il sistema di soli seni in (0, π) dà luogo a√2b−a sin( n(αx+β) ) , n ≥ 1,con α e β come in (8.11).Il sistema ˜C in (0, π/2) dà luogo al sistema√2b−a cos( (2n+1)(αx+β) ) , n ≥ 0,oveπα =2(b−a) , β = − aπ. (8.12)2(b−a)Nello stesso modo, il sistema ˜S in (0, π/2) dà luogo a√2b−a sin( (2n+1)(αx+β) ) , n ≥ 0,con α e β come in (8.12).8.4. Sviluppi di funzioni regolariLa completezza di un sistema ortonormale garantisce solo la convergenzain L 2 (I) dello sviluppo in serie corrispondente; dunque, a priori, neppurela convergenza q.o.. Tuttavia, se f ha regolarità aggiuntive, si può vedereche la convergenza della sua serie di Fourier migliora. In particolare valeTeorema 8.4. Sia f ∈ C 1( [−π, π] ) , f(−π) = f(π). La f quindi si puòconsiderare continua e periodica di periodo 2π in R. Allora la serie di Fourier dif converge uniformemente su R.

74 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Integrando per parti si hab n = 1 π= 1 π∫ π−π{f(x)sin(nx)dx− f(x) cos(nx)nπ∣ + 1−πn∫ π−π}f ′ (x)cos(nx)dx= 1 π [f(−π)− f(π)](−1)n n −1 + 1 n a(1) n = 1 n a(1) n ,per la periodicità di f; qui denotiamo con a (1)n , b (1)n i coefficienti di Fourierdi f ′ . Nello stesso modo si ottienea n = − 1 n b(1) n , n ≥ 1.Perprovarelatesibastadimostrarechelaserierestotendeazero(in modouniforme) per ogni x ∈ R. In effetti per ogni x ∈ R, k ≥ 1,∞∞ ∣∑a n cos(nx)+b n sin(nx)∣ ≤ ∑ |a n |+|b n |n=kn=k∞1= ∑n |a(1) n |+ 1 ∞1n |b(1) n | ≤ ∑nn=kn=k2 + 1 ∞ ( (1)2∑ |a n | 2 +|b (1)n | 2) < ∞,n=kper la disuguaglianza di Bessel; si è usata anche la disuguaglianza diCauchy-Schwarz 2αβ ≤ α 2 + β 2 , valida per α, β ∈ R. □Osservazione 8.5. In particolare dalla dimostrazione precedente e da unsempliceragionamentoperinduzioneseguechesem ≥ 1e f ∈ C m−1 (R)∩C m( [−π, π] ) è periodica di periodo 2π, allora i coefficienti di Fourier dif (m) , a (m)n , b (m)n , soddisfano, se m = 2k+1a n = (−1)k+1n 2k+1 b (2k+1)ne, se m = 2k,a n = (−1)kn 2k a (2k)n , b n = (−1)k, b n = (−1)ka(2k+1)n2k+1 n , n ≥ 1, a (2k+1)0= 0, (8.13)n 2k b (2k)n, n ≥ 1, a (2k)0= 0. (8.14)Quindi la serie di Fourier di f (m) si ottiene proprio derivando m volte laserie di Fourier di f.□Osservazione 8.6. Il Teorema 8.4 vale per f ∈ C ( [−π, π] ) , f(π) = f(−π)e f di classe C 1 a tratti in [−π, π]. Si può ripetere la stessa dimostrazione,avendo l’accortezza di integrare per parti su ciascun subintervallo diregolarità.In effetti il Teorema 8.4 vale per ogni funzione f che si può scrivere comef(x) = f(−π)+∫ x−πg(s)ds, −π < x < π,

per una g ∈ L 2 ((−π, π)), tale che8.5. IL FENOMENO DI GIBBS 75∫ π−πg(s)ds = 0.Osservazione 8.7. (Sviluppi di funzioni meno regolari) Consideriamoi coefficienti, nel sistema ortonormale C in L 2 ((0, π)), della funzioneove 0 < α < 1/2, ossia la successioneValea n = 2 π∫ π0∫ k0f(x) = x −α , 0 < x < π, (8.15)x −α cos(nx)dx = n α−1 2 π∫nπ0□y −α cos(y)dy. (8.16)y −α cos(y)dy → L > 0, k → ∞, (8.17)ove L = L(α); vedi infatti Lemma C.14 per l’esistenza del limite; il fattoche L > 0 segue dalle proprietà, in particolare anche dalla periodicità, delcoseno. Pertanto, per n ≥ n 0 opportuno,Lπ nα−1 ≤ a n ≤ 4 L π nα−1 . (8.18)Si noti che al variare di α ∈ (0,1/2), l’esponente di n nella serie∞∑n=n 0n 2(α−1) ,prende tutti i valori in (−2,−1), cioè fino al valore critico −1 per laconvergenza della serie: si rammenti che questa deve convergere per ladisuguaglianza di Bessel.□8.5. Il fenomeno di GibbsCome ulteriore illustrazione delle modalità di convergenza delle serie diFourier, consideriamo il cosiddetto fenomeno di Gibbs: questo consiste, inbreve, nel fatto che nelle discontinuità di salto, la somma parziale S k dellaserie di Fourier di certe funzioni sovrastima il salto della funzione approssimatacon un errore che non tende a zero per k → ∞; si veda laFigura 8.1.Questo fenomeno appare in tutte le serie di funzioni regolari a tratti, chepresentano discontinuità di salto. Dimostriamolo nel caso di una delleserie più semplici:⎧⎪⎨ − π+x , − π < x < 0,f(x) =2=⎪⎩π−x, 0 < x < π,2∞1∑ sin(nx). (8.19)n=1nLa f è dispari; è il caso di ripetere qui che l’uguaglianza precedente valenel senso di L 2 ((−π, π)).

76 DANIELE ANDREUCCIG mπ/2π/4π/4π/23π/4πFigura 8.1. I grafici di f definita in (8.19), e di due suesomme di Fourier: S 10 (linea tratteggiata) e S 100 (lineacontinua).Lemma 8.8. La funzioneG(x) =∫ x0sinzzraggiunge il suo massimo assoluto in x = π, ove valedz, x ≥ 0, (8.20)G m := G(π) = 1,85193... > π 2= 1,57079... (8.21)Dimostrazione. Suggerimento: usare la periodicità della funzione seno(e l’integrazione numerica per calcolare G(π)). □Teorema 8.9. I grafici delle somme parziali S k di f si accumulano per k → ∞sul segmento{(0,y) | −G m ≤ y ≤ G m } = {0}×[−G m ,G m ],ove G m èstatodefinitonelLemma8.8. Valeadire: perogni y ∈ [−G m ,G m ] esisteuna successione {ε k } con ε k → 0, tale che S k (ε k ) → y.L’essenziale di questo enunciato sta nel fatto che si ottengono come puntilimite dei grafici di S k anche quelli con ordinataG m ≥ |y| > π 2 ,nonostante chef(0+) = −f(0−) = π 2 .Dimostrazione. Poiché sia f che S k sono dispari, possiamo limitarci alcaso y > 0, ε k > 0. Fissiamo p ∈ (0, π] tale che y = G(p).

8.5. IL FENOMENO DI GIBBS 77Scegliamo una (per ora) qualunque successione 0 < ε k < π decrescente azero, e valutiamoS k (ε k ) ==k ∫1ε k∑n=1n sin(nε k) =∫ ε k00k∑n=1[(sin k+12)x2sin ( ) − 1 ]dx,x22cos(nx)dxove abbiamo usato la (C.1). Trasformiamo ancora l’espressionetrovata percalcolarne il limite in modo più semplice:oveJ 1 (k) =∫ ε k0S k (ε k ) =∫ ε k0sin ( k+ 1 2)xdx+ J 1 (k)+ J 2 (k),x[12sin ( ) − 1 ] (sin k+ 1 )xdx,xx 22J 2 (k) = − ε k2 .È immediato che J 2 (k) → 0; vale anche J 1 (k) → 0 perché l’integrando èlimitato su (0, π) da una costante indipendente da k (la quantità in parentesiquadre tende a zero per x → 0). Quindi, cambiando variabiled’integrazione,Scegliamo oraS k (ε k ) =(k+∫1 2 )ε k0sinzzdz+o(1).ε k = pk+ 1 ,2per il p ∈ (0, π] tale che y = G(p). Per questa scelta di ε k si ha dunque∫ plim S k(ε k ) = G(p) =k→∞ove G è la funzione definita nel Lemma 8.8.0sinzzOsservazione 8.10. Il fenomeno di Gibbs, ossia il Teorema 8.9, è un punto critico nell’approssimazionedi funzioni con seriedi Fourier;si veda, per confronto, l’Osservazione11.7.D’altra parte, si deve osservare che:(1) La serie di f converge uniformemente in ogni intervallo [c, π], per ogni fissato 0

78 DANIELE ANDREUCCI8.6. Serie di Fourier dipendenti da un parametroLa teoria generale delle espansioni di funzioni in sistemi ortonormali èvalida anche per funzioni di più variabili, ad esempio definite in un sottoinsiemedel piano R 2 invece che in un intervallo di R. In questo caso,anche le funzioni del sistema ortonormale dipenderanno da due variabili:vedi la Sezione 8.7.In questa sezione diamo però un esempio di un argomento diverso, ossiadell’espansione di funzioni di due variabili in sistemi ortonormali, quandouna delle due variabili venga considerata un parametro. Sia per esempiou : (x,t) ↦→ u(x,t),(x,t) ∈ Q = [0, π]×[0, ∞),u ∈ C(Q). Sviluppiamo per ogni t fissato la funzione u(·,t) nel sistema deiseni S:∞u(x,t) = ∑ β n (t)sin(nx).n=1Si noti che ora i coefficienti β n dipendono da t, visto che la funzionesviluppata dipende da t: per definizioneβ n (t) = 2 πEsempio 8.11. La funzione∫ π0u(x,t)sin(nx)dx.u(x,t) = e −t sinx,ha come è ovvio uno sviluppo in S con coefficientiβ 1 (t) = e −t ; β n (t) = 0, n ≥ 2.È chiaro che la stessa funzione può essere sviluppata in altri sistemi ortonormali,per esempio C: con i calcoli usuali si ottieneu(x,t) = 2 π e−t +∞∑n=22 −1π e−t(−1)n+1 n 2 cos(nx).−18.7. Prodotti di sistemi ortonormali completiRisulta molto utile il seguente risultato.Teorema 8.12. Siano {ϕ n } un sistema ortonormale completo in L 2 (I), e {ψ n }un sistema ortonormale completo in L 2 (J).Allora {ϕ n ψ m } costituisce un sistema ortonormale completo in L 2 (I × J).Dimostrazione. Anzitutto osserviamo che ciascuno dei prodotti ϕ n ψ mappartiene a L 2 (I × J):∫∫ ∫ϕ n (x) 2 ψ m (y) 2 dxdy = ϕ n (x) 2 dx ψ m (y) 2 dy = 1,I×Jil che dimostra anche si tratta di funzioni di norma unitaria.IJ□□

8.7. PRODOTTI DI SISTEMI ORTONORMALI COMPLETI 79Per dimostrare la proprietà di ortogonalità, supponiamo (n,m) ̸= (p,q),cosicché∫∫ ∫ϕ n (x)ψ m (y)ϕ p (x)ψ q (y)dxdy = ϕ n (x)ϕ p (x)dx ψ m (y)ψ q (y)dy = 0,I×JIperché almeno uno dei due fattori è nullo.Resta da dimostrare che il sistema è completo. Usiamo il Corollario 7.24,parte B): dobbiamo dunque solo dimostrare che per ogni f ∈ L 2 (I × J)∫f(x,y)ϕ n (x)ψ m (y)dxdy = 0, per ogni n, m =⇒ f = 0.I×J(8.22)Fissiamo y ∈ J; allora vale, per la completezza di {ϕ n },∞∫f(x,y) = ∑ F n (y)ϕ n (x), F n (y) := f(ξ,y)ϕ n (ξ)dξ, (8.23)n=1ove l’uguaglianza va intesa come al solito nel senso di L 2 (I). Per ciascunfissato n, osserviamo che la funzione F n appartiene a L 2 (J), perché per(7.5)∫J∫ (∫F n (y) 2 dy ≤JI)(∫f(x,y) 2 dxII)ϕ n (x) 2 dx dy∫ ∫=Perciò vale nel senso di L 2 (J) l’uguaglianza∫∞ (∫F n (y) = f(ξ,y)ϕ n (ξ)dξ = ∑ F n (η)ψ m (η)dηm=1IJ(∫ ∫)= f(ξ, η)ϕ n (ξ)dξψ m (η)dη ψ m (y)=∞∑m=1∞∑m=1J I( ∫I×J)f(ξ, η)ϕ n (ξ)ψ m (η)dξdη ψ m (y).Dalla (8.23) e dalla (8.24) segue che( ∫f(x,y) = f(ξ, η)ϕ n (ξ)ψ m (η)dξdη∞∑n=1[ ∞∑m=1I×JLa (8.22) risulta così dimostrata.JIJf(x,y) 2 dxdy < ∞.)ψ m (y)(8.24)) ]ψ m (y) ϕ n (x). (8.25)Esempio 8.13. Nel quadrato Ω = (0, π)×(0, π) si hanno (tra gli altri) iseguenti sistemi ortonormali:prodotto S ×S:2sin(nx)sin(my), n,m ≥ 1; (8.26)π□

80 DANIELE ANDREUCCIprodotto S ×C:√2π sin(nx), 2sin(nx)cos(my),πn,m ≥ 1 (8.27)(e l’analogo sistema C ×S ottenuto invertendo x con y);prodotto C ×C:√ √2 2π cos(nx), π cos(my), 2cos(nx)cos(my),πn,m ≥ 1. (8.28)□Osservazione 8.14. Usando la notazione del Teorema 8.12, una volta chesi è dimostrata la completezza del sistema {ϕ n ψ m }, si può scriveref(x,y) =(f, ϕ n ψ m ) =∞∑m,n=1∫I×J(f, ϕ n ψ m )ϕ n (x)ψ m (y),f(ξ, η)ϕ n (ξ)ψ m (η)dξdη.(8.29)La serie doppia converge nel senso di L 2 (I × J), e la somma può esserecalcolata lungo qualunque successione (vedi Osservazione 7.21). Per contrasto,la(8.25) eraunaseriein cuiciascuno deiterminieraasuavolta unaserie.□Osservazione 8.15. È chiaro che il risultato del Teorema 8.12 può essereiterato un qualsiasi numero finito N di volte. Per esempio, per N = 3 siottiene che se {ϕ n } [risp. {ψ m }; {χ p }] è un sistema ortonormale completoin L 2 (I) [risp. L 2 (J); L 2 (K)], allora {ϕ n ψ m χ p } è un sistema ortonormalecompleto in L 2 (I × J ×K).□8.8. Serie di Fourier in forma complessaSia f ∈ L 2 ((−π, π)), e consideriamo per ogni k ≥ 1 la somma parzialedella sua serie di FourierPonendo dunqueS k (x) = a 0 += a 0 += a 0 +c 0 = a 0 ,k∑n=1k∑n=1k∑n=1a n cos(nx)+b n sin(nx)a ne inx +e −inx2a n −ib n2c m = a m −ib m2c m = c −m = a −m +ib −m2+b ne inx −e −inx2ie inx + a n +ib ne −inx .2, m > 0,, m < 0,

si ottieneSi può quindi scrivere8.8. SERIE DI FOURIER IN FORMA COMPLESSA 81S k (x) =k∑ c m e imx . (8.30)m=−kf(x) =∞∑ c m e imx ,m=−∞con l’avvertenza che il limite della serie, oltre a dover essere inteso nelsenso di L 2 ((−π, π)), deve essere preso sulla successione delle sommeparziali simmetriche come in (8.30).

CAPITOLO 9Sviluppi in serie di autofunzioniCompletiamo l’analisi del metodo di Fourier basato sugli sviluppiin serie di autofunzioni. Si noti che questo metodo si applicaanche a problemi con sorgenti non omogenee, purché con dati albordo omogenei.Un caso particolare ma interessante è quello dell’equazione diLaplace nel piano, in coordinate polari.9.1. Convergenza dello sviluppo in serie di autofunzioniRicordiamo che il problema lasciato aperto nella Sezione 5.3, riformulatoin termini ‘attuali’, cioè alla luce della teoria introdotta nei Capitoli 7 e 8,era:La successione di autofunzioni del problema di Dirichlet[risp.delproblemadiNeumann]perl’equazionediLaplacecostituisce un sistema ortonormale completo?9.1.1. Il caso N = 1. Nel caso unidimensionale N = 1, le successioniin questione coincidono con S [risp. con C], o sue opportune modifichesecondo le idee della Sezione 8.3 (vedi anche gli Esercizi 5.12 e 5.13).Dunque sono in effetti sistemi ortonormali completi, come risulta dalTeorema 8.2.•9.1.2. Il caso N ≥ 2, Ω intervallo. Nel caso N ≥ 2, se Ω è un intervalloN-dimensionale, ossiaΩ = (a 1 ,b 1 )×(a 2 ,b 2 )×···×(a N ,b N ),si può costruire un sistema ortonormale completo di autofuzioni secondole idee della Sezione 8.7.Per fissare le idee, supponiamo di considerare il problema con dati diDirichlet in Ω = (0, π)×(0, π). Allora tutte le funzioniϕ nm (x,y) = 2 sin(nx)sin(my), n,m ≥ 1, (9.1)πsono autofunzioni, corrispondenti agli autovaloriλ nm = n 2 +m 2 . (9.2)Questo fatto segue dal calcolo diretto. Segue poi dal Teorema 8.12 che ilsistema {ϕ nm } è completo.In particolare questo dimostra che non possono esservi altre autofunzionilinearmente indipendenti dalle {ϕ nm }. Infatti, se ϕ fosse un’autofunzione83

84 DANIELE ANDREUCCIdel genere, corrispondente all’autovalore λ, si avrebbe per la completezzaϕ =∞∑ (ϕ, ϕ nm ) ϕ nm = ∑ (ϕ, ϕ nm )ϕ nm ,m,n=1λ nm =λper il Teorema 5.8. Si noti che l’ultima somma sopra ha un numero finitodi termini, perché per (9.2) solo un numero finito delle autofunzioni in(9.1) può soddisfare λ nm = λ. Questo però contraddice l’asserita lineareindipendenza della ϕ.•9.1.3. Il caso generale. Nel caso N ≥ 2 con Ω di forma qualsiasi (e anchein quello N = 1) si può applicare la teoria di Sturm-Liouville, che dimostra:Teorema 9.1. Ciascuno dei due problemi agli autovalori (5.8)–(5.9), e (5.10)–(5.11),ammetteunasuccessioneinfinitadicoppieautofunzioneautovalore(ϕ n , λ n ).Inoltre ciascun autovalore λ n appare nella successione solo un numero finito divolte, elim λ n = +∞. (9.3)n→∞Infine,lasuccessione{ϕ n }costituisceunsistemaortonormalecompletoin L 2 (Ω).Questo Teorema lascia però aperto il problema di determinare in modoesplicito le autofunzioni e gli autovalori di cui garantisce l’esistenza.Il Teorema 9.1 asserisce l’ortogonalità anche delle autofunzioni corrispondenti ad autovaloriuguali, mentre il Teorema 5.8 considerava solo il caso di autovalori diversi.Tuttavia questo fatto si può dimostrareanche in modo diretto, per esempio usando il fattoche a ciascun autovalore corrisponde solo un numero finito di autofunzioni, come si èvisto nella Sottosezione 9.1.2.O ancora, perfino a prescindere da questa proprietà, si può ragionare come nel seguenteLemma.Lemma 9.2. Sia {ϕ n } una qualunque famiglia di autofunzioni linearmente indipendenti di unproblema al contorno per l’equazione di Laplace, corrispondenti allo stesso autovalore λ.Allora si può determinare un sistema ortonormale di autofunzioni { ˜ϕ n } in ugual numero, corrispondential medesimo autovalore λ, che generano lo stesso sottospazio delle {ϕ n }.Dimostrazione. Per la Proposizione 7.14 si trova un sistema ortonormale { ˜ϕ n } con lostessonumerodicomponentiche generalostessosottospaziodelle{ϕ n },etalecheogni ˜ϕ iè combinazione linearedi queste ultime. Quindi ogni ˜ϕ i è un’autofunzione con autovaloreλ; infatti si ha, per esempio per i = 1,(∆ ˜ϕ 1 = ∆ ∑jα j ϕ j)= ∑jα j ∆ ϕ j = − ∑jα j λϕ j = −λ ∑ α j ϕ j = −λ ˜ϕ 1 .j□•Torniamo al problema della Sezione 5.3 del Capitolo 5, ossia au t −D ∆u = F(x,t), x ∈ Ω,0 < t < T, (9.4)D ∂u (x,t) = 0,∂νx ∈ ∂Ω,0 < t < T, (9.5)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (9.6)

9.1. CONVERGENZA DELLO SVILUPPO IN SERIE DI AUTOFUNZIONI 85edimostriamolaconvergenzaallasoluzione u(lacuiesistenzaassumiamoper nota) dello sviluppou(x,t) =∞∑ α n (t)ϕ n (x), (9.7)n=1ove {ϕ n } è la successionedi autofunzioni delTeorema9.1, per il problemadi Neumann, e le funzioni α n sono determinate da∫α ′ n(t) = −Dλ n α n (t)+F n (t), F n (t) := F(x,t)ϕ n (x)dx, (9.8)∫α n (0) = u 0 (x)ϕ n (x)dx. (9.9)ΩTeorema 9.3. Si assuma che u 0 ∈ L 2 (Ω) e che F sia una funzione limitata inQ T . Allora la serie (9.7) converge in L 2 (Ω), per ogni fissato t ∈ (0,T), allasoluzione del problema (9.4)–(9.6).Dimostrazione. Definiamo le somme parziali della serieku k (x,t) = ∑ α n (t)ϕ n (x), k ≥ 1.n=1Usando le definizioni di α n e ϕ n si vede che z k = u−u k soddisfaz kt −D ∆z k = F(x,t)−D ∂z k(x,t) = 0,∂νz k (x,0) = u 0 (x)−k∑n=1k∑n=1ΩF n (t)ϕ n (x) =: f k (x,t), in Q T , (9.10)su ∂Ω×(0,T),(9.11)β n ϕ n (x) =: v k (x), x ∈ Ω. (9.12)Si noti che f k (·,t) e v k non sono altro che i resti degli sviluppi in serie diF(·,t) e di u 0 . Quindi tendono a zero in L 2 (Ω) per k → ∞. È qui che siusa la completezza del sistema ortonormale {ϕ n }.Applichiamo ora a z k il Teorema 6.9, ottenendo{∫ ∫ ∫ t }∫z k (x,t) 2 dx ≤ e t v k (x) 2 dx+ f k (x, τ) 2 dxdτ . (9.13)ΩΩ 0 ΩLa dimostrazione si conclude notando che il membro di destradella (9.13)converge a zero, per la definizione di f k e v k , come già osservato. □Osservazione 9.4. Notiamo che le funzioni ϕ n e α n sono determinate in modo del tuttoindipendente dalla conoscenza pregressadellasoluzione u. È quindi naturale domandarsise argomentazioni simili alle precedenti non possano condurre in realtà a un teoremadi esistenza, cioè a dimostrare l’esistenza della soluzione (che sopra abbiamo comunqueassunta), come somma della serie in (9.7).La risposta, in sostanza, è affermativa; però va tenuto presenteil problemadellaregolaritàdella somma della serie: la convergenza ha luogo in principio solo in L 2 . Se per esempioF non è continua, la ‘soluzione’ non può essere C 2,1 (Q T ), e quindi non è una soluzioneclassica, ma invece una cosiddetta ‘soluzioni debole’, vedi Capitolo 18. □

86 DANIELE ANDREUCCI9.2. Il caso di dati al contorno non nulliNel caso che i dati al bordo, di Dirichlet o di Neumann, non siano omogenei,cioè nulli, il metodo di Fourier in effetti non si può applicare. Peròè possibile ridursi al caso con dati nulli, sottraendo dall’incognita unafunzione nota, che abbia gli stessi dati al bordo. Questo come è ovviomodificherà la funzione sorgente nell’equazione, e i dati iniziali.Conviene procedere con un esempio.Cerchiamo la soluzione diu t −Du xx = 0, 0 < x < π,0 < t,−Du x (0,t) = 0, 0 < t,Du x (π,t) = e γt , 0 < t,u(x,0) = 0, 0 < x < π.Per ridursi a un caso con condizioni al contorno omogenee, cambiamo levariabili, introducendo la nuova incognitav(x,t) = u(x,t)− x22πD eγt ,che risolve il problemav t −Dv xx =(1− eγt γx2 ), 0 < x < π,0 < t,π 2D−Dv x (0,t) = 0, 0 < t,Dv x (π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = − x22πD , 0 < x < π.Cerchiamo la v come serie di coseni in (0, π), in vista delle condizioni diNeumann prescritte sul contorno laterale del dominio. Scriviamo allorav(x,t) = α 0 (t)+∞∑n=1α n (t)cos(nx),ove gli α n si troveranno imponendo che la serie risolva l’e.d.p. termine atermine. Aquestoscopointroduciamolosviluppodellafunzionesorgentee γt (1− γx2 )πf 0 (t) = eγtπ2D(1− cπ26D= f 0 (t)+∞∑n=1), f n (t) = eγtπf n (t)cos(nx),2(−1) n+1 γn 2 D, n ≥ 1.Si ottiene dunque, sostituendo le serie nell’equazione differenziale, scambiandoformalmenteleoperazionididerivazione conla serie,euguagliandoi due membri dell’equazione termine a termineDalla condizione iniziale per v si ottieneα ′ n+n 2 Dα n = f n , n ≥ 0. (9.14)α n (0) = γ n , (9.15)

9.3. IL SISTEMA ORTONORMALE SBAGLIATO 87oveiγ n sonoicoefficientidellosviluppoinseriedicosenideldatoiniziale,ossiaγ 0 = − π6D , γ n = 2(−1)n+1πn 2 D , n ≥ 1.I corrispondentiproblemi di Cauchy per le α n si risolvono senza difficoltà,ottenendoα 0 (t) = 1 (1− γπ2 )(e γt −1)+γ 0 ,γπ 6Dα n (t) =2(−1)n+1 γπn 2 D(n 2 D+γ) (eγt −e −n2 Dt )+γ n e −n2 Dt , n ≥ 1.Lo sviluppo in serie della v quindi è stato ottenuto.Infine, la u è data dau(x,t) = x22πD eγt + 1γπ[+∞∑n=1(1− γπ2 )(e γt −1)+γ 06D(9.16)2(−1) n+1 γπn 2 D(n 2 D+γ) (eγt −e −n2 Dt )+γ n e −n2 Dt ] cos(nx).9.3. Il caso ‘sbagliato’: il sistema ortonormale non rispetta lecondizioni al contornoConsideriamo il problemau t −Du xx = 1, 0 < x < π,0 < t < T, (9.17)−Du x (0,t) = 0, 0 < t < T, (9.18)Du x (π,t) = 0, 0 < t < T, (9.19)u(x,0) = 0, 0 < x < π. (9.20)Questo problema ha per unica soluzioneu(x,t) = t; (9.21)si noti che la (9.21) è in realtà anche lo sviluppo in serie di coseni di u.Se cerchiamo lo sviluppo di u nel sistema ortonormale ‘sbagliato’, peresempioinquelloS deiseni,ricaviamoaposteriori, cioèusandolasoluzioneespressa in forma esplicita dalla (9.21),u(x,t) =∞∑ α n tsin(nx), α n := 2πn [1−(−1)n ]. (9.22)n=1Se però cercassimo di ottenere lo sviluppo (9.22) prima di conoscere la soluzione,con il metodo illustrato nella Sezione 5.3, non potremmo arrivare ascrivere i problemi di Cauchy (5.25), (5.26), perché non vale la (5.24).Come ultima osservazione, sempre supponendo di ricercare una possibileequazione differenziale risolta dai coefficienti di (9.22), applichiamo aquesti coefficienti l’operatore differenziale di (5.25):ddt (α nt)+n 2 D(α n t) = α n +n 2 Dα n t = 4 nDt, per n dispari. (9.23)π

88 DANIELE ANDREUCCIPerciò i ‘termini noti’ delle ipotetiche equazioni differenziali (9.23) nonsonodatidaicoefficientidialcunafunzioneinalcun sviluppoortonormale(perché non tendono a zero).9.4. L’equazione di Laplace in coordinate polari9.4.1. Problemiin coronecircolari. Consideriamoil problemapostonellacorona circolare di raggi r 1 > r 0 > 0√∆u = f(x,y), r 0 < x 2 +y 2 < r 1 , (9.24)√u(x,y) = u 0 (x,y), x 2 +y 2 = r 0 , (9.25)√u(x,y) = u 1 (x,y), x 2 +y 2 = r 1 , (9.26)che, in coordinate polari, diventav rr + 1 r v r + 1 r 2v ϕϕ = g(r, ϕ), r 0 < r < r 1 ,−π < ϕ < π, (9.27)v(r 0 , ϕ) = v 0 (ϕ), − π < ϕ < π, (9.28)v(r 1 , ϕ) = v 1 (ϕ), − π < ϕ < π, (9.29)ove si sono definitev(r, ϕ) = u(rcos ϕ,rsin ϕ),v 0 (ϕ) = u 0 (r 0 cos ϕ,r 0 sin ϕ),g(r, ϕ) = f(rcos ϕ,rsin ϕ),v 1 (ϕ) = u 1 (r 1 cos ϕ,r 1 sin ϕ).Vanno anche imposte le condizioni di periodicità (3.3)–(3.5).Cerchiamo la soluzione nella formav(r, ϕ) = α 0 (r)+∞∑n=1Procedendo come sopra, si ha che α 0 soddisfaα 0 ′′ + 1 r α′ 0 = 12πα 0 (r 0 ) = 12πα 0 (r 1 ) = 12πα n (r)cos(nϕ)+ β n (r)sin(nϕ). (9.30)∫ π−π∫ π−π∫ π−πg(r, θ)dθ,v 0 (θ)dθ,v 1 (θ)dθ;

invece per n ≥ 1 si hae rispettivamente9.4. L’EQUAZIONE DI LAPLACE IN COORDINATE POLARI 89α ′′n + 1 r α′ n − n2r α n = 1 πα n (r 0 ) = 1 πα n (r 1 ) = 1 πβ ′′n + 1 r β′ n − n2r β n = 1 πβ n (r 0 ) = 1 πβ n (r 1 ) = 1 π∫ π−π∫ π−π∫ π−π∫ π−π∫ π−π∫ π−πg(r, θ)cos(nθ)dθ,v 0 (θ)cos(nθ)dθ,v 1 (θ)cos(nθ)dθ,g(r, θ)sin(nθ)dθ,v 0 (θ)sin(nθ)dθ,v 1 (θ)sin(nθ)dθ.Gli integrali generali delle equazioni differenziali si possono ottenere conil metodo della variazione delle costanti, e sono dati da∫ r ( rR(r) = k 1 +k 2 lnr+ γ(ρ)ρln dρ, n = 0,ρ)r 0∫ r∫ rR(r) = k 1 r n +k 2 r −n + rnγ(ρ)ρ −n+1 dρ− r−nγ(ρ)ρ n+1 dρ, n ≥ 1,2n 2nr 1 r 0ove γ(r) è il termine noto nell’equazione differenziale.•9.4.2. Problemi in cerchi. Se il problema è posto nel cerchio di raggior 1 > 0, cioè se consiste in∆u = f(x,y),u(x,y) = u 1 (x,y),√x 2 +y 2 < r 1 , (9.31)√x 2 +y 2 = r 1 , (9.32)si procede in modo simile a quello visto nella Sottosezione 9.4.1, ma dobbiamoescludere dall’integrale generale delle e.d.o. ottenute le soluzioniche presentano singolarità nell’origine: questi integrali dunque saranno

90 DANIELE ANDREUCCIdati da∫ rR(r) = k 1 +R(r) = k 1 r n + rn2n0( rγ(ρ)ρln dρ, n = 0,ρ)∫ rr 1γ(ρ)ρ −n+1 dρ− r−n2n∫ r0γ(ρ)ρ n+1 dρ, n ≥ 1,Osservazione9.5. Mostriamochelasoluzioneparticolarew(r) checomparenegliintegraliR è regolare anche per r → 0. Per brevità limitiamoci al caso di α n , n ≥ 1 e a considerareSi noti chew ′′ (r) = γ(r)+ n−12∫rr n−2γ(ρ)ρ −n+1 dρ− n+12r 1∫rr −n−20γ(ρ)ρ n+1 dρ.γ(r) = 1 ∫ πg(r, ϕ)cos(nθ)dθ → 1 ∫ πf(0,0)cos(nθ)dθ = 0, r → 0,ππ−π−πe anzi (vedi la Sezione 3.2)|γ(r)| ≤ 1 ∫ π|g(r, θ)− f(0,0)| dθ ≤ 1 ∫ πmax|∇ f|rdθ ≤ 2max|∇ f|r.ππ−π−πConsideriamo il secondo addendo in w ′′ (r), gli altri essendo anche più semplici: taleaddendo è maggiorato in valore assoluto dan−12∫ r 1r|γ(ρ)| rn−2∫r 1ρ n−1 dρ ≤ (n−1)e quindi rimane limitato per r → 0.rmax|∇ f| rn−2ρ n−2 dρ ≤ (n−1)r 1max|∇ f|,9.4.3. Il caso dell’equazione omogenea nel cerchio. Se prendiamo f ≡ 0in (9.31), per gli argomenti svolti sopra, si hanno per lo sviluppo in seriedella soluzione (9.30) i coefficientiα 0 (r,r 1 ) = 12πα n (r,r 1 ) = rnr n 1β n (r,r 1 ) = rnr n 1∫ π−π∫ π1π1π−π∫ π−πu(r 1 cos θ,r 1 sin θ)dθ,u(r 1 cos θ,r 1 sin θ)cos(nθ)dθ,u(r 1 cos θ,r 1 sin θ)sin(nθ)dθ.□(9.33)Si noti che abbiamo ridefinito i coefficienti α n , β n come funzioni delle duevariabili r, r 1 . In particolare α 0 non dipendedi fatto dar. Definiamo ancheper brevità di notazioneα ∗ n(r 1 ) = α n (1,r 1 ), β ∗ n(r 1 ) = β n (1,r 1 ). (9.34)Tuttavia, gli argomenti svolti fin qui non sono rigorosi. Rendiamo tale ilrisultato nel prossimo Teorema:•

9.4. L’EQUAZIONE DI LAPLACE IN COORDINATE POLARI 91Teorema 9.6. Sia u ∈ C 2 (Ω) una funzione armonica in Ω, ove Ω è un apertodi R 2 che contiene l’origine. Sia d = dist((0,0), ∂Ω). Allora i coefficienti α ∗ n, β ∗ ndefiniti in (9.33), (9.34) non dipendono da r 1 , per r 1 ∈ (0,d). Inoltre, valeu(rcos ϕ,rsin ϕ) = α ∗ 0 +per 0 ≤ r < d, −π ≤ ϕ ≤ π.∞∑n=1r n[ α ∗ ncos(nϕ)+ β ∗ nsin(nϕ) ] , (9.35)Dimostrazione. A) Fissiamo r 1 ∈ (0,d). Iniziamo con il dimostrare chevale per u la rappresentazione (9.35), ove i coefficienti α ∗ n, β ∗ n sono intesiper ora come calcolati in r 1 , e r ≤ r 1 .Questa serie, per r = r 1 , è la serie di Fourier di U(ϕ) := v(r 1 , ϕ). Datoche U soddisfacertole ipotesidelTeorema8.4, come restrizionealla curva∂B r1 di una funzione di classe C 2 , la serie converge uniformemente a U su[−π, π], ossiamax |U(ϕ)−S k(r 1 , ϕ)| → 0, k → ∞.−π≤ϕ≤πD’altra parte, sia u che S k sono funzioni armoniche nel cerchio B r1 ; quindiper il principio di massimo (Teorema 4.1)maxr≤r 1|u(r, ϕ)−S k (r, ϕ)| ≤ max−π≤ϕ≤π |U(ϕ)−S k(r 1 , ϕ)| → 0, k → ∞.Quindi la serie converge uniformemente a u in B r1 , e la (9.35) è stabilita.B) Dimostriamo che i coefficienti α ∗ n, β ∗ n sono indipendenti da r 1 .Consideriamo due raggi 0 < r 1 < r 2 < d. Fissiamo 0 < r < r 1 . Ilragionamento del punto A) si può ripetere sia per r 1 che per r 2 . Dunquela funzioneϕ ↦→ v(r, ϕ)ammette due sviluppi in serie di Fourier; per l’unicità dei coefficienti diFourier (Proposizione 7.18) segue che i coefficienti delle due serie devonocoincidere due a due, ossiaα ∗ 0(r 1 ) = α ∗ 0(r 2 ), r n α ∗ n(r 1 ) = r n α ∗ n(r 2 ), r n β ∗ n(r 1 ) = r n β ∗ n(r 2 ).Dato che r > 0, segue la tesi.□Osservazione 9.7. È chiaro che la rappresentazione (9.35) vale anche incerchi di centro diverso dall’origine; basta a questo scopo traslare il sistemadi coordinate, visto che l’equazione di Laplace è invariante pertraslazioni.□Dalla formula (9.35) si possono trarre diverse conseguenze importanti.Teorema 9.8. (Formula della media) Se u è armonica in Ω, allora vale, perogni (x 0 ,y 0 ) ∈ Ω e per ogni 0 < r 1 < dist((x 0 ,y 0 ), ∂Ω) lau(x 0 ,y 0 ) = 1 ∫u(x,y)dσ.2πr 1∂B r1 (x 0 ,y 0 )

92 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Basta considerare il caso (x 0 ,y 0 ) = (0,0), per l’Osservazione9.7. Si prende quindi r = 0 nella (9.35) e si ottieneu(0,0) = α0(r ∗ 1 ) = 12π∫ π−πu(r 1 cos θ,r 1 sin θ)dθ = 12πr 1∫∂B r1u(x,y)dσ.Teorema 9.9. (Liouville)Sia uarmonicaelimitatasututtoilpiano R 2 . Allorau è una funzione costante.Dimostrazione. In questo caso la (9.35) vale per ogni r 1 > 0. Per n ≥ 1 siha dunque□|α ∗ n| = limr1 →∞1r n 1∣∫ π−πv(r 1 , θ)cos(nθ)dθ∣≤ limr1 →∞1∫ πr1n −π|v(r 1 , θ)| dθ ≤ limr1 →∞1r n 12πsupR 2 |u| = 0.Nello stesso modo si vede che β ∗ n = 0. Quindi u ≡ α ∗ 0 .□Esercizio 9.10. Le considerazioni svolte finora nella Sezione 9.4 hanno assuntol’esistenza della soluzione delproblema al contorno per l’equazionedi Laplace. Si dimostri che la serie in (9.35) converge a una soluzione delproblema al contorno (9.31), (9.32); questo dà un teorema di esistenza disoluzioni per questo problema. Si può assumere per semplicità che il datoal bordo sia di classe C 1 .□9.4.3.1. La formula di rappresentazione. Con manipolazioni elementari (almenodal punto di vista formale) si ottienev(r, ϕ) = 12π+ 1 π= 12π∫ π−π∞∑n=1∫ π−πv 1 (θ)dθr nr1n{ ∫ π−π{v 1 (θ)v 1 (θ) [ cos(nθ)cos(nϕ)+sin(nθ)sin(nϕ) ] }dθ1+2∞∑n=1r nr1nDefiniamo ora per semplicità di notazionecos ( n(ϕ−θ) )} dθ,z = rr 1e i(ϕ−θ) = rr 1cos(ϕ−θ)+i rr 1sin(ϕ−θ);

Allorav(r, ϕ) = 12π= 12π= 12π= 12π9.5. AUTOFUNZIONI NEL CERCHIO 93∫ π−π∫ π−π∫ π−π∫ π−π{v 1 (θ){v 1 (θ)1+2∞∑n=11+2Re{v 1 (θ) 1+2ReRez n} dθ∞∑n=1z n} dθz}dθ1−zv 1 (θ){1+2 Rez−(Rez)2 −(Imz) 2 }(1−Rez) 2 +(Imz) 2 dθ.Ricordando la definizione di z si ottiene infinev(r, ϕ) = 12π∫ π−πr 2 1 −r2v 1 (θ)r1 2 +r2 −2r 1 rcos(ϕ−θ) dθ, r < r 1. (9.36)Questaformuladirappresentazionedellasoluzioneèdiscussain dettaglionella Sezione 11.5.∗•9.5. Autofunzioni nel cerchioUn caso significativo di dominio Ω non rettangolare è il cerchio B L (0) ⊂R 2 . In questo caso le autofunzioni del laplaciano possono essere espressein termini delle funzioni di Bessel.Consideriamo per definitezza il problema di Dirichlet∆ ϕ = −λϕ, in B L (0), (9.37)ϕ = 0, su ∂B L (0). (9.38)La simmetria radiale del problema suggerisce,volendo cercare soluzioni avariabili separate, di passare a coordinate polari. DenotiamoIl problema (9.37)–(9.38) divienev(r, ϕ) = ϕ(rcos ϕ,rsin ϕ).v rr + 1 r v r + 1 r 2v ϕϕ = −λv, 0 < r < L,−π < ϕ < π, (9.39)v(L, ϕ) = 0, − π < ϕ < π. (9.40)Andrebbero anche scritte le condizioni di periodicità in ϕ, e di regolaritàper r → 0, che per brevità omettiamo: si veda la Sezione 3.2 per queste eper altri commenti riguardo al cambiamento di coordinate da cartesiane apolari.Separiamo le variabili, sostituendov(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ)

94 DANIELE ANDREUCCInella (9.39). Raccogliendo i termini che dipendono solo da ciascuna delledue variabili indipendenti si har 2 R ′′ +rR ′+ λr 2 = − Φ′′= µ ∈ R, (9.41)RΦove l’ultima uguaglianza segue dall’usuale considerazione che il valorecomune dei primi due membri non deve dipendere né da r, né daϕ. In particolare la Φ deve quindi soddisfare, imponendo la necessariaperiodicità,e dunque si deve averee perciòΦ ′′ + µΦ = 0, − π < ϕ < π,Φ(−π) = Φ(π),Φ ′ (−π) = Φ ′ (π),µ = n 2 , n = 0,1,2,... (9.42)Φ(ϕ) = k 1n cos(nϕ)+k 2n sin(nϕ); (9.43)per n = 0 si ha la soluzione costante. Quindi l’equazione, o meglio lafamiglia di equazioni, per R divieneR ′′ + 1 r R′ +(λ− n2 )r 2 R = 0, 0 < r < L, (9.44)R ∈ C ( [0,L] ) , (9.45)R(L) = 0. (9.46)La(9.45)vaimposta,perchél’equazione(9.44), cheèsingolarenell’origine,ammette anche soluzioni illimitate per r → 0, che noi dobbiamo escluderedato che cerchiamo u regolare in tutto il cerchio.Osserviamo che λ è ancora da scegliere; sappiamo però che dovrà esserepositivo, per il Teorema 5.7. Passiamo alle variabilix = √ ( x)λr, y(x) = R √ ,λscelte per far scomparire la costante λ dall’equazione (9.44) che infattidivieney ′′ + 1 x y′ +(1− n2 )x 2 y = 0. (9.47)L’equazione differenziale ordinaria (9.47) prende il nome di equazione diBessel. Le sue soluzioni, dette quindi funzioni di Bessel, formano un importantecapitolo della teoria delle funzioni speciali.Qui ricorderemo solo i fatti che ci sono necessari. Come tutte le equazionilineariomogeneedelsecondoordine,anchela(9.47)ha, perciascun fissatovalore di n, un integrale generato dalle combinazioni lineari di due soluzionilinearmente indipendenti. Una di queste è continua fino su x = 0, el’altra no: perciò, per quanto detto sopra, dobbiamo scartare quest’ultima.Denotando con J n la soluzione regolare, e tornando alle variabili polari,avremo quindiR(r) = k n J n ( √ λr). (9.48)

9.5. AUTOFUNZIONI NEL CERCHIO 95Questa scelta soddisfa (9.44) e (9.45); resta da imporre la condizione alcontorno (9.46), e qui sceglieremo i valori ammissibili di λ. Dovrà essereJ n ( √ λL) = 0. (9.49)In effetti per ogni fissato n la J n ha una successione crescente di zeripositiviz n0 ,z n1 ,... z ni → ∞, i → ∞.Dovremo quindi scegliere per λ i valori( zni) 2.λ ni =(9.50)LRiassumendo, abbiamo trovato per il problema (9.37)–(9.38) la seguentesuccessione di autofunzioni, che esprimiamo in coordinate polari,γ 0 ni cos(nϕ)J n( √ λ ni r), γ 1 ni sin(nϕ)J n( √ λ ni r), (9.51)ove n ≥ 1 e λ ni sono scelti come sopra. Per n = 0 si hanno solo leautofunzioniγ 0 0i J 0( √ λ 0i r). (9.52)Lecostanti γ 0 ni e γ1 ni siscelgonopernormalizzareleautofunzioniin L2 (B L (0)).Si potrebbe vedere che questa successione di autofunzioni coincide conquella la cui esistenza è affermata dal Teorema 9.1; in particolare essa formaun sistema ortonormale completo, che quindi può essere usato persviluppare in serie soluzioni di problemi di Dirichlet.Per esempio la soluzione del problema di vibrazione di una membranacircolareu tt −c 2 ∆u = 0,u = 0,ammette la rappresentazioneu(x,t) =in B L (0)×(0, ∞),su ∂B L (0)×(0, ∞),u(x,0) = u 0 (x), x ∈ B L (0),u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ B L (0),∞∑ [α ni (t)cos(nϕ)+ β ni (t)sin(nϕ)]J n ( √ λ ni r).i,n=0Questo sarebbe comunque vero per qualunque sistema ortonormale completo,ma essendo il sistema usato formato da autofunzioni, i coefficientidello sviluppo sono determinati dagli opportuni problemi di Cauchy perle e.d.o.α ′′ni +c2 λ ni α ni = 0, β ′′ni +c2 λ ni β ni = 0.Esercizio 9.11. Nella Sezione 9.4 abbiamo applicato il metodo di Fourierall’equazione di Laplace nel cerchio. Spiegare in cosa differiscono i dueproblemi dal punto di vista dell’applicazione del metodo di Fourier. □

Parte 4Formule di rappresentazione

CAPITOLO 10L’equazione delle ondeL’equazione delle onde ammette formule di rappresentazionedelle soluzioni che possono essere derivate con procedureabbastanza semplici.In particolare i calcoli sono elementari in dimensione N = 1.Queste formule suggeriscono anche l’estensione del concetto disoluzione, fino a includere funzioni non derivabili o addiritturanon continue.10.1. Il problema ai valori iniziali per la corda infinitaConsideriamo il problema di Cauchy, o ai valori iniziali, in Q ∞ = R×(0, ∞)u tt −c 2 u xx = 0, in Q ∞ , (10.1)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R, (10.2)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R. (10.3)Teorema 10.1. Se u 0 ∈ C 2 (R), e u 1 ∈ C 1 (R), allora il problema (10.1)–(10.3)ha un’unica soluzione u ∈ C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ), espressa dalla formulau(x,t) = 1 2[u0 (x−ct)+u 0 (x+ct) ] + 1 2cx+ct ∫x−ctu 1 (s)ds, (x,t) ∈ Q ∞ .(10.4)Dimostrazione. Per il Teorema 3.3, la u, se esiste, deve avere una rappresentazionedel tipo (3.17), valida in Q ∞ . Restano da determinare f e g,cosa che dobbiamo fare usando i dati al tempo t = 0. Questi dannof(x)+g(x) = u 0 (x), (10.5)−cf ′ (x)+cg ′ (x) = u 1 (x), (10.6)perogni x ∈ R. Derivando la(10.5)in x esostituendonella(10.6) siottieneIntegrando in x si ottienef ′ (x) = 1 2 u′ 0(x)− 1 2c u 1(x), x ∈ R.f(x) = 1 2 u 0(x)− 1 2c∫ x0u 1 (s)ds+K, x ∈ R, (10.7)99

100 DANIELE ANDREUCCIper un’opportuna costante K. Usando ancora la (10.5), si ottiene ancheg(x) = 1 2 u 0(x)+ 1 2c∫ x0u 1 (s)ds−K, x ∈ R. (10.8)Dalla (10.7) e dalla (10.8) segue subito la (10.4), quando si ricordi (3.17).Questo dimostra che la u, se esiste, deve avere la forma (10.4), e dunqueche la soluzione è unica. Resta da dimostrare che la (10.4) è davvero unasoluzione, il che però segue subito da una verifica diretta. □Osservazione 10.2. La (10.4) si dice formula di D’Alembert. L’intervallo[x−ct,x+ct] si dice dominio di dipendenza del punto(x,t), perché il valoredella soluzione u in (x,t) dipende solo dai valori assunti dai dati in taleintervallo.□Osservazione 10.3. La (10.4) mostra che, nelle ipotesi indicate nel Teorema10.1, la u risultain realtà definitaediclasse C 2 su tutto R 2 (perfino pert < 0). Questo non è sorprendente in vista del lemma seguente. □Lemma 10.4. Se u ∈ C 2 (Q) risolve (3.16) in Q = (a,b) × (α, β), allorav(x,t) = u(x,−t) risolve ancora (3.16) in Q ′ = (a,b)×(−β,−α), e w(x,t) =u(−x,t) la risolve in Q ′′ = (−b,−a)×(α, β).Dimostrazione. Ovvia.Osservazione 10.5. La rappresentazione (3.17) e la (10.4) differiscono nelsenso che la prima (ma non la seconda) prescinde dal dominio di definizionedella u e dagli eventuali dati al contorno.□Esempio 10.6. La funzione□u(x,t) = [ 1−(x−ct) 2] − 1 2+ [ 1−(x+ct) 2] −21risolve (3.16) nel rettangoloR = {(x,t) | −1 < x−ct < 1, −1 < x+ct < 1}.Si ha che u(x,t) → ∞ quando dist(∂R,(x,t)) → 0.□10.2. Il problema ai valori iniziali in N = 3Affrontiamo qui la risoluzione del problema di Cauchy, posto in Q ∞ =R 3 ×(0, ∞),u tt −c 2 ∆u = 0, in Q ∞ , (10.9)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R 3 , (10.10)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R 3 . (10.11)Il procedimento è molto più complesso che nel caso N = 1.Notazione 10.7. Fissiamo (¯x,¯t) ∈ Q ∞ , e denotiamo con r la distanza da ¯x:r = |x− ¯x|.Introduciamo anche il cono caratteristicot− ¯t = −kr.

10.2. IL PROBLEMA AI VALORI INIZIALI IN N = 3 101Qui si è definito per comodità di notazione k = 1/c.Per una qualunque funzione v definita su Q ∞ introduciamo la trasformata(denotata dalla maiuscola)V(x, τ) = v(x, τ+ ¯t−kr),v(x,t) = V(x,t− ¯t+kr),per x ∈ R 3 , τ ≥ kr−¯t.Denotiamo poiove si è usato3∂∂r = ∂∑ r xi =∂xi=1 ir xi = x i− ¯x irLemma 10.8. La U soddisfa3x i − ¯x i∑ri=1∂∂x i,, r xi x i= 1 r − (x i− ¯x i ) 2∆U = − 2 crr 3 . (10.12)□∂∂r (rU τ). (10.13)Dimostrazione. Si trova usando il teorema di derivazione di funzionicomposte cheu xi = U xi +U τ kr xi ,u xi x i= U xi x i+2U xi τkr xi +U τ kr xi x i+U ττ k 2 r 2 x i,u t = U τ ,u tt = U ττ .Sostituendoquesteuguaglianze nella (10.9), e usando la (10.12), si arriva a− ∆U−2k ∂U τ∂rche può essere riscritta come la (10.13).−2k U τr= 0,□Lemma 10.9. Valeu(¯x,¯t) = 14π∫{|y−¯x|=c¯t}Dimostrazione. Sia ora[1|y− ¯x|∂U∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν+ 2 cΩ = {x ∈ R 3 | |x− ¯x| < c¯t}.1|y− ¯x|1]|y− ¯x| U τ(y,0) dσ y . (10.14))Osserviamo cheu(¯x,¯t) = U(¯x,0).

102 DANIELE ANDREUCCIUsando la (1.5) si ha dalla (10.13) (scritta per τ = 0)U(¯x,0) = 1 ∫ [1 ∂U4π |y− ¯x| ∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν∂Ω∫− 14π= 14πΩ∫[∂Ω∫+ 14πΩ1|y− ¯x| ∆U(y,0)dy1|y− ¯x|∂U∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν1|y− ¯x|1|y− ¯x|2 ∂( )c|y− ¯x| 2 |y− ¯x|U τ (y,0) dy.∂r)]dσ y)]dσ y(10.15)Passiamo oraacoordinatesferiche (r, ϕ, θ) nell’ultimo integrale,che diviene,ponendo per chiarezza ρ = c¯t,∫ ρ ∫02 ∂cr 2 ∂r (rU τ)r 2 drdσ = 2 ∫ρU τ dσc∂B 1 ∂B 1= 2 c∫∂B 11Sostituendo nella (10.15) si arriva subito alla (10.14).ρ U τρ 2 dσ = 2 c∫∂B ρ1ρ U τdσ.Teorema 10.10. (Formula di Kirchhoff) Se u risolve (10.9)–(10.11), alloravale per ogni (x,t) ∈ Q ∞ ,u(x,t) = 1 ∫ [ 14π c 2 t 2u 0(y)+ 1 ∂u 0ct ∂ν (y)+ 1 ]c 2 t u 1(y) dσ y . (10.16){|y−x|=ct}Dimostrazione. Intantoosserviamochenella(10.14)perovvimotivigeometrici∂(1)= − 1∂ν |y− ¯x| |y− ¯x| 2 = − 1(c¯t) 2 .Restanodacalcolare ivalori diU edellesuederivatepresentinella(10.14).Dalla definizione di U e dalle (10.2) si ha, sotto l’ipotesi r = |y− ¯x| = c¯t,U(y,0) = u(y,0) = u 0 (y),U τ (y,0) = u t (y,0) = u 1 (y),∂U y− ¯x(y,0) = ∇U(y,0)·∂ν ry− ¯x= ∇u(y,0)·=() y− ¯x∇u(y,0)−kU τ (y,0)∇r ·r−ku t (y,0) = ∂u 0∂ν (y)−ku 1(y).rSostituendo nella (10.14) si ha la (10.16), quando si torni alla notazione(¯x,¯t) = (x,t).□Teorema 10.11. Se u 0 ∈ C 4 (R 3 ), e u 1 ∈ C 3 (R 3 ), la u definita da (10.14) è diclasse C 2( R 3 ×[0, ∞) ) e soddisfa (10.9)–(10.11).La dimostrazione del Teorema 10.11 viene omessa.□

10.2. IL PROBLEMA AI VALORI INIZIALI IN N = 3 103Esercizio 10.12. Si controlli che la (10.16) è corretta dal punto di vistadimensionale, e si esprima il membro di destra, per quanto possibile, intermini di medie integrali.□Osservazione 10.13. Si può verificare che cercando soluzioni particolaridella (10.13) che annullano entrambi i membri di quest’ultima si pervienealle soluzioni dell’equazione delle onde in N = 3u(x,t) = 1|x| f( |x|−ct ) + 1|x| g( |x|+ct ) , (10.17)ove f, g : R → R.Queste soluzioni si dicono onde sferiche.Alle stessesoluzioni si giunge ricordando che se u è una soluzione radialedell’equazione delle onde (10.9) in R 3 , allora v = ru risolve l’equazionedelle ondev tt −c 2 v rr = 0, r > 0,t > 0.Rappresentando la v, secondo il Teorema 3.3, comev(r,t) = f(r−ct)+g(r+ct),tornando alla variabile u si ottiene la (10.17).Esercizio 10.14. Si prenda nella (10.17) g ≡ 0, e f ∈ C 2 (R), con f(r) = 0se r ̸∈ (r 1 ,r 2 ), con 0 < r 1 < r 2 < ∞. Si noti che la u è una soluzione delproblema di Cauchy (10.9)–(10.11). Si verifichi con un calcolo diretto lavalidità della (6.6), ove si ponga Ω = R 3 , in questo caso. Soluzione □10.2.1. L’equazione nonomogenea. Consideriamo il problemadiCauchynon omogeneo, ove cioè la (10.9) è sostituita dau tt −c 2 ∆u = f(x,t), in Q ∞ . (10.18)Si vede subito che tutti gli argomenti precedenti valgono ancora, in sostanza,salvo la presenza di un termine contenente la trasformata F dif, definita come sopra. Questo termine del resto non subisce in praticamodifiche nel corso della dimostrazione.In particolare la (10.13) è sostituita da∆U = − 2 ∂cr ∂r (rU τ)−k 2 F; (10.19)nella (10.14) si deve aggiungere a destra l’integrale∫1 14πc 2 F(y,0)dy; (10.20)|y− ¯x|{|y−¯x|

104 DANIELE ANDREUCCI10.3. Discesa al pianoIl problema di Cauchy in Q ∞ = R 2 ×(0, ∞),u tt −c 2 ∆u = 0, in Q ∞ , (10.22)si può trasformare nell’analogo problemau(x,0) = u 0 (x), x ∈ R 2 , (10.23)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R 2 , (10.24)ũ tt −c 2 ∆ x ũ−c 2 ũ zz = 0, (x,z) ∈ R 3 ,t > 0, (10.25)ũ(x,z,0) = u 0 (x), x ∈ R 2 ,z ∈ R, (10.26)ũ t (x,z,0) = u 1 (x), x ∈ R 2 ,z ∈ R. (10.27)Infatti la soluzione ũ di (10.25)–(10.27) non dipende da z, e dunque dàuna funzione di (x,t) ∈ Q ∞ che risolve il problema originale (10.22)–(10.24). Il vantaggio di questoapproccio è che la soluzione ũ si può scriverecon la formula di Kirchhoff, in cui poi si introducono le semplificazioniopportune.Questo metodo in cui si passa da una soluzione in N = 3 a una soluzionein N = 2 prende il nome di metodo della discesa.Teorema 10.15. (Formula di Poisson) La soluzione del problema di Cauchy(10.22)–(10.24) ha la rappresentazioneu(x,t) = 1 ∫u 0 (y)+∇u 0·(y−x)+tu 1 (y)√ dy. (10.28)2πct c 2 t 2 −|x−y| 2B ct (x)Dimostrazione. Iniziamo con lo scrivere la formula (10.16) per ũ(x,0,t).Usiamo le parametrizzazioni della superficie sferica |(y,z)−(x,0)| = ct√z = ± c 2 t 2 −|x−y| 2 , y ∈ B ct (x) ⊂ R 2 ,cosicché l’elemento d’area è√1+|∇z| 2 =ct√c 2 t 2 −|x−y| 2 .Usando anche il fatto che l’integrando non dipende dalla terza variabile z,a causa delle (10.26), (10.27), si arriva, sommando i contributi uguali delledue semisfere z > 0 e z < 0, au(x,t) = 2 ∫ [ 14π c 2 t 2u 0(y)+ 1 ct ∇u 0· y−x + 1 ]ct c 2 t u 1(y)B ct (x)×ct√ dy, (10.29)c 2 t 2 −|x−y| 2ove ∇ indica il gradiente in R 2 . Infatti sulla superficie sferica si ha∂ũ 0∂ν (y,z) = ∂u (0∂ν (y) = ∇u 0 (y), ∂u )0∂z (y) · ν= (∇u 0 (y),0)· (y−x,z)ct= ∇u 0 (y)· y−xct.

10.4. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI. 105Dalla (10.29) si ottiene poi subito la (10.28).Teorema 10.16. Se u 0 ∈ C 3 (R 2 ), e u 1 ∈ C 2 (R 2 ), la u definita da (10.28) è diclasse C 2( R 2 ×[0, ∞) ) e soddisfa (10.22)–(10.24).La dimostrazione del Teorema 10.16 viene omessa.10.3.1. Confronto tra le soluzioni dell’equazione delle onde in N = 1, 2,3. L’integrale nella formula di Kirchhoff (10.16) è calcolato sulla superficiesferica |y−x| = ct: questo significa che le soluzioni del problema di Cauchyin dimensione N = 3 risentono di una perturbazione dei dati inizialisolo nell’intervallo di tempo in cui questasuperficie attraversa la zona dovei dati sono perturbati. (Si potrebbe vedere che questo è vero anche inogni dimensione dispari N ≥ 5.)Viceversa, l’integrale nella formula diPoisson(10.28) ècalcolato sulcerchio|y−x| ≤ ct: questo significa che le soluzioni del problema di Cauchy indimensione N = 2risentonodiunaperturbazionedeidatiiniziali pertuttii tempi successivi al primo in cui questo cerchio raggiunge la zona dove idati sono perturbati. (Si potrebbe vedere che questo è vero anche in ognidimensione pari N ≥ 4.)Infine, nel caso N = 1, la formula di D’Alembert (10.4) mostra che il comportamentodelle soluzioni è misto: la parte dovuta al dato u(x,0) è transientecome nel caso N = 3, la parte dovuta al dato u t (x,0) è permanentecome nel caso N = 2.•Esercizio 10.17. Se i dati iniziali u 0 e u 1 sono a supporto compatto, la udefinita dalla (10.28) tende a zero per t → ∞. Determinare la velocità diconvergenza di ognuno dei tre termini. Risposta□10.4. Dipendenza continua dai dati.Per il problema di Cauchy per l’equazione delle onde vale il seguenteteorema di dipendenza continua (vedi anche la Sezione 2.6).Teorema 10.18. Sia u, rispettivamente ū, definita dalla formula di D’Alembert(10.4) con dati u 0 , u 1 , rispettivamente con dati ū 0 , ū 1 . Qui basta supporre u 1 , ū 1integrabili su ogni intervallo limitato di R. Allora si hasupx∈R|u(x,t)−ū(x,t)| ≤ sup|u 0 (x)−ū 0 (x)|+tsup|u 1 (x)−ū 1 (x)|, (10.30)per ogni t ≥ 0.x∈RDimostrazione. Dalla formula di D’Alembert segue subito per t ≥ 0|u(x,t)−ū(x,t)| ≤ 1 2 |u 0(x−ct)−ū 0 (x−ct)|x∈R+ 1 2 |u 0(x+ct)−ū 0 (x+ct)|+ 1 2c≤ supR= supR|u 0 −ū 0 |+ 1 2cx+ct ∫x−ctx+ct ∫x−ctsup|u 1 −ū 1 |dsR|u 0 −ū 0 |+tsup|u 1 −ū 1 |.R□|u 1 (s)−ū 1 (s)|ds

106 DANIELE ANDREUCCIOsservazione 10.19. La(10.30) implica la (2.27), per una costante C dipendenteda t.In questo caso i dati d sono costituiti da una coppia di funzioni (u 0 ,u 1 ). Sinoti anche che la C data dalla (10.30) diverge quando t → ∞. Questo comportamentopuò verificarsi nei problemi di evoluzione temporale: piccoledifferenze nei dati iniziali portano a grandi differenze nelle soluzioni, selasciamo passare tempi abbastanza lunghi. Del resto accade la stessa cosaper le soluzioni della semplice e.d.o. y ′ (t) = y(t). □Osservazione 10.20. Risultati simili al Teorema 10.18 si possono ottenereanche in dimensione N > 1, per esempio a partire dalle formule dirappresentazione (10.14) e (10.28).□10.5. Soluzioni deboliSupponiamo di assegnare due dati u 0 e u 1 in (10.2), (10.3) che siano solodi classe C 0 .Il ragionamento svolto nella dimostrazione del Teorema 10.1 prova chenon può esisterein questo caso una soluzione di classe C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ).Tuttavia, la funzione u data dalla formula di D’Alembert risulta definitaanche per u 0 e u 1 solo continue (e anche meno regolari, in realtà). Talefunzione u, perfino in questo caso, ha molte delle proprietà tipiche di unmoto ondoso.La dipendenza continua dimostrata nel Teorema 10.18 dà un altro puntodi vista su questo stesso fenomeno. Siano u 0 e u 1 come sopra, e siano u 0ne u 1n due successioni di funzioni regolari, per esempio in C 2 (R), tali chesupx∈R|u 0 (x)−u 0n (x)|+sup|u 1 (x)−u 1n (x)| ≤ a n , n ≥ 1,x∈Rcon a n → 0 se n → ∞. La relativa successione di soluzioni u n ∈ C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ) di (10.1)–(10.3), soddisfa per ogni t > 0sup|u(x,t)−u n (x,t)| ≤ (1+t)a n ,x∈Roveuèlafunzionegiàdefinitasopra. Questafunzioneperciòrisultalimiteper n → ∞ di soluzioni di problemi di Cauchy i cui dati convergono a u 0e u 1 .Queste considerazioni ci motivano a definire soluzione debole del problema(10.1)–(10.3) la u data dalla (10.4), a prescindere da ogni richiesta diderivabilità, e addirittura di continuità, di u 0 , u 1 : basta che l’integrale diu 1 sia definito come un numero reale su ogni intervallo limitato di R. Sinotiche questesoluzionideboli nonsono neppurecontinue se u 0 non lo è.L’esistenza e l’unicità della soluzione debole, assegnati i dati u 0 e u 1 comeappena specificato, sono ovvie.Se i dati sono regolari come nel Teorema 10.1, la soluzione debole è anchedi classe C 2 (Q ∞ ) ∩ C 1 (Q ∞ ). Tuttavia le soluzioni deboli esistono sottoipotesi molto meno stringenti sui dati, e risultano perciò più comode damaneggiare.□

10.6. ALCUNI PROBLEMI PER ALTRI DOMINI: TECNICHE DI RIFLESSIONE 107Esempio 10.21. Il dato u 0 (x) = |x| risulta limite della successione√con u 0n ∈ C ∞ (R). Infattiu 0n (x) =supx∈R√∣x 2 + 1 n , x ∈ R,x 2 + 1 n −|x| ∣ ∣∣∣∣≤ 1 √ n.La soluzione di (10.1)–(10.3) relativa alla coppia di dati (u 0 ,0) si può quinditrovare come limite delle soluzioni relative ai dati (u 0n ,0), oppure sipuò ottenere subito dalla formula di D’Alembertu(x,t) = 1 { }|x+ct|+|x−ct| .2Osservazione 10.22. Considerazioni simili a quelle svolte sopra in dimensioneN = 1sipossonoripetereanche indimensione N > 1, apartiredalleformule di rappresentazione (10.14) e (10.28). In questi casi però occorreche ∇u 0 sia definito.□□10.6. Alcuni problemi per altri domini: tecniche di riflessione10.6.1. Problemi per la corda semiinfinita. Per le soluzioni deboli delproblema (10.1)–(10.3) valgono i seguenti risultati di simmetria.Proposizione 10.23. 1) Se u 0 e u 1 sono funzioni pari, u è pari in x. Inoltre, sesi ha anche u 0 ∈ C 1 (R), e u 1 ∈ C 0 (R), allora u x (0,t) = 0, per t > 0.2) Se u 0 e u 1 sono funzioni dispari, u è dispari in x, e u(0,t) = 0 per t > 0.Dimostrazione. 1) Si calcola dalla formula (10.4), usando l’ipotesi che idati siano pari,u(−x,t) = 1 2[u0 (−x−ct)+u 0 (−x+ct) ] + 1 2c−x+ct ∫−x−ctu 1 (s)ds= 1 [u0 (x+ct)+u 0 (x−ct) ] − 1 22cx−ct ∫x+ctu 1 (σ)dσ,ove abbiamo operato il cambiamento di variabile d’integrazione σ = −s.Si vede subito che l’ultimo termine qui sopra coincide con la u(x,t) comedefinita dalla (10.4).Dunque u x (0,t), se esiste, è nulla; ma in effetti dalla (10.4) segue subitoche u è derivabile in x sotto le ipotesi di regolarità stipulate sopra.2) Si ragiona in modo simile al punto 1). □Poiché le soluzioni C 2 sono anche soluzioni deboli, la Proposizione 10.23vale anche per soluzioni di quella classe.

108 DANIELE ANDREUCCIConsideriamo i due problemi⎧u tt −c 2 u xx = 0, x > 0,t > 0,⎪⎨u(x,0) = u 0 (x), x > 0,PNu t (x,0) = u 1 (x), x > 0,⎪⎩u x (0,t) = 0, t > 0.⎧u tt −c 2 u xx = 0, x > 0,t > 0,⎪⎨u(x,0) = uPD 0 (x), x > 0,u t (x,0) = u 1 (x), x > 0,⎪⎩u(0,t) = 0, t > 0.Risultano allora vere le seguenti affermazioni:a) Siano u 0 ∈ C 1( [0, ∞) ) , e u 1 ∈ C 0( [0, ∞) ) . Continuiamo a denotare conu 0 , u 1 le estensioni pari dei dati su tutto R. Allora la soluzione deboledata da (10.4), corrispondente a questi dati estesi, soddisfa al condizioneal bordo di PN, ossia u x (0,t) = 0.b) Siano u 0 , u 1 : (0, ∞) → R, e sia u 1 integrabile sugli intervalli limitati di(0, ∞). Continuiamo a denotare con u 0 , u 1 le estensioni dispari dei dati sututto R. Allora la soluzione debole data da (10.4) soddisfa la condizioneal bordo di PD, ossia u(0,t) = 0.Possiamo dunque definire come soluzione debole di PN (rispettivamentedi PD) la u data dalla formula di D’Alembert per i dati iniziali ottenutiriflettendo in modo pari (rispettivamente in modo dispari) i dati assegnatiper x > 0, a prescindere dalle richieste di regolarità aggiunte in a) sopra.•10.6.2. Problemi in un intervallo limitato. Alcuni problemi ai valori alcontorno in un intervallo (a,b) possono essere ricondotti al problema diCauchy con tecniche di riflessione simili a quelle viste sopra. Quindipossono essere risolti con la formula di D’Alembert.Esempio 10.24. Consideriamo il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(x,0) = sinx, 0 < x < π,u t (x,0) = cosx, 0 < x < π,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0.In questo caso la riflessione dovrà essere dispari intorno a x = 0 e pariintorno a x = π. Per il Lemma C.10, i dati estesi dovranno essere{|sinx|, 0 < x < 2π,u 0 (x) =−|sinx|, −2π < x < 0;{cosx, 0 < x < 2π,u 1 (x) =−cosx, −2π < x < 0,ove poi sia inteso che u 0 e u 1 sono periodici con periodo 4π su R.□

10.6. ALCUNI PROBLEMI PER ALTRI DOMINI: TECNICHE DI RIFLESSIONE 109•

CAPITOLO 11Integrazione per convoluzioneL’idea dell’approssimazione di funzioni mediante convoluzionicon nuclei di approssimazione ha molte applicazioni. In particolarepuò essere usata per rappresentare soluzioni di e.d.p. insemispazi, o anche in altre geometrie.La formula di rappresentazioneottenuta può quindi essere usataper indagare le proprietà della soluzione.11.1. ConvoluzioniSe f è integrabile su R N , e g è limitata su R N , allora, per ogni x fissato,la funzione y ↦→ f(y)g(x−y) risulta integrabile su R N , e risulta pertantodefinita la funzione convoluzione, o prodotto di convoluzione di f e g∫f ∗g(x) = f(y)g(x−y)dy.R NIl prodotto di convoluzione è commutativo, ossiaLemma 11.1. Per f e g come sopra, vale per ogni x ∈ R N , f ∗g(x) = g∗ f(x),ossia∫f ∗g(x) = f(x−y)g(y)dy. (11.1)R NOmettiamo la dimostrazione, checomunquesibasa sull’ideadiintrodurreil cambiamento di variabili y ↦→ z = x−y, in modo da ottenere∫∫f ∗g(x) = f(y)g(x−y)dy = f(x−z)g(z)dz = g∗ f(x).R N R NInfatti la trasformazione y ↦→ x−y porta in sé il dominio di integrazioneR N , ed ha iacobiano unitario.Definizione 11.2. Una famiglia di funzioni ϕ λ : R N → R, λ > 0, si dicefamiglia di nuclei di approssimazione selim∫λ→0|x|≥aϕ λ (x) ≥ 0, per ogni x ∈ R N , λ > 0; (11.2)ϕ λ (x)dx = 1, per ogni λ > 0; (11.3)R∫N ϕ λ (x)dx = 0, per ogni a > 0. (11.4)111□

112 DANIELE ANDREUCCITeorema 11.3. Sia f una funzione integrabile e limitata su R N . Allora in ognipunto x ∈ R N di continuità per f, si ha∫f ∗ ϕ λ (x) = f(x−y)ϕ λ (y)dy → f(x), λ → 0. (11.5)R NDimostrazione. Fissiamo x ∈ R N , ove f è continua, e ε > 0. Allora,usando (11.2) e (11.3) si ha∫f(x−y)ϕ λ (y)dy− f(x)∣∣R N ∫∫=[f(x−y)− f(x)]ϕ λ (y)dy∣∣ ≤ |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dyR N R∫∫N= |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dy+ |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dy|y|≤a=: I 1 (a)+ I 2 (a),|y|≥aove a > 0 verrà scelto sotto. Iniziamo con il limitare I 1 (a): si noti che per|y| ≤ a, vale |(x−y)−x| ≤ a. Dunque, per la continuità di f in x, sea = a(ε,x) è scelto in modo opportuno, si ottienePerciò, invocando (11.3),∫I 1 (a) ≤|f(x−y)− f(x)| ≤ ε, per ogni |y| ≤ a. (11.6)|y|≤a∫εϕ λ (y)dy ≤ εR N ϕ λ (y)dy = ε.A questo punto a > 0 risulta fissato. Allora, in virtù di (11.4), ponendoM = sup R N|f|,∫∫I 2 (a) ≤ 2Mϕ λ (y)dy = 2M ϕ λ (y)dy ≤ 2Mε, (11.7)|y|≥a|y|≥apur di prendere λ ≤ ¯λ, con ¯λ > 0 opportuno. Si noti che ¯λ dipende, inprincipio, da a e da ε, ma a sua volta a è stato fissato in dipendenza da ε eda x. Dunque ¯λ = ¯λ(ε,x).Riassumendo: abbiamo provatoche perognifissato ε > 0, esisteun ¯λ(ε,x)tale che∫f(x−y)ϕ λ (y)dy− f(x)∣∣ ≤ (2M+1)ε, se 0 < λ ≤ ¯λ. (11.8)R NQuesto dimostra la tesi.In effetti piccole modifiche alla dimostrazione del precedente risultatoconducono a□

11.1. CONVOLUZIONI 113Teorema 11.4. Sia f una funzione integrabile e limitata su R N . Allora lafunzione u = u(x, λ) definita in Q + = {x ∈ R N , λ ≥ 0} da{∫u(x, λ) =R N f(x−y)ϕ λ(y)dy, λ > 0,f(x), λ = 0,è continua in (x,0), nel senso della continuità di funzioni di N+1 variabili, perogni punto x ∈ B, ove B è un aperto di continuità per f.Dimostrazione. Fissiamo x ∈ B ed ε > 0, e anche0 < σ < 1 4 dist( x,R N \B ) .Il Teorema 11.3 dimostra in effetti che la u è continua nel senso monodimensionale,ossia che λ ↦→ u(x, λ) è continua in λ = 0.Vogliamo ora invece determinare un δ = δ(ε,x) > 0 tale che∫|u(ξ, λ)−u(x,0)| =f(ξ −y)ϕ λ (y)dy− f(x)≤ ε, (11.9)∣∣R Nper ogni ξ e λ tali che |x−ξ|+λ ≤ δ.Usando (11.3) si ha∫f(ξ −y)ϕ λ (y)dy− f(x)∣∣R N ∫≤[f(ξ −y)− f(ξ)]ϕ λ (y)dy∣∣ +|f(ξ)− f(x)| =: J 1(ξ)+ J 2 (ξ).R NPer la continuità di f in x, si sa che, per ¯ρ(ε,x) opportuno,J 2 (ξ) = |f(ξ)− f(x)| ≤ ε, se |ξ −x| ≤ ¯ρ(ε,x). (11.10)Per il Teorema 11.3 (con x sostituito da ξ; vedi (11.8)) si sa già che esisteun ¯λ(ε, ξ) > 0 tale che per λ < ¯λ, si ha J 1 (ξ) ≤ (2M+1)ε. Mostriamo chein realtà ¯λ dipende solo da x e non da ξ se si suppone a priori |ξ−x| ≤ σ,ossia ξ ∈ B σ (x).Infatti, dalla dimostrazione di Teorema 11.3, si vede che ¯λ dipende da ξsoloattraverso a, eche a, d’altraparte,vaorasceltasottolasolarestrizioneche valga|f(ξ −y)− f(ξ)| ≤ ε, |y| ≤ a. (11.11)Se supponiamo anche, senza introdurre nessuna reale limitazione, vistoche x è fissato, che a ≤ σ, allora in (11.11) ξ −y, ξ ∈ B 2σ (x). Dato che fè continua nel compatto B 2σ (x) ⊂ B, è anche uniformemente continua inesso, vale a dire, esiste un a > 0 tale che la disuguaglianza (11.11) vale perogni ξ ∈ B σ (x), |y| ≤ a. Tale a dipende solo da ε e dal compatto, ossia soloda ε e da x. Dunque valeJ 1 (ξ) ≤ (2M+1)ε, 0 < λ ≤ ¯λ(ε,x). (11.12)

114 DANIELE ANDREUCCILa (11.10) e la (11.12) dimostrano (a patto di un’inessenziale ridefinizionedi ε) che (11.9) vale per ogni ξ e λ tali che|x−ξ|+λ ≤ δ, con δ = min ( σ, ¯ρ(ε,x), ¯λ(ε,x) ) ,concludendo la dimostrazione.Corollario 11.5. Se B è un aperto ove f è continua, allora la funzione u(x, λ) diTeorema 11.4 è uniformemente continua sull’insiemeK 0 = {(x,0) | x ∈ K},per ogni fissato compatto K contenuto in B.In particolare, per ogni fissato ε > 0, esiste un λ ε > 0 tale che per ogni x ∈ K,|u(x, λ)− f(x)| ≤ ε, 0 < λ ≤ λ ε . (11.13)Dimostrazione. Il Corollario segue subito osservando che, per il Teorema11.4,lauècontinuasuK 0 , equindi,perrisultatigenerali,iviuniformementecontinua, dato che tale insieme è un compatto di R N+1 . La (11.13)è conseguenza immediata della definizione di uniforme continuità. □Osservazione 11.6. Poiché la dipendenza da x nella ϕ λ ∗ f = f ∗ ϕ λ puòessere ‘letta’ mediante la ϕ λ , in linea di massima tale integrale, come funzionedi x, avrà la regolarità di ϕ λ , che potrà essere anche maggiore diquella di f. Per questo le ϕ λ , se sono regolari, si dicono anche nuclei dimollificazione.In questo modo f può essere approssimata con funzioni regolari. □Osservazione 11.7. Seallora, poiché ϕ λ ≥ 0, si può scriverem ≤ f(ξ) ≤ M, ξ ∈ R N ,mϕ λ (x−ξ) ≤ f(ξ)ϕ λ (x−ξ) ≤ Mϕ λ (x−ξ), x, ξ ∈ R N ,integrando la quale in ξ in R N si ottienem ≤ f ∗ ϕ λ (x) ≤ M, x ∈ R N . (11.14)Siconfrontiquestaproprietàcon il fenomenodiGibbs per seriediFourier,vedi Sezione 8.5.□Osservazione 11.8. Se sia la f che i nuclei ϕ λ hanno supporto compatto,la stessa proprietà vale per f ∗ ϕ λ , come è facile verificare. □Osservazione 11.9. Una classe molto usata di nuclei di approssimazione èla seguente: si parte con una ϕ ∈ C ∞ (R N ), che soddisfi (11.2), (11.3), ossia∫ϕ(x) ≥ 0, per ogni x ∈ R N ; ϕ(x)dx = 1.R NPoi si definisce per ogni λ > 0ϕ λ (x) = 1 ( ) xλ N ϕ , x ∈ R N .λ□

11.1. CONVOLUZIONI 115È facile vedere che in questo modo la (11.2) e la (11.3) sono soddisfatte.Inoltre fissato a > 0, si ha per esempio, in virtù del Lemma A.15,∫ ∫ϕ λ (x)dx = ϕ(y)dy → 0, per λ → 0,|x|≥a|y|≥ a λe quindi anche (11.4) risulta dimostrata. Si noti che questa relazione dilimite non sarebbe verificata se si fosse preso a = 0.Qualora la ϕ sia a supporto compatto, ciascuna ϕ λ risulta a supportocompatto. Per esempio, se supp ϕ = B 1 (0), allora supp ϕ λ = B λ (0). □Osservazione 11.10. In realtà la limitatezza di f su tutto R N non è davvero essenziale peri risultati sopra. È sufficiente supporre, per esempio, che la f sia limitata sul supporto ditutte le ϕ λ .□Osservazione 11.11. La (11.3) può essere sostituita da∫R N ϕ λ (x)dx → 1, λ → 0.Osservazione 11.12. La stessa dimostrazione del Teorema 11.3, quasi senza modifiche,permette di ottenere che∫R N f λ (x−y)ϕ λ (y)dy → f(x), λ → 0, (11.15)sotto le ipotesi formulate nel Teorema su f e x, e se la {f λ } è una famiglia di funzioni taliche valgano siache ancheper ogni ε > 0 esiste un a = a(x, ε) > 0 e un ¯λ = ¯λ(x, ε), taliche per ogni |y| ≤ a e per ogni 0 < λ < ¯λ si abbia|f λ (x−y)− f(x)| ≤ ε, (11.16)esiste un M 1 < ∞ indipendente da λ che soddisfi per ogniλ > 0supR N |f λ | ≤ M 1 . (11.17)Infatti basta usare nella dimostrazione la (11.16) al posto della (11.6), e la (11.17) nella(11.7). □Osservazione 11.13. Tutto quanto detto in questa Sezione vale se la parametrizzazionedei nuclei, invece che con una variabile reale λ, è fatta con la successione dei naturali n.È ovvio che tutte le convergenze per λ → 0 devono essere sostituite con convergenze pern → ∞. Volendo proprio ricadere alla lettera nel caso appena visto, se φ n è la famiglia deinuclei di approssimazione parametrizzati dai naturali, basta definireϕ λ = φ n ,1n+1 < λ ≤ 1 n . □□11.1.1. Approssimazionedella δ diDirac. Spessonelleapplicazioni sideveintrodurre in un modello matematico una quantità ‘concentrata’: unimpulso puntuale, una sorgente puntiforme, e così via.Per esempio, supponiamo che una massa unitaria di gas sia concentrataall’istante t = 0 nel punto x = 0 ∈ R 3 , e sia lasciata libera di diffondere

116 DANIELE ANDREUCCIper t > 0. Una ‘funzione’ δ ≥ 0 che costituisca il dato iniziale per laconcentrazione del gas in questo problema dovrebbe soddisfare∫∫δ(x)dx = 1 (= massa iniziale); δ(x)dx = 0, per ogni ε > 0.R 3 |x|≥εÈ chiaro che non esiste una funzione integrabile con queste proprietà: la‘massa’ dovrebbe essere concentrata tutta in solo punto x = 0, ma è notoche l’integrale su un solo punto si annulla (perché il punto ha misuranulla).Il concetto introdotto sopra in modo euristico si rende rigoroso definendoδ come una distribuzione, ossia come una applicazione δ : C(R N ) → R,definita daδ(f) = f(0), per ogni f ∈ C(R N ).Questa distribuzione è nota come delta di Dirac. Si può definire una successionedi applicazioni δ λ : C(R N ) → R comeδ λ (f) = f ∗ ϕ λ (0), per ogni f ∈ C(R N )(per esempio se tutte le ϕ λ hanno supporto contenuto in B 1 (0), vedi Osservazione11.10). Allora vale δ λ (f) → δ(f) per λ → 0 (convergenza dinumeri reali). In questo senso i nuclei ϕ λ approssimano la delta di Dirac.Ad esempio, nell’ipotetico modello accennato sopra per la diffusionedi un gas da una massa puntiforme, si potrebbero considerare problemiapprossimati corrispondenti ai dati iniziali ϕ λ .•11.2. Equazione di Laplace nel semispazioCerchiamo di risolvere il problema al contorno per l’equazione di Laplace∆u =N∑u xi x i+u yy = 0, x ∈ R N , y > 0, (11.18)i=1u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N , (11.19)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R N . L’idea è scrivere lasoluzione nella forma∫∫u(x,y) = u 0 (x−ξ)ϕ λ (ξ)dξ = u 0 (ξ)ϕ λ (x−ξ)dξ, (11.20)R N R Nove i ϕ λ sono opportuni nuclei di approssimazione. Nel seguito supponiamoche i ϕ λ abbiano tutta la regolarità necessaria per l’argomento chesvilupperemo, salvo verificarla a posteriori.È noto che l’integrale nella (11.20) tende a u 0 (x) se λ → 0. Noi vogliamochelau(x,y) tendaau 0 (x)sey → 0: dunquebasteràscegliere λ = λ(y) →0 per y → 0. Questo però garantisce solo la (11.19); resta da verificare la(11.18). Procedendo in modo formale, possiamo pensare di scambiare lederivate con il segno di integrale in (11.18), ottenendo∫∆u(x,y) = u 0 (ξ) ∆ ϕ λ(y) (x−ξ)dξ. (11.21)R N

11.2. EQUAZIONE DI LAPLACE NEL SEMISPAZIO 117Siamo quindi condotti a cercare un nucleo di approssimazione, e unafunzione λ = λ(y), tali che∆ ϕ λ(y) (x) = 0. (11.22)Lasceltadi λcomefunzionediypuòesseredeterminatadaconsiderazionidi varia natura, o con i calcoli. Ricordando l’Osservazione 11.9, tentiamoconλ(y) = y, ϕ y (x) = 1 ( x)y N ϕ , x ∈ R N ,y > 0.y11.2.1. Calcolo di ϕ y . Resta da trovare ϕ, ossia da imporre (11.22). Limitiamoci persemplicità al caso N = 1. Si ha con calcoli diretti∆ ϕ y (x) = 1 {y 3 ϕ ′′( x)+ x2y y 2 ϕ′′( x)+4 x y y ϕ′( x) ( x+2ϕ = 0.y y)}Ponendo s = x/y, e considerando s come variabile indipendente, cosicché ϕ ′ = dϕ/ds, sihaϕ ′′ (s)+s 2 ϕ ′′ (s)+4sϕ ′ (s)+2ϕ(s) = 0, s ∈ R,ossiada cui per integrazione,ϕ ′′ (s)+ ( s 2 ϕ ′ (s) ) ′ +2(sϕ(s)) ′ = 0, s ∈ R,ϕ ′ (s)+s 2 ϕ ′ (s)+2sϕ(s) = ϕ ′ (0) = 0, s ∈ R.Si è posto ϕ ′ (0) = 0 perché, per motivi di simmetria, ci aspettiamo che ϕ y (x) sia pari in x.Quindiϕ ′ (s)+ ( s 2 ϕ(s) ) ′ = 0, s ∈ R,da cuiove ϕ(0) va scelto in modo cheDunque1 =+∞ ∫−∞ϕ(s)+s 2 ϕ(s) = ϕ(0), s ∈ R,ϕ(s)ds = ϕ(0)+∞ ∫ds1+s 2 = ϕ(0)π, cioè ϕ(0) = 1 π .−∞11+s 2 , ossia ϕ y(x) = 1 πϕ(s) = 1 πUn calcolo diretto mostra che{ 1∆ ϕ y (x) = ∆πyx 2 , x ∈ R,y > 0.+y2 y}x 2 +y 2 = 0,cioè che le ipotesi fatte su ϕ sono compatibili con la (11.22).Nel caso generale si haϕ y (x) = 2σ N+1y(|x| 2 +y 2 ) N+12. (11.23)Tornando alla (11.20) si hau(x,y) = 2 ∫yu 0 (ξ) dξ, (x,y) ∈ Q + , (11.24)σ N+1 (|x− ξ| 2 +y 2 ) N+1R N 2ove si è postoQ + = {(x,y) | x ∈ R N ,y > 0}.Concludiamo: la (11.19)ègarantita, perchéla ϕ soddisfale ipotesidell’Osservazione11.9. La (11.18) invece è conseguenza dell’uguaglianza (11.21);•

118 DANIELE ANDREUCCIa sua volta questa segue da teoremi di derivazione di integrali dipendentida parametro nel cui dettaglio non entriamo.Si perviene così alla parte di esistenza nelTeorema11.14. Siau 0 ∈ C(R N )unafunzionelimitatasu R N . Alloraesisteunasola funzione u ∈ C(Q + )∩C 2 (Q + ), che sia limitata su Q + e risolva (11.18),(11.19). Tale soluzione ha la rappresentazione in (11.24).La dimostrazione dell’unicità viene omessa.Osservazione 11.15. Si noti che la soluzione u del Teorema 11.14 è unicasolo nella classe delle funzioni limitate. Se per esempio prescriviamo ildatou 0 ≡ 0, oltreall’unica soluzionelimitata u ≡ 0sihaanchelau(x,y) =y. □Osservazione 11.16. La formula (11.24) dà ancora la soluzione del problema(11.18), (11.19) seil dato u 0 è sololimitato (ma noncontinuo) su R N . Inquestocaso u ècontinuain (x,0) neipuntiinterniaintervalli dicontinuitàdi u 0 (vedi Teorema 11.4).□Proposizione 11.17. Se m ≤ u 0 ≤ M, allora m ≤ u(x,y) ≤ M. Se inoltre u 0è integrabile su R N , vale|u(x,y)| ≤ costantey N , x ∈ R N ,y > 0. (11.25)Dimostrazione. Laprimaasserzioneseguesubitodall’Osservazione11.7;comunque, con un calcolo diretto si verifica cheu(x,y) ≥ 2σ N+1∫R N my(|x−ξ| 2 +y 2 ) N+12Per quanto riguarda la (11.25), si ha|u(x,y)| ≤ 2σ N+1∫R N |u 0 (ξ)|y(|x−ξ| 2 +y 2 ) N+12∫dξ = mdξR N ϕ y (x−ξ)dξ = m.≤ 2 ∫y|u 0 (ξ)|σ N+1 y N+1 dξ.R N □Osservazione 11.18. (Comportamento asintotico) La (11.25) asserisceche se il dato al bordo è integrabile, la soluzione non solo è limitata, matende a zero per y → ∞. Si potrebbe comunque dimostrare, come inProposizione 11.24, che vale in questo caso∫ ∫u(x,y)dx = u 0 (x)dx, per ogni y > 0. (11.26)R N R N□

11.3. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 11911.3. Il problema di Cauchy per l’equazione del caloreLeideedellaSezione11.2sipossonoapplicareanchenelcasodell’equazionedel calore. Qui, come d’uso quando si trattano equazioni paraboliche,indichiamo con t la variabile ‘tempo’, e denotiamoQ ∞ = {(x,t) | x ∈ R N ,t > 0}.Tuttavia in questo caso, nella scelta di ϕ λ(t) (x), si deve prendere λ(t) =√Dt, e, in particolare,ϕ λ (x) =1(2 √ x24λπλ) Ne− 2 . (11.27)La giustificazione di questa scelta verrà discussa nella Sottosezione 11.3.2.Consideriamo il problema di CauchyValeu t −D ∆u = 0, x ∈ R N ,t > 0, (11.28)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N . (11.29)Teorema11.19. Siau 0 ∈ C(R N )unafunzionelimitatasu R N . Alloraesisteunasola funzione u ∈ C(Q ∞ )∩C 2,1 (Q ∞ ), che sia limitata su Q ∞ e risolva (11.28) e(11.29). Tale soluzione ha la rappresentazione∫1u(x,t) = u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ, (x,t) ∈ Q ∞ . (11.30)2R NLa dimostrazione del Teorema 11.19 viene omessa (vedi anche la Sottosezione11.3.1).Definizione 11.20. La funzione1Γ(x,t) =(4πDt) N 2e − x24Dt , x ∈ R N ,t > 0, (11.31)si dice soluzione fondamentale dell’equazione del calore.Osservazione 11.21. Il significato della soluzione fondamentale (11.31) èstato accennato nella Sottosezione1.2.3. Si vedano anche la Figura 11.1 e laTavola 11.1.□□Γ(x,t) x = 0 x = 10 −2 x = 10 −1 x = 1 x = 10 x = 10 2t = 10 −3 8.92 8.70 0.73 < ε < ε < εt = 10 −2 2.82 2.81 2.19 < η < ε < εt = 10 −1 0.89 0.89 0.87 0.07 < ε < εt = 1 0.28 0.28 0.28 0.21 < η < εt = 10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.007 < εt = 5·10 3 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.002Tabella 11.1. Alcunivalori numerici assuntida Γ(x,t), perN = 1, D = 1. Qui ε = 10 −100 , η = 10 −10 .

120 DANIELE ANDREUCCI5432Γ(x,t)10-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xFigura 11.1. I grafici di Γ(x,t) in dimensione N = 1 corrispondentiai tempi t = 10 −3 , 10 −2 , 10 −1 , 1. Si è assuntoD = 1.Osservazione 11.22. La formula (11.30) dà ancora la soluzione del problema(11.28), (11.29) seil dato u 0 è sololimitato (ma noncontinuo) su R N . Inquestocaso u ècontinuain (x,0) neipuntiinterniaintervalli dicontinuitàdi u 0 (vedi Teorema 11.4).□Proposizione 11.23. Se m ≤ u 0 ≤ M, allora m ≤ u(x,t) ≤ M. Se inoltre u 0 èintegrabile su R N , vale|u(x,t)| ≤ costantet N 2, x ∈ R N ,t > 0. (11.32)Dimostrazione. La prima asserzione segue subito da∫ ∫1u(x,t) ≤ Me −(x−ξ)2(4πDt) N 4Dt dξ = M Γ(x−ξ,t)dξ = M.2R N R NPer quanto riguarda la (11.32), si ha∫∫11|u(x,t)| ≤ |u(4πDt) N 0 (ξ)|e −(x−ξ)2 4Dt dξ ≤ |u2(4πDt) N 0 (ξ)|dξ.R N 2R NProposizione11.24. (Conservazione della massa)Sia u 0 continua,limitatae integrabile in R N . Allora la soluzione u di (11.28), (11.29) risulta integrabilein R N per ogni fissato livello temporale t > 0, e vale∫ ∫u(x,t)dx = u 0 (x)dx, t > 0. (11.33)R N R N□

11.3. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 121La dimostrazione si basa sul seguente procedimento formale:∫ ∫u(x,t)dx =R NR N {∫=∫1}u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ dx2R N ∫1}e −(x−ξ)2(4πDt) N 4Dt dx u 0 (ξ)dξ =2R NR N {∫R N u 0 (ξ)dξ,perché ∫ N Γ(x,t)dx = 1. Lo scambio degli integrali andrebbe però giustificatoin modoRrigoroso.11.3.1. Dimostrazione dell’unicità di soluzioni nel caso N = 1. Usiamo un metodo ditipo energetico (vedi Capitolo 6). Siano u 1 e u 2 due soluzioni limitate come nell’enunciato.Poniamo v = u 1 −u 2 . Allora v risolve il problema (11.28), (11.29), con dato inizialev(x,0) = 0, x ∈ R.Sia ψ ∈ C 2 (R) una funzione tale cheψ(x) = 1, |x| ≤ 1; ψ(x) = 0, |x| ≥ 2; ψ(x) ≥ 0, 1 ≤ |x| ≤ 2.Definiamo poi per un ρ > 0 fissato( xζ(x) = ψ .ρ)Si noti cheζ(x) = 1, |x| ≤ ρ; ζ(x) = 0, |x| ≥ 2ρ;ζ(x) ≥ 0, ρ ≤ |x| ≤ 2ρ;|ζ ′ (x)| ≤ C ρ , x ∈ R; |ζ′′ (x)| ≤ C ρ 2 , x ∈ R,ove si può prendere C = max R (|ψ ′ |+|ψ ′′ |).Supponiamo per semplicità che v ∈ C 2,1 (Q ∞ ): il caso generale segue mediante approssimazionedel dominio: si integra per parti in R×(ε,t) e poi si prende il limite ε → 0.Moltiplichiamo l’equazione v t −Dv xx = 0 per vζ e integriamo per parti, ottenendo∫ t0 =+∞ ∫0 −∞∫ t+D= 1 2−2ρvζ(v τ −Dv xx )dxdτ = 1 ∫ 2ρv(x,t) 2 ζ(x)dx2−2ρ∫ 2ρ0 −2ρ∫ 2ρDunque, per le proprietà di ζ,∫ ρ−ρv(x,t) 2 dx ≤∫ 2ρ−2ρ(v 2 x ζ +vv xζ ′ )dxdτ∫ tv(x,t) 2 ζ(x)dx+D∫ 2ρ0 −2ρ−D 1 ∫t ∫ 2ρv(x, τ) 2 ζ ′′ (x)dxdτ.20 −2ρv(x,t) 2 ζ(x)dx∫ t≤ D2ρ ∫0 −2ρv(x, τ) 2 ζ ′′ (x)dxdτ ≤ CDρ 2v x (x, τ) 2 ζ(x)dxdτ∫t∫ 2ρ0 −2ρM 2 dxdτ = 4CDM2 t,ρ

122 DANIELE ANDREUCCIove M è una costante che maggiora |v| in Q ∞ ; infatti v è limitata come differenza difunzioni limitate. Per ρ → ∞ si ottiene+∞ ∫v(x,t) 2 dx ≤ 0,−∞ossia v(x,t) = 0 per ogni x. Dato che t > 0 può essere scelto ad arbitrio, segue chev ≡ 0.•11.3.2. Ricercadellasoluzionefondamentale. Unmetododiversodiricercaèsvolto nellaSezione 14.3.Cambiando la variabile dei tempi in t ′ = Dt, ma usando da subito il vecchio nome divariabile t per la nuova, si vede che nei calcoli si può supporre D = 1, fermo restando chedovremo poi eseguire la sostituzione inversa nella funzione trovata.Cerchiamo una soluzione del problemaΓ t − ∆ Γ = 0, x ∈ R N ,t > 0, (11.34)Γ(x,0) = δ(x), x ∈ R N , (11.35)nella forma di nucleo di approssimazione. La dipendenza del parametro λ da t è a prioriignota; indicheremo questo parametro con R(t). Dunque poniamoΓ(x,t) = 1 ( |x|)R(t) N f . (11.36)R(t)Qui f e R sono funzioni positive, da determinare, che supporremo abbastanza regolari dagiustificare i calcoli seguenti, salvo verificare in ultimo che lo siano davvero.CalcoliamoΓ t = −N Ṙ(t) ( |x|)R(t) N+1 f − Ṙ(t) |x|R(t) R(t) N+1 R(t) f′( |x|).R(t)Poi1 x∇ Γ(x,t) =R(t) N+1 |x| f′( |x|),R(t)1[ N−1∆ Γ(x,t) = div∇ Γ(x,t) =R(t) N+1 |x|Dunquef ′( |x|)+ xR(t) |x| ·x|x|R(t) f′′( |x|)].R(t)1Γ t − ∆ Γ = −R(t) N+2 [× NR(t)Ṙ(t)f +R(t)Ṙ(t) |x|R(t) f′ + f ′′ +(N−1) R(t) f ′] = 0,|x|ovesièsottintesaladipendenzadi f, f ′ , f ′′ dalloroargomento|x|/R(t). Poichélefunzioniincognite sono due, f ed R, occorre estrarre due equazioni differenziali dall’uguaglianzaprecedente. Intanto osserviamo che, ponendos = |x|R(t) ,ed attribuendo ad s il significato di variabile indipendente, si haNR(t)Ṙ(t)f(s)+R(t)Ṙ(t)sf ′ (s)+ f ′′ (s)+ N−1 f ′ (s). (11.37)sSi noti che le derivate di f si possono ora intendere rispetto alla variabile s. Separando levariabili, come per esempio nella Sezione 3.1, si arriva alle due equazioni[a[Nf(s)+sf ′ (s)]+f ′′ (s)+ N−1 f ′ (s)sṘR = a,]= 0,

11.4. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELL’EQUAZIONE DEL CALORE 123ove a > 0 è una costante, per ora non identificata. La positività di a segue dal fatto cheR dovrà essere crescente. Osserviamo che le due quantità in parentesi quadre nell’equazioneper f si prestano ad essere trasformate in derivate esatte, possedendo l’omogeneitàappropriata. Moltiplicando cioè la e.d.o. per s N−1 si haa[Ns N−1 f(s)+s N f ′ (s)]+[s N−1 f ′′ (s)+(N−1)s N−2 f ′ (s)] = 0,ossia secondo la regola di LeibnizNe segue chea[s N f(s)] ′ +[s N−1 f ′ (s)] ′ = 0.as N f(s)+s N−1 f ′ (s) = 0,ove si è anche usata la condizione di simmetria f ′ (0) = 0 (si veda anche il Lemma B.1). Aquesto punto abbiamo due e.d.o. del primo ordine risolubili in modo immediato.A causa della condizione iniziale (11.35) si deve avere R(0) = 0. Una integrazioneelementare dà alloraR(t) = √ 2at, t ≥ 0. (11.38)Poida cuiR N e − a|x|2f ′ (s) = −asf(s),f(s) = f(0)e − as22 , s ∈ R. (11.39)La funzione f(|x|), secondo la teoria dei nuclei di approssimazione, deve avere integralepari ad 1 su R N , quindi∫ [∫ ] N [1 = f(0) 2 dx = f(0) e − as2 2π] N22 ds = f(0) .aQuesto determina f(0), cosicché[ a] N2f(s) = e − as22 , s ∈ R. (11.40)2πSostituendo (11.38) e (11.40) in (11.36) si ottiene l’espressione (11.31) della soluzione fondamentale.Si noti che è scomparsa ogni dipendenza dalla scelta della costante a.Si verifica a questo punto per ispezione diretta che la Γ soddisfa le (11.34)–(11.35). Inparticolare la seconda è verificata nel senso∫lim g(ξ)Γ(ξ,t)dξ = δ(g) = g(0), per ogni g ∈ C(R N ) limitata.t→0R N11.4. Proprietà qualitative di soluzioni dell’equazione del calore11.4.1. Propagazione con velocità infinita. Qui supponiamo sempre cheu 0 ≥ 0. Quindi la soluzione di (11.28), (11.29) risulta anch’essa non negativa.Consideriamo il caso in cui il dato iniziale u 0 è non negativo, ediverso da zero solo su un dominio limitato, per esempio B L (0). Allora lasoluzione corrispondente vale∫1u(x,t) = u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ, (x,t) ∈ Q ∞ . (11.41)2B L (0)È facile osservare che per ogni scelta di (x,t) ∈ Q ∞ , la u(x,t) è espressadall’integrale su B L (0) di una funzione strettamente positiva (per quanto,in generale, ‘piccola’). Perciò, per ogni fissato t > 0, u(x,t) risulta positivoper ogni x ∈ R N , nonostante che il dato iniziale fosse nullo fuori di B L (0).R•

124 DANIELE ANDREUCCIQuesto fenomeno è noto come propagazione con velocità infinita delle perturbazioni.Si noti che, per esempio, nel caso dell’equazione delle onde nonavviene niente del genere.È chiaro però che un modello ragionevole di diffusione non può predireche ci sia una consistente fuga di massa (o di calore) verso l’infinito inun tempo piccolo a piacere. Si noti infatti che la quantità in (11.41) èpiccolissima per t 0, |x| ≫ 1. In realtà la zona ove risulta confinataquasi tutta la massa si allarga con velocità finita (e anzi decrescente neltempo), come precisa il prossimo risultato.Proposizione 11.25. Per ogni 0 < ε < 1 esiste un C = C(ε) > 0 tale che∫∫u(x,t)dx ≥ (1−ε) u 0 (x)dx, (11.42)|x|≤C √ Dt+L|x|≤Lper ogni t e L positivi, e per ogni u 0 ≥ 0 e limitata su R N .Dimostrazione. Usandolaformuladirappresentazionesiha, fissato L >0, e per un C > 0 da scegliere,∫ ∫1u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξdx2|x|≤C √ Dt+L R N∫ ∫1≥u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξdx2|x|≤C √ Dt+L|ξ|≤L∫ { ∫1}= u 0 (ξ) e −(x−ξ)2(4πDt) N 4Dt dx dξ2|ξ|≤L|x|≤C √ Dt+L∫ { ∫ 1}= u 0 (ξ)e −z2 dz dξπ N 2|ξ|≤L |2z √ Dt+ξ|≤C √ Dt+L∫ { ∫ 1}≥ u 0 (ξ) e −z2 dz dξ,π N 2|ξ|≤L |z|≤ C 2ove si è usato che per |ξ| ≤ L vale{z | |z| ≤ C }⊂ {z | |2z √ Dt+ξ| ≤ C √ Dt+ L}.2Fissato ε > 0, esiste un C = C(ε) tale che∫1e −z2 dz ≥ 1 ∫π N 2|z|≤ C 2π N 2R N e −z2 dz−ε = 1−ε.Questo conclude la dimostrazione.□Applicando la (11.42) al caso di u 0 nullo al di fuori di B L (0), otteniamoche la massa, a meno di una frazione ε prefissata, resta confinata in unaregione che si allarga come t N/2 .

11.4. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELL’EQUAZIONE DEL CALORE 125La Proposizione 11.25 istituisce una relazione tra l’ampiezza della zonache contiene la massa e il massimo della u in tale regione:∫∫ω N R ε (t) N max u(x,t) ≥ u(x,t)dx ≥ (1−ε) u 0 (ξ)dξ > 0,|x|≤R ε (t)|x|≤R ε (t)|ξ|≤L(11.43)ove si è posto R ε (t) = C √ Dt+ L, e si suppone valga u 0 ̸≡ 0 su B L (0).Dunque a maggior ragionesupu(x,t) ≥ costantex∈R R ε (t) N . (11.44)Per grandi t, e per u 0 integrabile, il tassodi decadimentodato dalla (11.44)è proprio quello della stima (11.32), che quindi risulta ottimale quandou ≥ 0. Si può dire di più: non solo il massimo, ma anche il minimo di usoddisfa una stima simile alla (11.43).Proposizione 11.26. Sia u 0 continua e limitata in R N . Allora per ogni L > 0,t 0 > 0 valeoveu(x,t) ≥ H(Dt) N 2H =(4π) N 2, |x| ≤ L √ Dt0√Dt,t ≥ t0 , (11.45)e−L2Dt 0∫|ξ|≤Lu 0 (ξ)dξ.Dimostrazione. Si ha, visto che u 0 ≥ 0,∫1u(x,t) ≥ u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ ≥ e−K22(4πDt) N 2se valgono |ξ| ≤ L e|ξ|≤L∫|ξ|≤Lu 0 (ξ)dξ,(x−ξ) 2≤ K 2 , ossia |x−ξ| ≤ 2K √ Dt. (11.46)4DtQui K > 0 è una costante da scegliere. D’altronde, nelle ipotesi |x| ≤L √ t/t 0 e |ξ| ≤ L, la (11.46) segue da|x−ξ| ≤ |x|+|ξ| ≤ L √t0√t+L ≤ 2K√Dt,purché si prenda per esempio K = L/ √ Dt 0 , t ≥ t 0 .Esercizio 11.27. Si studi il segno della derivata temporale Γ t per t > 0fissato, trovando gli insiemi di R N ove tale derivata è positiva o negativa.Si interpreti il risultato alla luce della Sottosezione 1.2.3. Risposta □Esercizio 11.28. Per ogni fissato x ∈ R N , x ̸= 0, si determini la quantitàmaxt≥0 Γ(x,t).Alla luce del risultato, si spieghi perché nella Tavola 11.1 si è selezionatoproprio t = 5·10 3 , data la scelta lì compiuta dei punti x. Risposta □□•

126 DANIELE ANDREUCCI11.4.2. Effetto regolarizzante. Supponiamo per semplicità N = 1. Seu 0 (x) = χ (0,+∞) (x) − χ (−∞,0) (x) (una funzione a gradino), la soluzionesi può mettere nella formau(x,t) = 2 √ πx2 √ Dt ∫0e −s2 ds, x ∈ R,t > 0. (11.47)Si noti che la u è in C ∞ ({t > 0}), mentre il dato iniziale non è neppurecontinuo. Questo è un esempio del cosiddetto effetto regolarizzante dell’equazionedel calore, che fa sì che le soluzioni di tale equazione siano sempredi classe C ∞ in ogni aperto dove sono definite, anche se i dati iniziali (o albordo) non lo sono.•11.5. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nella sferaNonostante la geometria sia diversa, anche la soluzione del problema diDirichlet∆u = 0, in B R (x 0 ), (11.48)u = u 0 , su ∂B R (x 0 ), (11.49)ove x 0 ∈ R N , R > 0, può essere espressa mediante un integrale che insostanza è un prodotto di convoluzione. La formula risolutiva èu(x) = 1σ N R∫∂B R (x 0 )R 2 −|x−x 0 | 2|x−ξ| N u 0 (ξ)dσ, |x−x 0 | < R, (11.50)u(x) = u 0 (x), |x−x 0 | = R. (11.51)La formula integrale in (11.50) si dice formula di Poisson. Vedi anche laSottosezione 9.4.3.Nel seguito indichiamo con ∆ x , ∇ x gli operatori differenziali in cui lederivate sono calcolate rispetto alle componenti di x.Proposizione 11.29. Il nucleo di PoissonK(x, ξ) = 1 R 2 −|x−x 0 | 2σ N R |x−ξ| N , x ∈ B R (x 0 ), ξ ∈ ∂B R (x 0 ),è, per ogni ξ fissato, una funzione di classe C ∞ (B R (x 0 )) nella x. Vale poi∆ x K(x, ξ) = 0, in B R (x 0 ). (11.52)Dimostrazione. La regolarità asserita per K è ovvia. Va solo dimostratala (11.52). Per semplicità di notazione e senza perdita di generalitàassumiamo x 0 = 0, e procediamo a derivare:xσ N R∇ x K = −2|x−ξ| N − N x−ξ|x−ξ| N+2[R2 −|x| 2 ].

11.5. EQUAZIONE DI LAPLACE NELLA SFERA 127−1−0.500.51−1 −0.5 0 0.5 1−0.1−0.0500.050.10.8 0.85 0.9 0.95 1Per cuiFigura 11.2. Caso N = 2. A sinistra: le linee di livello di2πK(x, ξ), per x 0 = (0,0), ξ = (1,0), R = 1, corrispondentiai valori 0,1; 1; 10.A destra: (notare la diversa scala) le linee di livello corrispondentiai valori 10; 100; 500.La linea tratteggiata è la circonferenza ∂B 1 (0).σ N R ∆ x K = σ N Rdiv x (∇ x K) = − 2N x·(x−ξ)+2N|x−ξ| N |x−ξ| N+2−N 2|x−ξ| N+2[R2 −|x| 2 ]+2N x·(x−ξ)|x−ξ| N+2+ N(N +2) |x−ξ|2|x−ξ| N+4[R2 −|x| 2 ]1{=|x−ξ| N+2 −2N|x−ξ| 2 +4Nx·(x−ξ)− N 2 [R 2 −|x| 2 ]}+ N 2 [R 2 −|x| 2 ]+2N[R 2 −|x| 2 ]1{=|x−ξ| N+2 −2N|x| 2 +4Nx·ξ −2N|ξ| 2 +4N|x| 2−4Nx·ξ +2NR 2 −2N|x| 2} = 0.Sia il numeratore che il denominatore di K vanno a zero per x → ξ. Sivede comunque che in effetti K diviene illimitata per x → ξ. È poi ovviochelimx→y K(x, ξ) = 0, se y ∈ ∂B R(x 0 ), y ̸= ξ.Esercizio11.30. Trovareinmodoesplicitol’equazionedellecurvedilivellomostrate nella Figura 11.2.Quindi spiegare che cosa è sbagliato nel seguenteragionamento: la K(·, ξ)(per ξ fissato) è una funzione armonica nella regione interna a ciascuna□

128 DANIELE ANDREUCCIcurva di livello, e pertanto per il principio di massimo è costante in taleregione.□Corollario 11.31. Vale per ogni x ∈ B R (x 0 )∫K(x, ξ)dσ ξ = 1. (11.53)∂B R (x 0 )Dimostrazione. Prendiamo x 0 = 0 per brevità di calcolo, cosa semprepossibile a meno di inessenziali traslazioni. Si consideri la funzione∫v(x) = K(x, ξ)dσ ξ , x ∈ B R (0).∂B R (0)Dalla Proposizione 11.29, e derivando sotto il segno di integrale, segueche v è una funzione armonica in B R (0) (si puòvedereanche la (11.54) permaggior chiarezza). Si noti che, per il momento, non asseriamo nulla sulcomportamento di v per |x| → R.Tuttavia si vede subito che v ha simmetria radiale: sia A una rotazione inR N . Vale allora, visto che A è un’isometria,v(Ax) = 1σ N R∫∂B R (0)R 2 −|Ax| 2|Ax−ξ| N dσ ξ= 1σ N R∫∂B R (0)R 2 −|x| 2|x−A −1 ξ| N dσ ξ = v(x).Infatti per ovvi motivi di simmetria la rotazione A −1 porta la superficie∂B R (0) in sé, e non cambia l’elemento d’area della parametrizzazione,essendo un’isometria.Per il principio di massimo, una v armonica nella sfera, e radiale, non puòche essere ivi costante, perché lo è sulla frontiera di ogni sfera concentricacontenuta in B R (0).Per determinare la costante, basta valutare v(0), che èv(0) = 1 ∫R 2σ N R |ξ| N dσ ξ = 1 R 2 ∫σ N R R N dσ ξ = 1.∂B R (0)∂B R (0)Teorema 11.32. Se u 0 ∈ C(∂B R (x 0 )), la funzione u definita da (11.50)–(11.51)appartiene a C ∞ (B R (x 0 ))∩C(B R (x 0 )), e risolve il problema (11.48).Dimostrazione. Teoremi noti garantiscono che l’integrale in (11.50) sipuò derivare (per x all’interno della sfera B R (x 0 )) scambiando la derivatacon il segno di integrale. Perciò u ∈ C ∞ (B R (x 0 )), e∫∆u(x) = ∆ x K(x, ξ)u 0 (ξ)dσ ξ = 0, (11.54)per la Proposizione 11.29.∂B R (x 0 )□

11.5. EQUAZIONE DI LAPLACE NELLA SFERA 129Resta solo da provare che la u è continua fino su ∂B R (x 0 ). Per far questousiamo lo stesso argomento applicato nella dimostrazione del Teorema11.3, cui rimandiamo per una spiegazione della logica dei passaggi.Confrontando le ipotesi fatte sui nuclei di approssimazione, con le proprietàdella K, si vede che: la non negatività (11.2) corrisponde al fattoovvio K ≥ 0; l’ipotesi (11.3) è sostituita dalla (11.53); la (11.4) verrà commentatasotto. Per ora notiamo che il limite λ → 0 nel Teorema11.3, vienequi sostituito dal limite x → ¯x ∈ ∂B R (x 0 ), che implica |x| → R.Fissati ¯x ∈ ∂B R (x 0 ) ed ε > 0, fissiamo un a = a(ε, ¯x) > 0 tale che|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| ≤ ε, ∀|ξ − ¯x| ≤ a,ξ ∈ ∂B R (x 0 ). (11.55)Nel seguito supponiamo che x sia abbastanza vicino a ¯x, ossia|x− ¯x| ≤ a 2 . (11.56)Definiamo ancheM = max |u 0|.∂B R (x 0 )Dunque si ha, dividendo l’integrale su due porzioni di superficie,∣ ∣∣∣∣∣∣∫|u(x)−u 0 (¯x)| =K(x, ξ)[u 0 (ξ)−u 0 (¯x)]dσ ξ∣∂B R (x 0 )∫≤ K(x, ξ)|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| dσ ξ|ξ−¯x|≥a∫+≤ 2M|ξ−¯x|≤a∫|ξ−¯x|≥aK(x, ξ)|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| dσ ξK(x, ξ)dσ ξ + ε≤ 2M 1 R 2 −|x| 2σ N R (a/2) N∫|ξ−¯x|≥aQui si è anche usato il fatto che su {|ξ − ¯x| ≥ a}∫|ξ−¯x|≤adσ ξ + ε.K(x, ξ)dσ ξ(11.57)|x−ξ| ≥ |¯x−ξ|−|¯x−x| ≥ a 2 ,per la (11.56). Osserviamo inoltre cheR 2 −|x| 2 = (|¯x|+|x|)(|¯x|−|x|) ≤ 2R|¯x−x|.Dunque dalla (11.57) si ottieneammesso che|u(x)−u 0 (¯x)| ≤ ε+2 N+2 MR N−1 a −N |¯x−x| ≤ 2ε,|¯x−x| ≤ δ := min ( 2 −N−2 M −1 R −N+1 a N ε,2 −1 a ) .La dimostrazione della continuità in ¯x è conclusa.L’ipotesi (11.4) qui è sostituita dalla possibilità di rendere piccolo l’integralesu {|ξ − ¯x| ≥ a} pur di prendere x vicino a sufficienza a ¯x. □

130 DANIELE ANDREUCCIUna delle conseguenze del Teorema11.32 è il seguente risultato di regolarizzazione.Corollario 11.33. Se u è armonica in Ω aperto, allora u ∈ C ∞ (Ω).Dimostrazione. Presaunaqualunque sferaaperta B la cuichiusuragiacein Ω, consideriamo la soluzione w di{∆w = 0, in B,w = u, su ∂B.Visto che u−w soddisfa il principio di massimo (vedi i teoremi 4.1 e 4.5),vale u = w in B. Perciò u ∈ C ∞ (B), per il Teorema 11.32. L’arbitrarietà diB ⊂ Ω completa la dimostrazione.□

CAPITOLO 12Problemi non omogeneiIl principio di Duhamel stabilisce che la soluzione di un problemalineare non omogeneo può essere rappresentata comecombinazione di soluzioni di opportuni problemi omogenei.Può essere usato per stabilire formule di rappresentazione disoluzioni di alcune e.d.p. non omogenee.12.1. Il principio di DuhamelSecondo il principio di Duhamel la soluzione di un problema con sorgentenon nulla si ottiene come sovrapposizione di soluzioni di problemi consorgente nulla ma dati ‘iniziali’ corrispondenti a un ‘impulso’ pari allasorgente stessa.Esempio 12.1. Consideriamo il problema di Cauchy per e.d.o.:dy= ay+ f(t),dt(12.1)y(0) = 0, (12.2)ove a ∈ (0, ∞) e f ∈ C([0, ∞)).Applicando il principio di Duhamel risolviamo per ogni 0 < τ < tLa soluzione èSovrapponendo si hay(t) =∫ t0dz(t; τ) = az(t; τ),dtz(τ; τ) = f(τ).z(t; τ) = f(τ)e a(t−τ) , t ≥ τ.z(t; τ)dτ =che è la soluzione cercata di (12.1)–(12.2).Per linearità la soluzione di∫ t0f(τ)e a(t−τ) dτ, t ≥ 0,12.2. Equazione delle ondeu tt −c 2 u xx = f(x,t), − ∞ < x < ∞,0 < t < T,u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞,u t (x,0) = u 1 (x), − ∞ < x < ∞,131□

132 DANIELE ANDREUCCIsi può scrivere come u = v+w, oveev tt −c 2 v xx = 0, − ∞ < x < ∞,0 < t < T,v(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞,v t (x,0) = u 1 (x), − ∞ < x < ∞,w tt −c 2 w xx = f(x,t), − ∞ < x < ∞,0 < t < T, (12.3)w(x,0) = 0, − ∞ < x < ∞, (12.4)w t (x,0) = 0, − ∞ < x < ∞. (12.5)Sappiamo già come ottenere v (vedi Capitolo 10).Qui mostreremo come rappresentare w. L’idea di partenza è di applicareil principio di Duhamel, e quindi di scriverew(x,t) =∫ t0z(x,t; τ)dτ, (12.6)ossia di ottenere w come somma, o per la precisione, come integrale di‘contributi’ z(x,t; τ) presi a tutti i tempi 0 < τ < t. Nella (12.6) integriamosu (0,t), piuttosto che per esempio su (0, ∞), per ragioni ovviedal punto di vista modellistico: è ragionevole supporre che il valore dellasoluzione di un’equazione di evoluzione sia influenzato solo dai datipresi sull’intervallo temporale che intercorre tra l’istante iniziale e quelloattuale.Intanto la (12.6) risolve senz’altro la (12.4). Calcoliamo poi, assumendoche z sia regolare a sufficienza,Prendiamo∫ tw t (x,t) = z(x,t;t)+0z t (x,t; τ)dτ.z(x,t;t) = 0, −∞ < x < ∞, (12.7)per ogni T > t > 0. Allora anche (12.5) è soddisfatta. Proseguendo neicalcoli si ha∫ tw tt (x,t) = z t (x,t;t)+w xx (x,t) =∫ t00z tt (x,t; τ)dτ,z xx (x,t; τ)dτ.Dunque, affinché la (12.3) sia soddisfatta, deve essere∫ tz t (x,t;t)+ [z tt −c 2 z xx ](x,t; τ)dτ = f(x,t), −∞ < x < ∞,0 < t < T.0

12.2. EQUAZIONE DELLE ONDE 133Alla (12.7) allora aggiungiamo le altre due condizioniz tt (x,t; τ)−c 2 z xx (x,t; τ) = 0, x ∈ R,τ < t < T, (12.8)z t (x, τ; τ) = f(x, τ), x ∈ R, (12.9)Come è noto, le (12.7), (12.8), (12.9) determinanola z come soluzione diunproblema di Cauchy con istante iniziale τ. Dalla formula di D’Alembert siottienez(x,t; τ) = 1 2cSostituendo nella (12.6) si ha infinew(x,t) = 1 2c∫ t0x+c(t−τ) ∫x−c(t−τ)x+c(t−τ) ∫x−c(t−τ)Ritroviamo il risultato in modo rigoroso:f(s, τ)ds.f(s, τ)dsdτ. (12.10)Teorema 12.2. Siano f, f x ∈ C ( R×[0,T] ) . Allora la w data dalla (12.10) è inC 2( R×[0,T] ) e risolve (12.3)–(12.5).Dimostrazione. I calcoli che hanno portato alla (12.10) sono in parte formali.Conviene quindi partire proprio dalla (12.10), che definisce senz’altrouna w ∈ C ( R×[0,T] ) , se f ∈ C ( R×[0,T] ) . Sotto la medesimaipotesiw x (x,t) = 1 2cw t (x,t) = 1 2∫ t0∫ tSe poi f x ∈ C ( R×[0,T] ) , valew xx (x,t) = 1 2c0∫ tw tt (x,t) = f(x,t)+ c 2w xt (x,t) = 1 20∫ t{f ( x+c(t−τ), τ ) − f ( x−c(t−τ), τ )} dτ,{f ( x+c(t−τ), τ ) + f ( x−c(t−τ), τ )} dτ.{f x(x+c(t−τ), τ) − fx(x−c(t−τ), τ) } dτ,∫ tLa tesi è così dimostrata.00{f x(x+c(t−τ), τ) − fx(x−c(t−τ), τ) } dτ,{f x(x+c(t−τ), τ) + fx(x−c(t−τ), τ) } dτ.Esercizio 12.3. Si ritrovi la formula (10.21) applicando il principio di Duhamel,e la (10.16).□□

134 DANIELE ANDREUCCI12.3. Equazione del caloreAnche qui scriviamo la soluzione u dicome u = v+w, oveeu t −D ∆u = f(x,t), x ∈ R N ,0 < t < T,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N ,v t −D ∆v = 0, x ∈ R N ,0 < t < T,v(x,0) = v 0 (x), x ∈ R N ,w t −D ∆w = f(x,t), x ∈ R N ,0 < t < T, (12.11)w(x,0) = 0, x ∈ R N . (12.12)La v è stata ottenuta nel Capitolo 11.Ragionando come nella Sezione 12.2 si vede cheove z risolvew(x,t) =∫ t0z(x,t; τ)dτ,z t (x,t; τ)−D ∆z(x,t; τ) = 0, x ∈ R N , τ < t < T,Dunque, per la (11.30),w(x,t) =∫ t0z(x, τ; τ) = f(x, τ), x ∈ R N .∫1[ ] N4πD(t−τ)2R N e − |x−ξ|2∫ t ∫4D(t−τ)f(ξ, τ)dξdτ= Γ(x−ξ,t−τ)f(ξ, τ)dξdτ, (12.13)0 R Nove Γ è la soluzione fondamentale dell’equazione del calore. La dimostrazionerigorosa della validità della (12.13), sotto le ipotesi opportune,si presenta più complessa di quella del Teorema 12.2, anche in dimensioneN = 1, a causa dell’irregolarità dell’integrando in (12.13). Diamo unrisultato basato su ipotesi sufficienti, ma non ottimali.Teorema 12.4. Sia f ∈ C ( R N ×[0,T] ) , limitata e globalmente lipschitzianain R N ×[0,T] rispetto alla variabile x. Allora la w data dalla (12.13) soddisfaw ∈ C 2,1( R N ×[0,T] ) e risolve (12.11)–(12.12).La dimostrazione è omessa.

Parte 5Comportamenti asintotici

CAPITOLO 13Comportamenti asintoticiDiamo alcuni esempi di studio del comportamento qualitativo disoluzioni di e.d.p., quando una o più delle loro variabili vannoall’infinito.Consideriamo il problema13.1. Problema della lunghezza criticau t −Du xx = cu, in Q ∞ = (0,L)×(0, ∞), (13.1)u(0,t) = 0, t > 0, (13.2)u(L,t) = 0, t > 0, (13.3)u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L. (13.4)Qui c, L sono costanti positive.È chiaro che nel modello (13.1)–(13.4) sono presenti due effetti in competizionetra di loro: quello della sorgente cu nell’equazione a derivateparziali, che tende a far crescere |u|, e quello delle condizioni al contorno,che tendono a mantenere u vicino al valore nullo. Si noti infatti che iltermine cu è positivo [negativo] ove u è positivo [negativo].Per accertare quale dei due effetti prevalga nel limite asintotico t → ∞,cerchiamo di sviluppare u in serie, come visto sopra. Per ricondursi a unproblema per l’equazione del calore, introduciamo la nuova incognitache soddisfav(x,t) = e −ct u(x,t),v t −Dv xx = 0, in Q ∞ = (0,L)×(0, ∞), (13.5)v(0,t) = 0, t > 0, (13.6)v(L,t) = 0, t > 0, (13.7)v(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L. (13.8)Procedendo come nelle Sezioni 5.3, 9.1, si vede che∞π2−n2v(x,t) = ∑ α n e L 2 Dt sin(n π )n=1L x , (13.9)ove i coefficienti α n sono dati daα n = 2 L∫ L0u 0 (x)sin(n π )L x dx, n ≥ 1.137

138 DANIELE ANDREUCCIAvrà particolare importanza qui il primo di questi coefficienti, ossiaα 1 = 2 L∫ L0( π)u 0 (x)sinL x dx.Dunque, dalla (13.9) e dalla definizione di v, segue che∞π2(c−n2u(x,t) = ∑ α n e L 2 D)t sin(n π )L x n=1( π)L xπ2(c−= α 1 e L 2 D)t sin+∞∑n=2(π2(c−= α 1 e L 2 D)t π)sinL x +R(x,t),π2(c−n2α n e L 2 D)t sin(n π )L x(13.10)ove la serie resto R(x,t) soddisfalimt→∞R(x,t)(c−π2e LIl comportamento asintotico per t → ∞ della soluzione u quindi è determinato,nel caso generico α 1 ̸= 0, dal segno della quantità2 D)t= 0, 0 < x < L. (13.11)c− π2L 2 D.In particolare, avendo definito la lunghezza critica√DL c = πc(si verifichi dal punto di vista dimensionale questa definizione), si hannodalla (13.10) i tre casi seguenti.(1) L < L c : in questo caso prevale l’effetto delle condizioni al contorno, elim u(x,t) = 0. (13.12)t→∞(2) L > L c : in questo caso prevale l’effetto del termine di sorgente, elim u(x,t) = ±∞, (13.13)t→∞ove il segno a destra nella relazione di limite va scelto concorde conquello di α 1 , nel caso generico α 1 ̸= 0.(3) L = L c : in questo caso i due effetti si bilanciano elim u(x,t) = α 1sint→∞( πL x ). (13.14)Esercizio 13.1. Che cosa succede nel caso non generico α 1 = 0?Osservazione 13.2. Possiamo ottenere la funzione limite in (13.14) ancherisolvendo la versione stazionaria del problema (13.1)–(13.4), ossia−DU xx = cU, 0 < x < L, (13.15)U(0) = 0, (13.16)U(L) = 0. (13.17)□

13.2. TEOREMA DI LIOUVILLE PER FUNZIONI ARMONICHE 139Questo è un tipico problema agli autovalori, che ha una soluzione diversada quella nulla solo se c/D e L sono legate da certe relazioni, per esempiola L = L c . In questo caso anzi vi sono infinite soluzioni, tutte multiplel’una dell’altra, tra cui quella in (13.14).□Esercizio 13.3. Si consideri la versione multidimensionale del problema(13.1)–(13.4), ossiau t −D ∆u = cu,in Q ∞ = Ω×(0, ∞),u(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω,t > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω.Qui c > 0 è ancora costante. Si mostri che anche in questo caso esiste unasoglia critica per c, e la si determini. Risposta□13.2. Teorema di Liouville per funzioni armonicheIl teorema di Liouville asserisce che una funzione armonica in tutto lospazio, se è limitata, allora è costante. La dimostrazione si basa su unastima per le derivate di funzioni armoniche. Iniziamo con il dimostrareche le funzioni armoniche sono di classe C ∞ .Teorema 13.4. Se u ∈ C(Ω) soddisfau(x) = 1ω N R N ∫B R (x)u(y)dy, (13.18)per ogni sfera tale che B R (x) ⊂ Ω, allora u ∈ C ∞ (Ω), e tutte le sue derivatesoddisfano ancora la (13.18).Dimostrazione. Denotiamo di seguito x = (x ′ ,x N ), x ′ ∈ R N−1 , e conB R (x ′ ) ⊂ R N−1 la sfera (N −1)-dimensionale di centro x ′ e raggio R (chepuò essere pensata come B R (x)∩{x N = 0}).L’integrale in (13.18) può essere riscritto comeu(x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )dξx N + √ R 2 −|x ′ −ξ| 2∫x N − √ R 2 −|x ′ −ξ| 2 u(ξ, η)dη.Dato che per ipotesi la u è continua, l’integrale sulla destra può esserederivatosecondole regoleusuali della derivazione sottoil segnodi integralee si ha quindi che u xN esiste e valeu xN (x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )[ ( √ )u x N + R 2 −|x ′ − ξ| 2 , ξ( √ )]−u x N − R 2 −|x ′ − ξ| 2 , ξ dξ. (13.19)

140 DANIELE ANDREUCCISegue dalla continuità di u e dalla (13.19) che anche la u xN è continua equindi proprio dalla (13.19) segueu xN (x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )dξx N + √ R 2 −|x ′ −ξ| 2∫x N − √ R 2 −|x ′ −ξ| 2 u η (ξ, η)dη= 1ω N R N ∫B R (x)u xN (y)dy. (13.20)È chiaro che gli stessiargomentivalgono anche per ciascuna u xi , per i = 1,..., N−1.Quindi abbiamo dimostrato la seguente implicazione logica:(P) se v è una funzione continua e soddisfa la (13.18) allora tutte le suederivate prime esistono, sono continue e soddisfano la (13.18).Dunque tutte le u xi sono continue e soddisfano la (13.18). Applichiamoora la (P) a v = u xi : ne segue che tutte le derivate u xi x jsono continuee soddisfano ancora la (13.18). Si può proseguire in questa iterazione,dimostrando l’asserto.□Corollario 13.5. Le funzioni armoniche sono di classe C ∞ nell’aperto di definizione,e le loro derivate sono funzioni armoniche.Dimostrazione. Dalla Definizione 1.10 e dai Corollari 1.7 e 1.13 seguesubito che le funzioni armoniche soddisfano le ipotesi del Teorema 13.4.Quindi sono di classe C ∞ . Derivando l’equazione di Laplace, si vede cheanche le derivate ne sono soluzioni, e quindi sono armoniche. □Teorema 13.6. Se u è armonica in Ω, e se B R (x) ⊂ Ω, allora|u xi (x)| ≤ N R max |u|. (13.21)∂B R (x)Dimostrazione. Si sa che le derivate prime u xi soddisfano ancora la proprietàdella media (13.18), dunqueDa questo segueu xi (x) = 1ω N R N ∫B R (x)u xi (y)dy = 1ω N R N ∫∂B R (x)u(y)ν i dσ y .|u xi (x)| ≤ 1ω N R N σ NR N−1 max∂B R (x) |u| = N R max∂B R (x) |u|.Teorema 13.7. (Liouville) Se u è armonica in R N eallora u è costante in R N .u(x) ≥ C > −∞, per ogni x ∈ R N ,Dimostrazione. Definiamo v = u−C; dunque v è non negativa e armonicain R N .□

13.2. TEOREMA DI LIOUVILLE PER FUNZIONI ARMONICHE 141Fissiamo due punti x 1 e x 2 ∈ R N , e poniamod = |x 1 −x 2 |.Per R > d si haB R−d (x 2 ) ⊂ B R (x 1 ),e quindi per la proprietà della media (1.54) e per la non negatività di v,∫∫11Rv(x 2 ) =ω N (R−d) N v(y)dy ≤ω N (R−d) N v(y)dy =N(R−d) Nv(x 1).B R−d (x 2 )Prendendo R → ∞ nella (13.22), si ottienev(x 2 ) ≤ v(x 1 ).B R (x 1 )(13.22)Dato che si possonoinvertire i ruoli di x 1 e di x 2 , che sono inoltre scelti adarbitrio, si ottiene che v è costante, e quindi la tesi. □

Parte 6Trasformate di funzioni

CAPITOLO 14Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier ha importanza notevolissima nellee.d.p.; esiste per funzioni definite su tutto lo spazio.Introduciamone le proprietà più elementari, e qualcheapplicazione.14.1. DefinizioneDefinizione 14.1. Sia f : R → R integrabile su R. Definiamo allora perogni ω ∈ RF[f](ω) =∫+∞−∞e iωx f(x)dx.La funzione F[f] : R → C si dice trasformata di Fourier di f, e si denotaanche con ˆf.□Talvolta, senecessario,siuseràlanotazioneF[f(x)](ω) (diperséabusiva)per chiarire la dipendenza da x di f.Osservazione 14.2. SipotrebbedimostrarechelatrasformatadiFourierdiuna funzione integrabile è continua in R e infinitesima per ω → ±∞. □14.2. Proprietà elementari della trasformata di Fourier14.2.1. Linearità. F è lineare, ossia se f 1 , f 2 sono integrabili su R e c 1 ,c 2 ∈ R, alloraF[c 1 f 1 +c 2 f 2 ] = c 1 F[f 1 ]+c 2 F[f 2 ]. (14.1)14.2.2. Trasformazione di derivate. Se f ∈ C 1 (R), e f, f ′ sono integrabilisu R, alloraF[f ′ ](ω) = −iωF[f](ω), ω ∈ R. (14.2)Dimostrazione. Consideriamo due successioni c + n → ∞, c − n → −∞ taliche f abbia limite zero lungo di esse (vedi Lemma A.14). Allora, integrandoper parti,•∫ c+ nc − ne iωx f ′ (x)dx =Per n → ∞ si ottiene la tesi.[ ] ce iωx + nf(x)c − n∫ c+ n−c − niωe iωx f(x)dx.□145

146 DANIELE ANDREUCCILe trasformate di derivate di ordine superiore si possono ottenere reiterandoquesto risultato; per esempio, per ω ∈ RF[f ′′ ](ω) = −iωF[f ′ ](ω) = (−iω)(−iω)F[f](ω) = −ω 2 F[f](ω).(14.3)•14.2.3. Antitrasformazione. Se f è integrabile su R e localmente lipschitzianain R, allora, per ogni x ∈ R,f(x) = 12π limk→∞Allora, se F[f] è integrabile su R, si può scriveref(x) = 12π∫ ∞−∞∫ k−ke −iωx F[f](ω)dω. (14.4)e −iωx F[f](ω)dω, (14.5)che costituisce la formula di inversione della trasformata di Fourier.14.2.4. Trasformazione di convoluzioni. Se f, g, e f ∗ g sono integrabilisu R,F[f ∗g] = F[f]F[g]. (14.6)Dimostrazione. Vale, per definizione di F,F[f ∗g] =∫+∞∫+∞e iωx−∞−∞=f(x−y)g(y)dydx =∫+∞∫+∞−∞ −∞∫+∞∫+∞−∞ −∞e iωx f(x−y)g(y)dxdye iωy e iωz f(z)g(y)dzdy = F[f](ω)F[g](ω).14.2.5. Cambiamenti di variabili. Vale, se f è integrabile su R, e a ̸= 0, bsono numeri reali,F[f(ax−b)](ω) = 1 ( ) ω|a| eiωb a F[f] , ω ∈ R. (14.7)a•□•Dimostrazione. Infatti∫ ∞−∞e iωx f(ax−b)dx = 1|a|∫ ∞−∞e iω(y a +b a ) f(y)dy = 1 ( ) ω|a| eiωb a F[f] .a□•

14.3. APPLICAZIONE PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 14714.2.6. Derivazione di trasformate. Definiamo g(x) = xf(x), x ∈ R. Se fe g sono integrabili su R, allora F[f] è derivabile in R edF[f](ω) = F[ig](ω) = F[ixf(x)](ω).dω (14.8)•14.3. Applicazione per la risoluzione del problema di Cauchy perl’equazione del caloreConsideriamo il problema di Cauchy per l’equazione del caloreu t −u xx = 0, − ∞ < x < ∞,t > 0, (14.9)u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞, (14.10)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R. Richiediamo anche che usia limitata.Come nel Capitolo 11, cerchiamo una soluzione nella formau(x,t) = ψ∗u 0 (x,t) =∫ ∞−∞ψ(x−ξ,t)u 0 (ξ)dξ,ove ψ va determinata. Lo faremo qui con un argomento indipendenteda quello svolto nella Sottosezione 11.3.2. Ricordiamo che {ψ(·,t)} è unafamiglia dinucleidiapprossimazioneper t → 0+ (sivedalaSezione11.1).Riscriviamo dunque la (14.9) come∂∂t ψ∗u 0− ∂2∂x 2 ψ∗u 0 = ψ t ∗u 0 − ψ xx ∗u 0 = 0,e applichiamo la trasformazione di Fourier in x; nel seguito intendiamosempre che F è la trasformata di Fourier in x. Usando le proprietà (14.3)e (14.6) si ottieneper ω ∈ R, t > 0. Visto cheF[ψ t ](ω,t) =∫+∞−∞si ha da (14.11), ponendoF[ψ t ]F[u 0 ]+ω 2 F[ψ]F[u 0 ] = 0, (14.11)e iωx ψ t (x,t)dx = ∂ ∂t∫+∞−∞G(ω,t) = F[ψ](ω,t),e iωx ψ(x,t)dx = ∂ ∂t F[ψ](ω,t),cheG t (ω,t) = −ω 2 G(ω,t), −∞ < ω < ∞,t > 0. (14.12)Da qui segue subito cheG(ω,t) = G(ω,0)e −ω2t , −∞ < ω < ∞,t ≥ 0. (14.13)D’altra parte, visto che u = ψ∗u 0 → u 0 per t → 0, dovremo avereF[u](ω,t) = F[ψ](ω,t)F[u 0 ](ω) → F[u 0 ](ω), t → 0,ossia G(ω,0) = 1. DunqueG(ω,t) = e −ω2t , −∞ < ω < ∞,t ≥ 0. (14.14)

148 DANIELE ANDREUCCISi tratta ora di trovare la ψ conoscendone la trasformata di Fourier G.Questo si può fare consultando le apposite tavole di trasformate e antitrasformate,o usando la (14.5) e tecniche di analisi complessa.In alternativa, si può procederecome segue. L’idea è di ricavare una e.d.o.per ψ come funzione di x, sfruttandola forma specifica della (14.5); questatecnica funziona spesso per il calcolo di integrali, su domini illimitati, difunzioni di cui non si riesce a trovare una primitiva.A partire dalla (14.5), otteniamo, poiché la parte contenente sin(ωx) èdispari,ψ(x,t) = 12π∫ ∞−∞e −iωx e −ω2t dω = 12π∫ ∞−∞= tπxcos(ωx)e −ω2t dω∫ ∞−∞ωsin(ωx)e −ω2t dω, (14.15)ove abbiamo integrato per parti (in modo non rigoroso, possiamo dire chei valori agli estremi ±∞ sono nulli). D’altra parte∂∂x ψ(x,t) = − 12πDalle (14.15), (14.16) segue∫ ∞−∞ωsin(ωx)e −ω2t dω. (14.16)ψ x (x,t) = − x ψ(x,t), −∞ < x < ∞;2tquesta è una e.d.o. del primo ordine, che integrata dàInfine, dalla (14.5),ψ(0,t) = 12π∫ ∞−∞Perciò si ottiene per la ψψ(x,t) = ψ(0,t)e − x24t .e −ω2t dω = 12π √ t∫ ∞−∞e −s2 ds = 12 √ πt .ψ(x,t) = 12 √ x2e− 4t , (14.17)πtcioè la forma ben nota della soluzione fondamentale dell’equazione delcalore.14.4. Applicazione per la risoluzione del problema nel semipiano perl’equazione di LaplaceConsideriamo il problema nel semipiano y > 0 per l’equazione di Laplaceu xx +u yy = 0, − ∞ < x < ∞,y > 0, (14.18)u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞, (14.19)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R. Richiediamo anche che usia limitata.

14.4. APPLICAZIONE PER L’EQUAZIONE DI LAPLACE 149Come nel Capitolo 11, cerchiamo una soluzione nella formau(x,y) = ψ∗u 0 (x,t) =∫ ∞−∞ψ(x−ξ,y)u 0 (ξ)dξ,ove ψ va determinata (si veda la (11.24)). Lo faremo qui con un argomentoindipendente da quello svolto nella Sezione 11.2. Ricordiamo che{ψ(·,y)} è una famiglia di nuclei di approssimazione per y → 0+ (si vedala Sezione 11.1).Riscriviamo dunque la (14.18) come∂ 2∂x 2 ψ∗u 0+ ∂2∂y 2 ψ∗u 0 = ψ xx ∗u 0 + ψ yy ∗u 0 = 0,eapplichiamo latrasformazione diFourierin x. Usandole proprietà(14.3)e (14.6) si ottieneper ω ∈ R, t > 0. Visto cheF[ψ yy ](ω,y) =∫+∞−∞si ha da (14.20), ponendocheF[ψ yy ]F[u 0 ]−ω 2 F[ψ]F[u 0 ] = 0, (14.20)e iωx ψ yy (x,y)dx∫+∞∂y 2 e iωx ψ(x,y)dx = ∂2∂y 2F[ψ](ω,y),= ∂2−∞G(ω,y) = F[ψ](ω,y),G yy (ω,y) = ω 2 G(ω,y) = |ω| 2 G(ω,y), −∞ < ω < ∞,y > 0. (14.21)Integriamo in y trovandoG(ω,y) = c 1 (ω)e |ω|y +c 2 (ω)e −|ω|y , y > 0, (14.22)per ogni fissato ω ∈ R\{0}. Tuttavia deve valere per ogni ω fissato∫ ∞|G(ω,y)| =e iωx ∫∞ψ(x,y)dx∣ ∣ ≤ ψ(x,y)dx = 1. (14.23)−∞Confrontando le (14.22) e (14.23) si ha subito che c 1 (ω) = 0, se ω ̸= 0.D’altra parte si vede come nella Sezione 14.3 che deve valere G(ω,0) = 1per ogni ω, il che implica che c 2 (ω) = 1, se ω ̸= 0. Il valore di G perω = 0 è irrilevante nella formula (14.5) che usiamo sotto.−∞

150 DANIELE ANDREUCCIQuindi, ragionando come in (14.15), si ottiene appunto dalla (14.5)ψ(x,y) = 12π∫ ∞−∞e −iωx e −|ω|y dω= 1 π∫ ∞0cos(ωx)e −ωy dω = 1 πyx 2 +y 2 , (14.24)ove l’ultima uguaglianza segue da una usuale integrazione per parti.

CAPITOLO 15Trasformata di LaplaceLa trasformata di Laplace è collegata alla trasformata di Fourier,ma esiste per funzioni definite su una semiretta, il che la rendeidonea a trattare problemi ai valori iniziali. Introduciamone leproprietà più elementari, e qualche applicazione.15.1. DefinizioneDefinizione 15.1. Sia f ∈ C ( [0, ∞) ) , ed esista s 0 ∈ R tale che per s > s 0 lafunzione x ↦→ e −sx f(x) è integrabile in [0, ∞). Allora si poneL[f](s) =∫ ∞0e −sx f(x)dx, s > s 0 .La funzione L[f] si dice trasformata di Laplace di f.Talvolta, se necessario, si userà la notazione L[f(x)](s) (di per sé abusiva)per chiarire la dipendenza da x di f.Formalmente si ha, per f : R → R,L[f](s) = F[fχ [0,∞) ](is), (15.1)ove F è la trasformata di Fourier (vedi Capitolo 14).Osservazione 15.2. Si potrebbe dimostrare che la trasformata di Laplacedi f è continua in s > s 0 e infinitesima per s → ∞. □□15.2. Proprietà elementari della trasformata di Laplace15.2.1. Linearità. L è lineare, ossia se e −sx f 1 (x), e −sx f 2 (x) sono integrabilisu [0, ∞) e c 1 , c 2 ∈ R, alloraL[c 1 f 1 +c 2 f 2 ](s) = c 1 L[f 1 ](s)+c 2 L[f 2 ](s). (15.2)15.2.2. Trasformazione di derivate. Se f ∈ C 1( [0, ∞) ) , e•e −sx f(x),sono integrabili su [0, ∞), allorae −sx f ′ (x)L[f ′ ](s) = sL[f](s)− f(0). (15.3)151

152 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Consideriamo una successione c + n → ∞ tale chelimn→∞ e−sc+ nf(c + n ) = 0(vedi Lemma A.14). Allora, integrando per parti,∫ c+ n0e −sx f ′ (x)dx = [ e −sx f(x) ] ∫c +c + nn0 − (−s)e −sx f(x)dx.Per n → ∞ si ottiene la tesi.Le trasformate di derivate di ordine superiore si possono ottenere reiterandoquesto risultato; per esempio,L[f ′′ ](s) = sL[f ′ ](s)− f ′ (0) = s 2 L[f](s)−sf(0)− f ′ (0). (15.4)15.2.3. Antitrasformazione. Se f è localmente lipschitziana in [0, ∞), ee −sx f(x) è integrabile su [0, ∞), per ogni x ≥ 0 valef(x) = 12π limk→∞∫ k−k0L[f](s+it)e (s+it)x dt, (15.5)che costituisce la formula di inversione della trasformata di Laplace.15.2.4. Trasformazione di convoluzioni. See −sx f(x), e −sx g(x), e −sx (f ∗g)(x),sono integrabili su [0, ∞), con f, g : R → R tali che f(x) e g(x) sono nulleper x < 0, alloraL[f ∗g](s) = L[f](s)L[g](s). (15.6)La dimostrazione è analoga a quella di (14.6).15.2.5. Cambiamenti di variabili. Sia e −sx f(x) integrabile su [0, ∞), e sianoa > 0, b ≥ 0 numeri reali; definiamo f(x) = 0 per x < 0. AlloraL[f(ax−b)](s) = 1 ( ) sa e−sb a L[f] . (15.7)aDimostrazione. Infatti∫ ∞e −sx f(ax−b)dx = 1 a0che dà la tesi.∫ ∞−be −s(y a +b a ) f(y)dy = 1 a∫ ∞0e −s(y a +b a ) f(y)dy,Osservazione 15.3. Siano h e k due funzioni limitate e integrabili su R,entrambe nulle su (−∞,0). Allorah∗k(x) =∫ x0h(x−ξ)k(ξ)dξ. (15.8)□•••□•

15.3. APPLICAZIONI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 153Infatti, si ha per la definizione di convoluzioneh∗k(x) =∫ ∞−∞h(x−ξ)k(ξ)dξ,ove tuttavia l’integrando è nullo per ξ < 0 (perché k(ξ) = 0), e per ξ > x(perché h(x−ξ) = 0). Questo dà subito la (15.8). □15.3. Applicazioni alle equazioni differenziali ordinarieConsideriamo il problema di Cauchy per e.d.o.:y ′′ −3y ′ +2y = f(x), x > 0, (15.9)y(0) = 0, (15.10)y ′ (0) = 0, (15.11)ove f ∈ C([0, ∞)).Applichiamo la trasformazione di Laplace alla e.d.o., denotandocon Y [F]la trasformata di y [f]. Si ottiene per le (15.3) e (15.4)s 2 Y(s)−3sY(s)+2Y(s) = F(s),da cuiF(s)Y(s) =s 2 −3s+2 , (15.12)ove il denominatore è senz’altro positivo per s > 2; infattis 2 −3s+2 = (s−1)(s−2).Invochiamo ora la (15.6), e otteniamo (si veda anche l’Osservazione 15.3)y(x) = ψ∗ f(x) =∫ x0ψ(x−ξ)f(ξ)dξ, (15.13)se denotiamo con ψ l’antitrasformata del denominatore di (15.12).La y data dalla (15.13) non è altro che la soluzione particolare della e.d.o.in(15.9)ottenutaconilmetododelnucleorisolvente; ilnucleorisolventeKinfatti coincide con ψ. Verifichiamo questo fatto. È noto che K può esseredefinito (per e.d.o. a coefficienti costanti) come la soluzione diK ′′ −3K ′ +2K = 0, x > 0, (15.14)K(0) = 0, (15.15)K ′ (0) = 1, (15.16)che può essere ottenuta con il metodo dell’equazione caratteristica (o ancoracon la trasformazione di Laplace). Si ottieneK(x) = e 2x −e x . (15.17)Controlliamo che L[K] assuma il valore desiderato: per s > 2 si haL[K](s) =e quindi ψ = K.∫ ∞0e −sx (e 2x −e x )dx = − 12−s + 11−s = 1s 2 −3s+2 ,

Parte 7Complementi

CAPITOLO 16Completezza del sistema di FourierDimostriamo che il sistema ortonormale di Fourier è completo.Questo è un risultato difficile che qui viene dedotto dalla teoriadelle approssimazioni mediante convoluzioni.16.1. Le somme di FejerTeorema 16.1. Le medie aritmeticheT k (x) = 1 ()S 0 (x)+S 1 (x)+···+S k (x)k+1soddisfano, se f è limitata su R e periodica di periodo 2π:, (16.1)lim T k(x) = f(x), (16.2)k→∞in ogni punto di continuità x di f.Inoltre la convergenza è uniforme in intervalli compatti di continuità di f.Le somme T k si dicono somme di Fejer, dal nome del matematico chele introdusse. Si noti che non è in genere vero che anche le S k abbiano leproprietà di convergenza dell’enunciato del Teorema 16.1. Tuttavia le S kforniscono un’approssimazione migliore delle T k nel senso della distanza‖·‖, come espresso dalla (8.2). Si noti a questo proposito che in effettiT k ∈ F k .Dimostrazione. Dalla definizione (8.1), si ha per k ≥ 1S k (x) = 12π= 12π= 12π∫ π−π∫ π−π∫ π−π[f(y)[f(y)1+21+2k∑n=1k∑n=1sin(2k+12(y−x)f(y)sin y−x2]cos(ny)cos(nx)+sin(ny)sin(nx) dy]cosn(y−x) dyQui si è usata la (C.1). Per la periodicità dell’integrando si può anchescrivere)S k (x) = 1 ∫ sin( π 2k+12yf(y+x)2π sin y dy; (16.3)2−π157)dy.

158 DANIELE ANDREUCCISi noti che questa rappresentazione vale di fatto anche per S 0 (x) = a 0 .Dunque, per definizione di T k , si ha, usando anche la (C.3),1T k (x) =2π(k+1)∫ π−πossia (cambiando y in −y)T k (x) =∫ π−πf(y+x)k∑n=0)sin(2n+12ysin y 21=2π(k+1)∫f(x−y)φ k (y)dy =R∫ π−πdyf(y+x)(sink+1sin y 22 y) 2dy,f(x−y)φ k (y)dy, (16.4)ove φ k è il nucleo di Fejer(1 sink+12φ k (x) =y) 22π(k+1) sin y , |x| ≤ π; φ k (x) = 0, |x| > π.2(16.5)Dimostriamo che φ k soddisfa le (11.2), (11.4) (vedi anche l’Osservazione11.13).Sihaperdefinizioneche φ k ≥ 0. Inoltre,sesisceglie f ≡ 1(ossiaf è una delle funzioni del sistema di Fourier) vale a 0 = 1, a n = b n = 0 pern ≥ 1, e dunque∫Rφ k (y)dy = T k (x) = 1k+1( )1+1+···+1 = 1,dimostrando anche la seconda delle (11.2). Per dimostrare (11.4) fissiamoπ > a > 0; per le usuali proprietà della funzione seno, si ha∫ πaφ k (x)dx ≤∫1π2π(k+1)a1sin 2 a 2π−ady =2π(k+1)sin 2 a → 0,2per k → ∞. Possiamo quindi applicare i risultati del Teorema 11.3 inun punto di continuità, o del Corollario 11.5 su un qualsiasi intervallocompatto di continuità. Questo dà subito la tesi.□In genere non è vero che la successione S k (x) converge a f(x) in un puntodi continuità di f. Vale peròTeorema 16.2. Sia f una funzione periodica in R, di periodo 2π, con f ∈L 2 ((−π, π)). Se per un fissato x ∈ R vale|f(y)− f(x)| ≤ C|x−y| α , per ogni y tale che |x−y| < γ, (16.6)ove C, γ, e α sono costanti positive, allora la serie di Fourier di f converge a f(x)in x, ossia S k (x) → f(x).Se la (16.6) vale per ogni x ∈ J, ove J è un intervallo compatto, con C, γ, e αindipendenti da x ∈ J, la convergenza è uniforme in J.

16.2. COMPLETEZZA DEL SISTEMA DI FOURIER 159(Omettiamo la dimostrazione del Teorema 16.2.)Per esempio se f ∈ C 1 ((a,b)), e J ⊂ (a,b) è compatto, allora in J valgonole ipotesi del teorema, e quindimax|S k (x)− f(x)| → 0, k → ∞.x∈J16.2. Completezza del sistema di FourierDimostrazione del Teorema 8.1. A) Sia g ∈ L 2 ((−π, π)). Dobbiamodimostrare cheg(x) = a g 0 + ∞∑n=1a g ncos(nx)+b g nsin(nx), (16.7)nel sensodi L 2 ((−π, π)). Qui a g n, b g n denotanoicoefficienti di Fourierdi g.Iniziamo con il ricordare che la serie in (16.7) converge certamente nelsensodi L 2 ((−π, π)),aunafunzioneh ∈ L 2 ((−π, π))(Osservazione7.26).Si tratta dunque di dimostrare che h = g.In particolare, scambiando serie e integrale per il Corollario 7.9, e integrandoper parti,∫ x−π∫x[h(s)−a g 0 ]ds =B) Definiamo==−πf(x) =∞∑n=1−π∞∑n=1[ ∞ ]∑ ancos(ns)+b g nsin(ns)g dsn=1∫ x−π∫ x[a g ncos(ns)+b g nsin(ns)]ds[ agnn sin(nx)− bg nn cos(nx) ]+∞∑(−1) nbg nn=1n . (16.8)[g(s)−a 0 ]ds, −π ≤ x ≤ π. (16.9)La f risulta una funzione continua su [−π, π], con f(−π) = f(π) =0. Dunque è estendibile in modo periodico a R, con periodo 2π, comefunzione continua. Denotiamo ancora con f questa estensione.Applichiamo a f il Teorema 16.1: questo garantisce che la successione{T fk} relativa a f converge uniformemente a f su [−π, π], e quindi anchenel senso di L 2 ((−π, π)).Per la definizione della S f k, e poiché Tfk ∈ F k, ove F k è l’insieme di tutte lecombinazioni lineari di 1 e di sin(nx), cos(nx) 1 ≤ n ≤ k, vale{ }‖f −S f k ‖ = min ‖f − Σ k ‖ | Σ k ∈ F k≤ ‖f −T fk‖ → 0, k → ∞.Quindi S f k→ f, ossia la serie di Fourier di f converge nel senso diL 2 ((−π, π)) a f.

160 DANIELE ANDREUCCIC) Troviamo i coefficienti di Fourier di f: per esempio se n ≥ 1, si haintegrando per parti,b f n = 1 π∫ π−π[ ∫ x−πIn modo simile si calcola che][g(s)−a g 0 ]ds sin(nx)dx = 1nπa f 0 = − 12π∫ π−πSi ha quindi nel senso di L 2 ,f(x) = a f 0 + ∞∑n=1g(x)xdx,[− bg nn cos(nx)+ ag nn sin(nx) ]Dato che f(−π) = 0, si deve averea f 0 = − 12πDa (16.2) e da (16.10) segue∫ x−πg(s)ds =da cui h = g come richiesto.= a f ∞0 − ∑ (−1) nbg nn=1∫ π−π∫ x−πg(x)xdx =∫ π−πg(x)cos(nx)dx = ag nn .a f n = − bg nn , n ≥ 1.∫xn +−π∞∑(−1) nbg nn=1[h(s)−a g 0]ds. (16.10)n .h(s)ds, −π < x < π,□

CAPITOLO 17Classificazione delle equazioni lineari del secondoordinePresentiamo i concetti elementari della classificazione di e.d.p. indue variabili.Queste risultano divise in tre grandi classi: ellittiche (rappresentatedall’equazione di Laplace); paraboliche (rappresentate dall’equazionedelcalore);iperboliche(rappresentatedall’equazionedelle onde).17.1. Equazioni a coefficienti costanti in due variabiliConsideriamo l’equazioneL 0 u := Au xx +2Bu xy +Cu yy = f(x,y,u,u x ,u y ), (17.1)postainunaperto Ω ⊂ R 2 . Qui f ∈ C(Ω×R 3 ), u ∈ C 2 (Ω), e A, B, C sonocostanti reali. Per rimanere nel campo delle equazioni lineari, assumiamoche la dipendenza di f da u e dal suo gradiente sia lineare, ma in realtà ivalori di f sonoirrilevanti aifinidellaclassificazione dell’equazione(17.1),che è invece basata solo sui coefficienti A, B, C della parte principale L 0 .Assumiamo che l’equazione non sia degenere, ossia che almeno uno traA, B e C sia diverso da 0.Un possibile punto di partenza per classificare le equazioni (17.1) è considerarela possibilità di ridurle a una forma più semplice, per esempio attraversoun’opportuna trasformazione delle variabili (x,y). Introduciamole nuove variabilicon α i , β i costanti reali tali cheξ = α 1 x+β 1 y, η = α 2 x+ β 2 y,α 1 β 2 − β 1 α 2 ̸= 0. (17.2)Introduciamo la nuova incognita v(ξ, η) = u(x,y), che dunque soddisfau(x,y) = v(α 1 x+β 1 y, α 2 x+β 2 y).La regola di derivazione di funzioni composte dàu xx = α 2 1 v ξξ +2α 1 α 2 v ξη + α 2 2 v ηη,Pertanto,u yy = β 2 1 v ξξ +2β 1 β 2 v ξη + β 2 2 v ηη,u xy = α 1 β 1 v ξξ +(α 1 β 2 + α 2 β 1 )v ξη + α 2 β 2 v ηη .L 0 u = ( Aα 2 1 +2Bα 1β 1 +Cβ 2 1)vξξ +2 ( )Aα 1 α 2 +B(α 1 β 2 + α 2 β 1 )+Cβ 1 β 2 vξη +(Aα22 +2Bα 2 β 2 +Cβ 2 )2 vηη .(17.3)161

162 DANIELE ANDREUCCIVogliamo ridurre la parte principale a v ξη (a meno di coefficienti costanti),vogliamo cioè annullare i coefficienti di v ξξ e v ηη . Allora dobbiamoimporreAα 2 1 +2Bα 1β 1 +Cβ 2 1 = 0,Aα 2 2+2Bα 2 β 2 +Cβ 2 2 = 0.(17.4)Almeno uno tra A e C si può assumere non nullo, altrimenti l’equazione(17.1) è già nella forma desiderata. Senza perdita di generalità assumiamoA ̸= 0.Allora deve essere, per la (17.2) e per le (17.4), β 1 , β 2 ̸= 0. Quindi, postoω = α i /β i , i = 1, 2, si deve avereche ha le radiciAω 2 +2Bω+C = 0, (17.5)ω 1 = −B+√ B 2 − AC, ω 1 = −B−√ B 2 − AC.AALe due radici potrebbero essere complesse. Dunque si haα 1 = ω i β 1 , α 2 = ω j β 2 , per i, j ∈ {1,2}. (17.6)Poichédobbiamo rispettarelacondizione(17.2), idue ω i devonoesserediversiin(17.6).Inoltredevonoesserereali, sevogliamo rimanerenelcampodelle trasformazioni reali di coordinate. Questo conduce a richiedereB 2 − AC > 0. (17.7)In questo caso la trasformazione di coordinate (ottenuta come sopra perβ i = 1)ξ = ω 1 x+y, η = ω 2 x+y (17.8)dàL 0 u = 2 ( Aω 1 ω 2 +B(ω 1 + ω 2 )+C ) v ξη = 4 A (AC−B2 )v ξη ,che è la forma voluta. Si noti che il coefficiente di v ξη è diverso da zero,per (17.7). Nel caso in cui valga quest’ultima l’equazione (17.1) si diceiperbolica, e v ξη è la forma canonica della sua parte principale (a meno dicoefficienti diversi da zero).Le rette ξ = costante, η = costante si dicono caratteristiche dell’equazioneiperbolica.Esempio 17.1. L’equazione delle ondeu tt −c 2 u xx = 0, c > 0,in cui A = −c 2 , B = 0, C = 1, soddisfa B 2 − AC = c 2 , e dunque la (17.7).La trasformazione di coordinate (17.8) (o meglio, una sua equivalente) èstata usata nel Teorema 3.3.L’equazione delle onde è spesso considerata il prototipo delle equazioniiperboliche.□Supponiamo che (17.7) non sia soddisfatta e che invece valgaB 2 − AC = 0. (17.9)

17.1. EQUAZIONI A COEFFICIENTI COSTANTI IN DUE VARIABILI 163In questo caso l’equazione (17.1) si dice parabolica. Supponiamo per orache B ̸= 0, cosicché anche A e C sono non nulli. Allora l’unica soluzionedi (17.5) è ω = −B/A. Consideriamo allora, per questa scelta di ω, ilcambiamento di coordinateξ = x, η = ωx+y. (17.10)Il coefficiente di v ηη si annulla, e quello di v ξη anche, perché uguaglia2(Aω+B) = 0.Dunque la parte principale si riduce a v ξξ (a meno di coefficienti diversida zero), che ne è la forma canonica per le equazioni paraboliche.Le rette η = costante si dicono caratteristiche dell’equazione parabolica: leequazioni paraboliche hanno una sola famiglia di caratteristiche, mentrele equazioni iperboliche ne hanno due.Se poi B = 0, allora uno tra A e C si annulla, per (17.9), e quindi la parteprincipale è già nella forma u xx (o u yy ).Esempio 17.2. L’equazione del caloreu t −u xx = 0,in cui A = −1, B = C = 0, soddisfa (17.9). Le sue caratteristiche sono lerette t = costante.L’equazione del calore è l’equazione modello delle equazioni paraboliche.□Infine, consideriamo il caso in cuiB 2 − AC < 0. (17.11)Questo è il caso delle equazioni ellittiche. La trasformazioneξ = Cx−By, η = λy, (17.12)con λ ̸= 0 da scegliere, annulla il coefficiente di v ξη (per qualunque sceltadi λ). Poicoefficiente di v ξξ = C(AC−B 2 ), coefficiente di v ηη = Cλ 2 ,sonouguali se λ = √ AC−B 2 , sceltaammissibile in vista di(17.11). Quindi,amenodicostantimoltiplicative,laparteprincipalesiriduceallaformacanonica v ξξ +v ηη = ∆v.Esempio 17.3. L’equazione di Laplaceu xx +u yy = 0,in cui A = C = 1 e B = 0, soddisfa (17.11), e serve da modello per leequazioni ellittiche.□

164 DANIELE ANDREUCCI17.2. Forme quadratiche ed equazioni del secondo ordineRicordiamo che una forma quadraticasi diceq(x,y) = Ax 2 +2Bxy+Cy 2 , (x,y) ∈ R 2 ,definita positiva se q(x,y) > 0 per ogni (x,y) ̸= (0,0);definita negativa se q(x,y) < 0 per ogni (x,y) ̸= (0,0);semidefinita positiva se q(x,y) ≥ 0 per ogni (x,y);semidefinita negativa se q(x,y) ≤ 0 per ogni (x,y);indefinitaLa matricesi dice associata a q, perchése q(x,y) prende valori sia positivi che negativi.A =q(x,y) = A(x,y) t·(x,y) t =( )A BB C( ) (A B x x· .B C)(y y)La matrice A si dice definita [rispettivamente, semidefinita, indefinita] seq è definita [rispettivamente, semidefinita, indefinita].È noto che q (e quindi A) è definita se e solo seè indefinita se e solo sedetA = AC−B 2 > 0,detA = AC−B 2 < 0,ed è semidefinita sedetA = AC−B 2 = 0.Dunquelaclassificazione delleequazionilineari delsecondoordinesipuòriformulare così:Definizione 17.4. L’equazione (17.1) si dice iperbolica se A è indefinita,parabolica se A è semidefinita (ma non definita), ed ellittica se A èdefinita.□Consideriamo l’equazione17.3. Equazioni a coefficienti non costantiLu := A(x,y)u xx +2B(x,y)u xy +C(x,y)u yy = f(x,y,u,u x ,u y ), (17.13)posta in un aperto Ω ⊂ R 2 . Qui A, B, C sono funzioni continue in Ω, chenon si annullano mai tutte insieme. Su f e u si fanno le ipotesi già vistenella Sezione 17.1. Indichiamo( )A(x,y) B(x,y)A(x,y) = .B(x,y) C(x,y)Definizione 17.5. L’equazione (17.13) si dice iperbolica in (x,y) se A(x,y)è indefinita, parabolica in (x,y) se A(x,y) è semidefinita (ma non definita),ed ellittica in (x,y) se A(x,y) è definita.□

CAPITOLO 18Cenni alle soluzioni deboliLe soluzioni deboli, cioè meno regolari di quanto prescriva l’equazione,sono uno strumento ormai classico nell’analisi dellee.d.p..Cerchiamo di spiegare perché.18.1. Soluzioni deboliRiprendiamo qui la problematica e la notazione della Sezione 1.3.Nella definizione del funzionale J la richiesta u ∈ C 2 (Ω) può esseresostituita da u ∈ C 1 (Ω), come è ovvio. Definiamo cioèmediante laJ 1 : K 1 → R,K 1 := {v ∈ C 1 (Ω) | v = u 0 su ∂Ω},∫J 1 (v) = |∇v(x)| 2 dx.ΩLa seconda parte della dimostrazione del Teorema 1.1 può essere ripetutacon queste nuove definizioni, fino alla (1.28) esclusa, con l’unica variazioneche si può prendere ϕ ∈ C 1 (Ω), ϕ = 0 su ∂Ω nella definizione di Φ.A priori, u è solo una funzione C 1 , e quindi non è possibile integrare perparti come nella (1.28), e ottenere ∆u = 0; del resto ∆u non è in linea diprincipio definito.Sevogliamointerpretareilminimoucomesoluzionediunae.d.p.,dobbiamoquindi accontentarci della (1.27) come definizione di soluzione. Vale adire, poniamo laDefinizione 18.1. Una u : Ω → R si dice soluzione debole (di classe C 1 ) di(1.20)–(1.21) se e solo se:a) u ∈ C 1 (Ω);b) per ogni ϕ ∈ C 1 (Ω) con ϕ = 0 su ∂Ω, vale∫∇u·∇ ϕdx = 0; (18.1)Ωc) u = u 0 su ∂Ω. □Le soluzioni definite nel Capitolo 2 saranno nel seguito chiamate anchesoluzioni classiche, per distinguerle da quelle deboli appena introdotte.La (18.1) si dice anche formulazione integrale (o debole) della (1.20).Osservazione 18.2. Di fatto, si può dimostrare che le soluzioni deboli udi questo particolare problema al contorno sono in realtà anche in C 2 (Ω);165

166 DANIELE ANDREUCCIquesto però non è vero per problemi di e.d.p. più generali, ove la distinzionetra soluzioni deboli e classiche è effettiva. Dunque è importantesviluppare tecniche per trattare le soluzioni deboli.Si potrebbe anche dimostrare che J 1 ha in effetti un minimo u ∈ K 1 (sottoipotesi opportune su u 0 e Ω nel cui dettaglio non entriamo). □18.1.1. Le formulazione debole è troppo forte? Quando si definisce unasoluzione debole, è necessario accertarsi che una soluzione classica (ammessoche esista) soddisfi tale definizione, ossia sia anche soluzione debole.Questogarantisce che non stiamo introducendonelproblema restrizioniindebite, estranee alla sua formulazione originale.Teorema 18.3. Una u ∈ C 2 (Ω)∩C 1 (Ω) che sia soluzione di (1.20)–(1.21) insenso classico, ne è anche soluzione debole.Dimostrazione. Vanno verificate le tre richieste della Definizione 18.1:a) regolarità: u ∈ C 1 (Ω) per ipotesi;b) equazione differenziale (in forma integrale), ossia la (18.1): se u ∈C 2 (Ω) basta integrare per parti∫ ∫0 = ϕ ∆udx = − ∇u·∇ ϕdx,Ωper ogni ϕ ∈ C 1 (Ω) con ϕ = 0 su ∂Ω. Se u ∈ C 1 (Ω), ma non valeu ∈ C 2 (Ω), la (18.1) segue ancora approssimando la ϕ con funzioni inC 1 (Ω) che si annullino su un intorno di ∂Ω. Omettiamo i dettagli.c) dato al bordo: u = u 0 su ∂Ω per ipotesi. □Osservazione 18.4. Si potrebbeobiettareche in effettila soluzione classicadefinitanelCapitolo 2 nonèperforzadiclasse C 2 (Ω)∩C 1 (Ω), ma solodiclasse C 2 (Ω)∩CΩ. In effetti, esistono soluzioni classiche che non appartengonoaC1 (Ω), e quindi non possonoesseresoluzioni deboli secondolaDefinizione 18.1. In genere questa viene ritenuta una questione attinentealla regolarità delle soluzioni che non tocca il significato del problema; inaltri termini si assume per la soluzione classica tutta la regolarità necessariaper dimostrare che è anche debole (come nel Teorema 18.3). Non èdetto però che sia sempre possibile trascurare questo aspetto. □18.1.2. La formulazione debole è troppo debole? La definizione di soluzionideboli quindi deve essere abbastanza generale da includere almenole soluzioni classiche; d’altra parte, non deve essere troppo generale. Peresempio, in linea di principio, potremmo omettere la richiesta c) relativaal dato al bordo dalla Definizione 18.1, e il Teorema 18.3 sarebbe ancoravalido. È chiaro però che le ‘soluzioni deboli’ in questa nuova accezionenon conserverebbero traccia della condizione al bordo; in particolare esisterebberoinfinite ‘soluzioni deboli’ ciascuna relativa a un diverso dato albordo.Per evitare rischi simili, in generesi ritiene necessario dimostrare un risultatodi unicità di soluzioni deboli, che garantisca che le richieste fatte sullaΩ•

18.2. RICERCA DI MINIMI PER J 1 167soluzione debole conservino, in pratica, la forza di quelle del problemaclassico.Teorema 18.5. Selasoluzione u di(1.20)–(1.21) nel senso della Definizione 18.1esiste, essa è unica.Dimostrazione. Siano u 1 , u 2 due soluzioni deboli. Alloraϕ = u 1 −u 2 ∈ C 1 (Ω), e ϕ = u 0 −u 0 = 0 su ∂Ω.Dunque deve essere per (18.1)∫∇u 1·∇(u 1 −u 2 )dx = 0,Ω∫Ω∇u 2·∇(u 1 −u 2 )dx = 0,dato che entrambe le u 1 , u 2 sono soluzioni. Sottraendo queste due uguaglianzel’una dall’altra si ha∫|∇(u 1 −u 2 )| 2 dx = 0,Ωil che implica ∇(u 1 − u 2 ) = 0 in Ω. Poiché u 1 = u 2 su ∂Ω, segue cheu 1 ≡ u 2 in Ω.□•Riassumiamo infine il programma delle sottosezioni 18.1.1 e 18.1.2: la soluzionedebole è unica; se esiste una soluzione classica essa è anche la(unica) soluzione debole.18.2. Ricerca di minimi per J 1Diamo un cenno della dimostrazione dell’esistenza di un minimo per J 1 ,alloscopodimostrarel’utilitàdispazifunzionalidiversidai‘classici’ spaziC m di funzioni continue con le loro derivate.Per definizione di estremo inferiore esiste una successione u n di funzionidi K 1 tali chelim J 1(u n ) = infJ 1 =: m ≥ 0.n→∞ K 1Infatti m ≥ 0 perché J 1 (v) ≥ 0 per ogni v ∈ K 1 . Vogliamo dimostrare chem è un minimo, cioè che esiste una funzione u su cui J 1 assume questovalore.La definizione esplicita di J 1 implica che, per ogni scelta di v e w in K 1 ,( v−w) ( v+w)J 1 + J 1 = 1 2 2 2 J 1(v)+ 1 2 J 1(w). (18.2)(Questa si dice identità del parallelogramma; perché?) Prendiamo v = u n ,w = u k . Si haJ 1( un −u k2)= 1 2 J 1(u n )+ 1 2 J 1(u k )−J 1( un +u k2)≤ 1 2 J 1(u n )+ 1 2 J 1(u k )−m,per la definizione di m, e il fatto che (u n + u k )/2 ∈ K 1 . D’altra parte,fissato ε > 0, esiste n ε ≥ 1 tale che, per n, k ≥ n ε ,J 1 (u n ), J 1 (u k ) ≤ m+ε,

168 DANIELE ANDREUCCIperché J 1 (u n ) → m. Dunque per n, k ≥ n ε ,∫1(|∇u n −∇u4 k | 2 un −u)dx = J k1 ≤ m+ε2 2Ω+ m+ε2−m = ε. (18.3)Perciò la successionedei gradienti∇u n (o le successionidelle componentiscalari di ∇u n , se si preferisce) sono di Cauchy in L 2 (Ω). Poiché L 2 (Ω) ècompleto, esiste un vettore p tale che∇u n → p,in L 2 (Ω)(nel senso che ciascuna delle componenti converge in L 2 (Ω)).Per la disuguaglianza di Poincaré in Lemma C.9, visto che u n −u k = 0 su∂Ω,∫ ∫|u n −u k | 2 dx ≤ C |∇u n −∇u k | 2 dx ≤ 4Cε, n,k ≥ n ε ,ΩΩe dunque anche u n è di Cauchy in L 2 (Ω), e converge nel senso di L 2 (Ω)a una funzione u. Vale allora che p = ∇u nel senso delle derivate diSobolev (vedi Sottosezioni 18.4.3 e 18.4.4).Infine ∫ ∫ ∫|∇u| 2 dx = |p| 2 dx = lim |∇u n | 2 dx = m.n→∞ΩΩPerciò u sarebbe punto di minimo per J 1 , se fosse u ∈ K 1 . Ma questo nonrisulta dall’argomento sopra, che invece introduce u come una funzione inL 2 (Ω) con derivate nel senso di Sobolev.Per questomotivo, cioè in sostanza per salvare la validità delragionamentosvolto qui sopra, è bene porsi in questi spazi di funzioni (invece chein C 1 (Ω)) per discutere la minimizzazione di funzionali del tipo di J 1 . Inquesta ambientazione, u è davvero il punto di minimo cercato.18.3. Soluzioni deboli di equazioni non regolariNella Sezione 18.2 abbiamo visto come le soluzioni deboli appaiano di necessitàin un contesto variazionale, ossia quando si trovano soluzioni die.d.p. come punti di minimo di funzionali. Tuttavia esse possono essereintrodotte in modo indipendente da ogni approccio variazionale. Un casotipico in cui è naturale considerare soluzioni deboli è quello in cui l’irregolaritàdei coefficienti dell’equazione rende impossibile l’esistenza disoluzioni classiche.Prendiamo come esempio il problema di diffusione del calore con dati diNeumannΩu t −div(a(x)∇u) = 0, in Ω×(0,T), (18.4)a(x)∇u·ν = 0, su ∂Ω×(0,T), (18.5)u(x,0) = u 0 (x), in Ω. (18.6)Qui la diffusività a > 0 è una funzione limitata e misurabile, ma noncontinua. Per esempio Ω può essere costituito da due regioni Ω 1 e Ω 2 ,

18.3. SOLUZIONI DEBOLI DI EQUAZIONI NON REGOLARI 169ciascuna riempita da un materiale con diffusività a i ∈ (0, ∞), a 1 ̸= a 2 . Inquesto caso si haa(x) = a 1 χ Ω1 (x)+a 2 χ Ω2 (x), x ∈ Ω.È chiaro che (18.4) non ha soluzioni nel senso classico, se non altro perchéa(x) non è derivabile.In casi come questosi integra in modo formale per parti la e.d.p.,per ‘scaricare’su una funzione test alcune delle derivate, ossia quelle ‘eccessive’per la (scarsa) regolarità del problema. Moltiplichiamo dunque l’equazioneper una ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) e integriamo per parti come se tutte lederivate fossero continue. Si ha∫ T ∫0Ω{u t ϕ+a(x)∇u·∇ ϕ}dxdt =∫ T ∫0∂Ωϕa(x)∇u·νdσdt = 0, (18.7)ove si è usato il dato al bordo (18.5). Il nostro problema è quindi trovareuna u che soddisfi∫ T ∫0Ω{u t ϕ+a(x)∇u·∇ϕ}dxdt = 0, (18.8)per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) .Si noti che la (18.8) non contiene derivate di a. Resta da capire in qualeclasse di funzioni si deve cercare la soluzione u; si potrebbe vedere cheper esempio ∇u non può essere continuo; nella Sezione 18.4.5 torniamosulla questione. Qui diciamo solo che, per dare un significato all’integralenella (18.8), la continuità di ∇u è comunque superflua: basta che ∇u siauna funzione integrabile. Possiamo quindi cercare soluzioni deboli in unaclasse molto più vasta di quella delle soluzioni classiche.18.3.1. Dati al bordo e iniziali per soluzioni deboli. La (18.8), qualora sene richieda la validità per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) contiene non solo la e.d.p.(18.4), ma anche il dato di Neumann (18.5), che infatti è stato usato perricavarla. In altre parole, essa non sarebbe valida per una soluzione di(18.4) che, al posto di (18.5), soddisfacesse invecea(x)∇u·ν = f(x,t), su ∂Ω×(0,T), (18.9)per una generica funzione f; questo segue subito da (18.7).Osservazione18.6. Supponiamoinvecediindebolirela(18.8),richiedendoche valga non per tutte le ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) , ma solo per le ϕ ∈ C 1 ◦( Ω×[0,T] ) , ossia per le ϕ che si annullano in un intorno di ∂Ω. La (18.7)mostra che non occorre assumere la (18.5) per ottenere la (18.8) con lanuova restrizione su ϕ. Ossia, restringendo il campo di variazione dellefunzioni test ϕ, la stessa formulazione integrale (18.8) assume significatidiversi: in questosecondocaso in effettiequivale alla solae.d.p.(18.4). □Infine, osserviamo che alla (18.8) va unita la richiesta che la u soddisfila condizione iniziale (18.6); in quale senso preciso questo vada imposto

170 DANIELE ANDREUCCIdipenderà dalla regolarità di u. Se per esempio u e u 0 sono continue, sirichiederà che (18.6) valga nel classico senso puntuale, cioèlim u(x,t) = u 0(x 0 ).(x,t)→(x 0 ,0)Se u 0 ̸∈ C(Ω), le cose sicomplicano, ma si possonoancora sistemare(vediSottosezione 18.4.4).•18.3.2. Unicità di soluzioni deboli. L’idea della dimostrazione dell’unicitàdi soluzioni deboli è la stessausata nel Teorema6.6, e nel Teorema18.5.La ripercorriamo qui perché ci permette di discutere ancora la definizionedi soluzione debole.Questa definizione andrà posta in modo che risulti rigoroso il seguenteargomento:Siano u 1 e u 2 due soluzioni deboli di (18.4)–(18.6). Poniamo z = u 1 −u 2 .Per linearità, z risolve (18.8) per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) , e corrispondeal dato iniziale z(x,0) ≡ 0. Prendiamo ϕ = z in (18.8). Questo in effettiè un punto critico, perché abbiamo detto che u 1 , u 2 ̸∈ C 1 (Q T ), mentrele funzioni test ϕ sono state scelte di classe C 1 . La difficoltà si risolveosservando che quest’ultima restrizione è di fatto eccessiva: l’integralein (18.8) ha senso anche se ∇ ϕ non è continuo, purché a∇u · ∇ ϕ siaintegrabile. In sostanza bisogna quindi richiedere che |∇u i | ∈ L 2 (Q T ).Ladimostrazionesicompletaintegrandoperpartiiltermineconladerivatatemporale (per la quale del resto in principio varrebbero considerazionisimili a quelle svolte per il gradiente spaziale). Si ha0 =∫ T ∫0Ω{z t z+a(x)|∇z| 2 }dxdt= 1 2∫Ωz(x,T) 2 dx+∫ T ∫0Ωa(x)|∇z| 2 dxdt.Segue che z(x,T) ≡ 0; d’altra parte questo argomento si può ripeteresostituendo a T un qualsiasi istante 0 < t < T, e quindi z ≡ 0 in Ω×(0,T).•18.4. Un caso concreto di ricerca di soluzioni deboliConsideriamo il problemau t − ( a(x)u x)x = 0, in Q T = (0,L)×(0,T), (18.10)a(0)u x (0,t) = 0, 0 < t < T, (18.11)a(L)u x (L,t) = 0, 0 < t < T, (18.12)u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L. (18.13)Questo è il caso unidimensionale del problema (18.4)–(18.6). Qui a èmisurabile e limitata su R, ed esistono due costanti A 0 > a 0 > 0 talicheA 0 ≥ a(x) ≥ a 0 , x ∈ R. (18.14)

18.4. UN CASO CONCRETO DI RICERCA DI SOLUZIONI DEBOLI 171Per concentrarci sulla difficoltà posta dal coefficiente a, supponiamo cheu 0 sia regolare, per esempio u 0 ∈ C◦∞ ( )(0,L) .Larisoluzionedellaformulazionedeboledelproblemaconstadeiseguentipassi:(1) Approssimazione della soluzione del problema con una successione{u n } di soluzioni classiche a problemi regolari.(2) Determinazione di Stime uniformi di {u n }.(3) Passaggio al limite per n → ∞, ove si dimostra che {u n } ha un limite uche risolve il problema originario.18.4.1. Approssimazione. Qui si usa la teoria dell’esistenza di soluzioniclassiche a problemi con coefficienti e dati molto regolari; è una teoriaben nota, per certi versi più complessadi quella dell’esistenzadi soluzionideboli. D’altra parte la usiamo per risolvere problemi ausiliari, quindipossiamo in qualche senso scegliere noi il problema da risolvere.Qui scegliamo il problema comeu nt − ( a n (x)u nx)x = 0, in Q T = (0,L)×(0,T), (18.15)a n (0)u nx (0,t) = 0, 0 < t < T, (18.16)a n (L)u nx (L,t) = 0, 0 < t < T, (18.17)u n (x,0) = u 0 (x), 0 < x < L, (18.18)ove a n ∈ C ∞ (R) approssima a nel senso chea n → a,quasi ovunque in (0,L),e soddisfa inoltre le maggiorazioni in (18.14). Per esempio, si può vedereche la convoluzione a∗ ϕ n , ove i ϕ n sono i nuclei di approssimazione delCapitolo 11, soddisfa queste richieste.La teoria su accennata garantisce che esiste una unica soluzione classicau n di (18.15)–(18.18), e che anzi u n ∈ C ∞ (Q T ).•18.4.2. Stime uniformi di u n . Questa parte prepara al passaggio al limiteper la successione delle soluzioni approssimanti già trovate. Per stimauniforme intendiamo quiuna stima uniforme su n, ossia nondipendente dan.Ricaveremo le stime usando il metodo dell’energia, ossia moltiplicando lae.d.p. per funzioni opportune(ad esempio la soluzione medesima), e integrandoper parti.Integrando allora per parti su (0,L)×(0,t) l’uguaglianzasi ha per ogni tu nt u n − ( a n (x)u nx)x u n = 0,∫1L ∫ t ∫ Lu n (x,t) 2 dx+ a n (x)|u nx (x, τ)| 2 dxdτ = 1 ∫ Lu 0 (x) 2 dx =: M 0 .220 0 00Prendendo il sup su 0 < t < T{∫1L }∫ T ∫ Lsup u n (x,t) 2 dx + a n (x)|u nx (x, τ)| 2 dxdτ ≤ 2M 0 . (18.19)0

172 DANIELE ANDREUCCIIn realtà in questo caso è possibile fare di meglio: moltiplichiamo la e.d.p.per u nt ,e integriamo per parti. Si hada cui0 ==∫ t ∫ L00∫ t ∫ L00− 1 2∫ L0u 2 nt− ( a n (x)u nx)x u nt = 0,∫ tu nτ (x, τ) 2 dxdτ+u nτ (x, τ) 2 dxdτ+ 1 2a n (x)u nx (x,0) 2 dx,0∫ L0∫ L∫ Lsup u nx (x,t) 2 dx+0

18.4. UN CASO CONCRETO DI RICERCA DI SOLUZIONI DEBOLI 17318.4.3. Passaggio al limite. Per passare al limite si usano risultati dell’analisifunzionale, cioè la teoria di base degli spazi L 2 e di Sobolev (vedisotto per questi ultimi). Il vantaggio di questa teoria è quello di esseremolto potente e flessibile, ossia applicabile con facilità a problemi diversidelle e.d.p. e più in generale della modellistica matematica.Per esempio, si sa che da una successione {u n } che soddisfa (18.21) si puòestrarre una sottosuccessione (che noi continuiamo, con abuso di notazione,a denotare come la successione intera {u n }) che converge nel senso diL 2 (Q T ) a una funzione misurabile u tale che(∫∫ )1‖u‖ = u 2 2dxdt < ∞, ossia u ∈ L 2 (Q T ).Q TPer di più, anche le derivate u nx e u nt convergono debolmente a due funzioniw e z in L 2 (Q T ) (vedi Sottosezione A.3.1). Dunque la convergenzaha luogo nel senso che per n → ∞u n → u in L 2 (Q T ), ossia ‖u n −u‖ → 0;u nx → w, u nt → v debolmente in L 2 (Q T );u n → u quasi ovunque in Q T .(18.23)Nella Sottosezione 18.4.4 vedremo che si possono identificare w = u x ,v = u t ; quindi queste derivate di u esistono come funzioni L 2 . Per ilmomento compiamo senz’altro questa identificazione.Per dimostrare che u risolve il problema originario, scriviamo la formulazionedebole, o integrale, del problema approssimante (18.15)–(18.18),cioè∫∫Q T{u nt ϕ+a n (x)u nx ϕ x }dxdt = 0, ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) . (18.24)Per n → ∞ la definizione di convergenza debole implica che∫∫ ∫∫u nt ϕdxdt → u t ϕdxdt.Q T Q TL’analoga convergenza, che pure è valida,∫∫∫∫a n (x)u nx ϕ x dxdt → a(x)u x ϕ x dxdtQ T Q Trichiederebbe in effetti un argomento aggiuntivo perché anche il coefficientea n varia con n. Comunque, per n → ∞, la (18.24) dà∫∫Q T{u t ϕ+a(x)u x ϕ x }dxdt = 0, ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) . (18.25)Perciò la u è una soluzione debole; il comportamento per t → 0, ossia ildato iniziale, verrà discusso nella Sottosezione 18.4.4. •

174 DANIELE ANDREUCCI18.4.4. Ancora sul passaggio al limite. Derivate nel senso di Sobolev.Ritorniamo sulla convergenza in (18.23), e sull’identificazione w = u x ,v = u t . Si sa dunque che∫∫ ∫∫u nx ϕdxdt → wϕdxdt, (18.26)Q T Q Tper ogni ϕ ∈ L 2 (Q T ), per esempio se ϕ ∈ C◦(Q 1 T ). In quest’ultimo caso siha, integrando per parti,∫∫ ∫∫u nx ϕdxdt = − u n ϕ x dxdt. (18.27)Q T Q TConfrontando (18.26) con (18.27) si ottiene∫∫ ∫∫lim u n ϕ x dxdt = − wϕdxdt.n→∞Q T Q TD’altronde, poiché u n → u in L 2 (Q T ), e quindi anche nel senso debole, siha∫∫ ∫∫lim u n ϕ x dxdt = uϕ x dxdt.n→∞Q T Q TAbbiamo dimostrato∫∫ ∫∫wϕdxdt = −Q TQ Tuϕ x dxdt, (18.28)per ogni ϕ ∈ C◦(Q 1 T ). Se u ∈ C 1 (Q T ), questa uguaglianza è soddisfattase w = u x . Anzi, si può vedere, per l’arbitrarietà di ϕ, che in effetti seu ∈ C 1 (Q T ), e vale la (18.28), allora deve essere w = u x .Anche se u ̸∈ C 1 (Q T ), noi definiamo derivata di u nel senso di Sobolev law, e continuiamo (con abuso di notazione) a denominarla con u x . Si vedesubito che se esistono due derivate w 1 e w 2 di u nel senso di Sobolev, essedevono coincidere quasi ovunque in Q T , perché per ogni ϕ ∈ C◦(Q 1 T )∫∫ ∫∫ ∫∫w 1 ϕdxdt = − uϕ x dxdt = w 2 ϕdxdt.Q T Q T Q TRicapitolandoDefinizione 18.8. Sia u ∈ L 2 (Q T ). Si dice che w ∈ L 2 (Q T ) è la derivatadi u (rispetto a x) nel senso di Sobolev, se per ogni ϕ ∈ C 1 ◦(Q T ) vale la(18.28). □Nello stesso modo si definisce la derivata nel senso di Sobolev rispetto at, che denotiamo ancora con u t .Il motivo per cui si introducono le derivate nel senso di Sobolev è, infondo, nel passaggio al limite che conduce da (18.24) a (18.25). Un’altraproprietà utile di queste derivate è illustrata dal ragionamento seguente.Sia u la funzione limite introdotta nella Sottosezione 18.4.3. Si potrebbe

18.4. UN CASO CONCRETO DI RICERCA DI SOLUZIONI DEBOLI 175vedere che anche per le derivate nel senso di Sobolev, vale, quasi ovunqueper 0 < t < T, l’usuale formula∫ L0[u(x,t)−u 0 (x)] 2 dx =∫ L0[ ∫ t0u τ (x, τ)dτ] 2dx ∫L≤ t0∫ t0u 2 τ dxdτ = t‖u t‖ 2 ,ovesièusataancheladisuguaglianzadiCauchy-Schwarz. Perciòu(·,t) →u 0 nelsensodi L 2( (0,L) ) , se t → 0. Questaèuna possibile interpretazionedella condizione iniziale (18.13) per le soluzioni deboli. •18.4.5. Le condizioni di interfaccia. Supponiamo ora che, per un c ∈(0,L) fissato, il coefficiente a sia dato come e a 1 , a 2 > 0, a 1 ̸= a 2 ,{aa(x) = 1 , 0 < x < c,a 1 ,a 2 > 0, a 1 ̸= a 2 .a 2 , c < x < L;Allora la formulazione debole di (18.10)–(18.13) equivale alla seguente:u t −a 1 u xx = 0, 0 < x < c,0 < t < T, (18.29)u t −a 2 u xx = 0, c < x < L,0 < t < T, (18.30)a 1 u x (0,t) = 0, 0 < t < T, (18.31)a 2 u x (L,t) = 0, 0 < t < T, (18.32)u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L. (18.33)Questo problema deve essere accoppiato con le condizioni di interfaccia(dette anche condizioni di diffrazione)u(c−,t) = u(c+,t), 0 < t < T, (18.34)a 1 u x (c−,t) = a 2 u x (c+,t), 0 < t < T. (18.35)In altre parole, si hanno due problemi per due equazioni del calore (condiffusività diverse), posti in due domini distinti:Q − T = (0,c)×(0,T),Q+ T = (c,L)×(0,T).Le (18.29)–(18.33) contengono le e.d.p. e i dati per questi problemi, adeccezione dei dati su x = c, che però sono necessari per avere unicitàdi soluzioni. Questi ultimi dati sono assegnati in (18.34)–(18.35), ma noncomedatiindipendenti(peresempio,ivalori diu(c−,t) e u(c+,t)); invecesono prescritticome condizioni di accoppiamento dei due problemi in Q − Te Q + T .Per convincersi che le condizioni di diffrazione in effetti identificano lasoluzione debole introdotta sopra, si ragioni così: sia u una soluzione di(18.29)–(18.33), regolare (per esempio C 2,1 ) in Q − T e in Q+ T, ma, a priori,svincolata dalle condizioni (18.34)–(18.35). Moltiplicando la e.d.p. inciascuno dei due domini per una ϕ ∈ C 1 (Q T ), e integrando per parti si ottengonodue equazioni integrali, contenenti ciascuna un termine di bordosu x = c; questiterminidi bordosi possonoeliminare tra le dueequazionise vale (18.35); si ottiene così proprio (18.25): perciò u è la (unica) soluzionedebole. Occorre ancora una precisazione sulla condizione (18.34), chenon è stata usata in questo argomento.

176 DANIELE ANDREUCCITuttavia la (18.34) è necessaria perché valga la formula di integrazione perparti in (18.28), con w = u x : si può verificare con calcoli diretti che una uregolare quanto si vuole in ciascuno dei due aperti Q − T e in Q+ T, ma noncontinua attraverso x = c, non può soddisfare(18.28) (si prenda per esempiou = χ Q+ , cosicché u x ≡ 0 in ciascun aperto). In altre parole la primaTcondizione di diffrazione è una conseguenza della regolarità richiesta allasoluzione u.•18.5. Il metodo di GalerkinFissiamo un sistema ortonormale completo {ϕ n } ∞ n=1 in L2( (0,L) ) , tale cheϕ n ∈ C 1( [0,L] ) , e cheϕ n (0) = ϕ n (L) = 0, n = 1,2, ... .Consideriamo il problema in Q T = (0,L)×(0,T)u t − ( a(x)u x)x = 0, in Q T, (18.36)ove, per un’opportuna C > 1,eu(x,t) = 0, x = 0,x = L,0 < t < T, (18.37)u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L, (18.38)a ∈ L 2( (0,L) ) , C −1 ≤ a(x) ≤ C, (18.39)u 0 ∈ L 2( (0,L) ) . (18.40)Cerchiamo una soluzione di (18.36)–(18.38) come limite di una successioneapprossimante. La soluzione approssimante u k di livello k si ottiene“proiettando” il problema sul sottospazio di L 2 (Q T )V k ={ kζ(x,t) = ∑ λ n (t)ϕ n (x) | λ n ∈ C 1( [0,T] )} ,n=1ove {ϕ n } ∞ n=1il sistema ortonormale scelto. Si sostituisce in modo formaleu k (x,t) =k∑ α k n(t)ϕ n (x) (18.41)n=1in (18.36), si moltiplica per ϕ i (x), 1 ≤ i ≤ k, e si integra su (0,L) per parti,ottenendodα k ∫Lidt (t)+ a(x)u kx (x,t)ϕ ′ i (x)dx = 0. (18.42)Si noti che (18.42) si può mettere nella formaove0dα k kidt (t) = ∑ A in α k n(t), i = 1,2, ... ,k, (18.43)n=1∫ LA in = − a(x)ϕ ′ n(x)ϕ ′ i (x)dx.0

18.5. IL METODO DI GALERKIN 177Il sistema lineare di e.d.o. (18.43) ha come dato iniziale∫Lα k i (0) =0u 0 (x)ϕ i (x)dx, i = 1,2, ... ,k. (18.44)IlproblemadiCauchy(18.43)–(18.44)haun’unicasoluzione α k i∈ C 1( [0,T] ) ,che quindi determina l’approssimazione (18.41) di livello k. Si potrebbemostrare che (sotto le opportune ipotesi) la {u k } converge in effetti a unasoluzione debole di (18.36)–(18.38).18.5.1. Il metodo di Fourier come caso particolare del metodo di Galerkin.A differenza che nel metodo di Fourier i coefficienti α k i(per i fissato)qui cambiano con k. Infatti ciascuna delle equazioni che compongono ilsistema(18.43) cambia con k, perfinoseicoefficientidelsistemasonoindipendentida k. Per la precisione, la somma in (18.43) contiene un numerodi termini pari a k.D’altra parte il metodo di Fourier può essere visto come un caso particolaredi quello di Galerkin. Infatti, siaa ≡ 1,e scegliamo per semplicità di calcolo L = π. Dunque si può scegliereϕ n (x) =√2πsin(nx), n = 1,2, ... . (18.45)CalcoliamoA in = − 2 π∫ πPerciò (18.43) diviene0(sin(nx)) ′ (sin(ix)) ′dx= −in 2 π∫ π0dα k icos(nx)cos(ix)dx ={−i 2 , i = n,0, i ̸= n.= −i 2 α k idt. (18.46)La (18.46), insieme con la (18.44), mostra che (per i fissato) α k idi fatto nondipendeda k. Sinotianche chela (18.46) coincide in sostanzaconla (9.14).Infineosserviamochelascelta(18.45)èpossibilequalunquesialafunzionea come in (18.39); a differenza che nel metodo di Fourier, nel metodo diGalerkin la scelta del sistema ortonormale è svincolata dalla forma deicoefficienti dell’equazione.•

CAPITOLO 19Equazioni a derivate parziali del primo ordineLe equazioni semilineari o quasilineari del primo ordine ammettonoil metodo di soluzione per caratteristiche, che forniscela soluzione in forma esplicita, ed ha anche una interessanteinterpretazione geometrica.19.1. Equazioni semilineariUn’e.d.p. semilineare del primo ordine èa(x,y)u x +b(x,y)u y = c(x,y,u), (19.1)ove le ipotesi di regolarità su a, b, c, u saranno specificate sotto. Se c =c 1 (x,y)u+c 2 (x,y), l’equazione si dice lineare e assume la formaa(x,y)u x +b(x,y)u y = c 1 (x,y)u+c 2 (x,y). (19.2)Se c 2 ≡ 0, e u 1 , u 2 sono soluzioni, anche λ 1 u 1 + λ 2 u 2 è soluzione, per ogniλ 1 , λ 2 ∈ R.Definizione 19.1. Problema di Cauchy PC per (19.1):Assegnati:• una curva γ ⊂ R 2 regolare semplice, e una sua parametrizzazioneregolare Ψ(s) = (ψ 1 (s), ψ 2 (s)), s ∈ I intervallo aperto;• un dato u 0 : I → R;trovare un aperto Q di R 2 che contenga γ, e una u ∈ C 1 (Q), tale cheau x +bu y = c, in Q, (19.3)u = u 0 , su γ. (19.4)La γ si dice curva che porta il dato, e u 0 si dice dato di Cauchy.□La (19.3) va intesa nel senso chea(x,y)u x (x,y)+b(x,y)u y (x,y) = c(x,y,u(x,y)), per ogni (x,y) ∈ Q.La (19.4) va intesa nel senso cheu(Ψ(s)) = u 0 (s), per ogni s ∈ I. (19.5)Si noti che la (19.5), e la richiesta che u ∈ C 1 (Q), implicano che u 0 debbaessere in C 1 (I).179

180 DANIELE ANDREUCCI19.2. Curve caratteristiche e caratteristiche al suoloLe curve Φ(τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ), ϕ 3 (τ)), soluzioni su qualche intervalloaperto J ⊂ R didxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y),dzdτ = c(x,y,z), (19.6)si dicono caratteristiche di (19.1). Queste sono curve in R 3 .Le curve in R 2 date da Φ 0 (τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)), che risultano proiezionisul piano (x,y) delle curve caratteristiche, si dicono caratteristiche al suolo.Si noti che (ϕ 1 , ϕ 2 ) è soluzione die si può determinare in modo indipendente da ϕ 3 .dxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y), (19.7)19.2.1. Risoluzione per caratteristiche. Vale, con l’intesa che tutte le funzionisono calcolate in x = ϕ 1 (τ), y = ϕ 2 (τ), u = u(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)),c = au x +bu y = dϕ 1dτ u x + dϕ 2dτ u y = d dτ u(ϕ 1(τ), ϕ 2 (τ)), (19.8)ove solo per la prima uguaglianza abbiamo fatto uso di (19.1). Dunquela e.d.p. si riduce a una e.d.o. lungo le caratteristiche al suolo. In linea diprincipio, il problema di Cauchy PC si può risolvere così:1) Consideriamo per s ∈ I, la caratteristica al suolo che passa per il puntoΨ(s) in τ = 0.2) Risolviamo il problema di Cauchy per la e.d.o. in (19.8), con il datoiniziale u 0 (s), prescritto all’istante iniziale τ = 0. Questo determina ilvalore di u lungo una parte della caratteristica al suolo scelta nel passo 1),e in un certo senso risolve il problema.In effetti però, a noi interessa ottenere u come funzione di (x,y) e non di(τ,s). Allora si può proseguire così:3) [supplemento di 1)] Si fissa (x,y); chiamiamo questo punto (¯x,ȳ) perchiarezza. Si trova la coordinata ¯s, tale che (¯x,ȳ) appartenga alla caratteristicaal suolo per Ψ(¯s) tra quelle costruite al punto 1). Sia ¯τ il valore delparametro su tale caratteristica corrispondente al punto (¯x,ȳ). Si noti chesia ¯s che ¯τ sono funzioni di (¯x,ȳ), ¯s = ¯s(¯x,ȳ), ¯τ = ¯τ(¯x,ȳ).4) [supplemento di 2)] Sostituendo ¯s = ¯s(¯x,ȳ), ¯τ = ¯τ(¯x,ȳ) nella soluzionedel problema di Cauchy per la e.d.o. trovata nel punto 2), si ottiene lasoluzione u(¯x,ȳ); disolito, si cambia il nome divariabile, da(¯x,ȳ) a(x,y),per ottenere la u calcolata nel generico punto (x,y). •

19.2. CURVE CARATTERISTICHE E CARATTERISTICHE AL SUOLO 18119.2.2. Esempio. Risolviamo il problema di CauchyDunqueu x +2u y = u, in R 2 ,u(s,−s) = s 2 , 0 < s < ∞.γ = {y+x = 0,x > 0}; ψ 1 (s) = s, ψ 2 (s) = −s; u 0 (s) = s 2 ,per 0 < s < ∞.1) Fissiamo s > 0. Calcoliamo la caratteristica al suolo per (ψ 1 (s), ψ 2 (s)).Questa è la soluzione del problema di Cauchyossia (la retta)dϕ 1dτ = 1,dϕ 2dτ = 2,(ϕ 1 (0), ϕ 2 (0)) = (s,−s),(ϕ 1 , ϕ 2 )(τ) = (s+τ,−s+2τ), τ ∈ R.2) Dobbiamo ora risolvere sulla caratteristica al suolo trovata nel punto 1)il problema di Cauchy per U(τ) = u(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ))Si ottienedUdτ = U,U(0) = s 2 .(dalla e.d.p.)(dal dato di Cauchy)U(τ) = U(0)e τ = s 2 e τ , −∞ < τ < ∞.3) Dobbiamo passare dalle variabili (s, τ) alle variabili (x,y). Fissiamo(¯x,ȳ) ∈ R 2 , e cerchiamo le soluzioni del sistema¯s+ ¯τ = ¯x,−¯s+2¯τ = ȳ.Le soluzioni ammissibili devono soddisfare ¯s > 0, perché la restriziones > 0 è stata imposta nella definizione del problema. Non si sono invecetrovate restrizioni su τ. Si ottieneammissibile in¯s = 2¯x−ȳ3, ¯τ = ¯x+ȳ3Ω = {(¯x,ȳ) | 2¯x−ȳ > 0}.4) Infine operiamo la sostituzione di variabili nella U(¯τ), ottenendoo, tornando alle variabili x e y,u(¯x,ȳ) = ¯s 2 e¯τ = 1 9 (2¯x−ȳ)2 e 1 3 (¯x+ȳ) ,,u(x,y) = 1 9 (2x−y)2 e 1 3 (x+y) , (x,y) ∈ Ω.•

182 DANIELE ANDREUCCI19.3. Esistenza e unicità di soluzioniSopra si è proceduto in modo formale; per esempio non è detto a prioriche il sistema differenziale che definisce le curve caratteristiche abbia soluzioni.Supponiamo allora che a, b, c ∈ C 1 (Q 1 ), con Q 1 aperto di R 3 ; unasoluzione u come in Definizione 19.1 risulterà allora definita in un apertoQ incluso nella proiezione di Q 1 sul piano (x,y).Teorema 19.2. Siano a, b, c ∈ C 1 (Q 1 ), e sia (¯x,ȳ) contenuto nella proiezione diQ 1 sul piano (x,y). Siano u e v due soluzioni dell’equazione (19.1) definite in unaperto A che contiene (¯x,ȳ), tali che u(¯x,ȳ) = v(¯x,ȳ). Sia C una caratteristicaal suolo per (¯x,ȳ), contenuta in A. Allora u e v coincidono su C.Dimostrazione. La curva caratteristica C nell’enunciato risulta parametrizzatada Φ 0 (τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)), τ ∈ J, con J opportunointervallo di R,ove Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) è l’unica soluzione didxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y),dzdτ = c(x,y,z), (x(0),y(0),z(0)) = (¯x,ȳ, ¯z); (19.9)si è definito¯z = u(¯x,ȳ) = v(¯x,ȳ).Basta dimostrare che Φ(τ), τ ∈ J, giace su entrambi i grafici di u e v.Infatti allora risulteràu(Φ 0 (τ)) = ϕ 3 (τ) = v(Φ 0 (τ)), τ ∈ J. (19.10)Definiamo la curva Ξ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ξ), oveξ(τ) = u(Φ 0 (τ)).A causa delle prime due equazioni differenziali di (19.9), si hadξdτ (τ) = dΦ 0dτ (τ)·∇u(Φ 0(τ)) = dϕ 1dτ (τ)u x(Φ 0 (τ))+ dϕ 2dτ (τ)u y(Φ 0 (τ))= [au x +bu y ](Φ 0 (τ)) = c ( ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ),u(Φ 0 (τ)) ) = c(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ), ξ(τ)),ove nella penultima uguaglianza si è usata l’e.d.p.. Ne segue che Ξ risolveil problema di Cauchy (19.9), e quindi, per il teorema di unicità, devecoincidere con Φ. In particolare sono uguali le rispettive terze componentie dunque vale la prima delle (19.10). La seconda si dimostra nello stessomodo.□Dalla dimostrazione precedente segue subitoCorollario 19.3. Con la notazione e sotto le ipotesi di Teorema 19.2, si ha: se ilgrafico della soluzione u contiene il punto (¯x,ȳ, ¯z), allora contiene anche tutta laparte della caratteristica per tale punto che si proietta in A.In particolare si puòaffermare che i grafici delle soluzioni sono formati dacaratteristiche; ilgraficodellasoluzionedelproblemadiCauchyèformatodalle caratteristiche che escono dai punti della curva (Ψ(s),u 0 (s)), s ∈ I.

19.3. ESISTENZA E UNICITÀ DI SOLUZIONI 183Teorema19.4. Sianoa, b,c ∈ C 1 (Q 1 ),esia γunacurvasempliceregolare contenutanellaproiezionedi Q 1 su R 2 ,conparametrizzazione Ψ(s) = (ψ 1 (s), ψ 2 (s)),s ∈ I, I intervallo aperto. Valgaa(Ψ(s))ψ ′ 2(s)−b(Ψ(s))ψ ′ 1(s) ̸= 0, per ogni s ∈ I. (19.11)Allora, per ogni dato u 0 ∈ C 1 (I), esiste un intorno aperto Q di γ ove esisteun’unica soluzione del problema di Cauchy PC.La dimostrazione del Teorema precedente viene omessa. La parte riguardantel’esistenza in sostanza si basa sulla costruzione di u mediante ilprocesso di integrazione per caratteristiche visto più sopra. Rimarrebberocomunque due punti da chiarire in modo rigoroso: i) le caratteristiche alsuolo uscenti dalla curva che porta il dato coprono in effetti un aperto delpiano che contiene la curva medesima; ii) la u risulta di classe C 1 in taleaperto, nelle variabili (x,y).La dimostrazione dell’unicità di soluzioni si basa invece sul Teorema 19.2.Osservazione 19.5. La (19.11) si può anche scrivere come)Φ′det(0Ψ ′ ̸= 0, (19.12)lungo tutta la γ, che esprime in sostanza come γ non sia tangente anessuna caratteristica al suolo.□Proposizione 19.6. Nelle ipotesi del Teorema 19.4, le derivate prime u x , u y di usulla curva γ sono ottenibili come soluzioni del sistema:au x +bu y = c,ψ ′ 1 u x + ψ ′ 2u y = u ′ 0,ove si intende che tutte le funzioni sono calcolate su (s, Ψ(s)), s ∈ I.(19.13)Dimostrazione. Consideriamo il sistemaformato dalla e.d.p.,ristrettaallaγ, e dall’equazione ottenuta derivando in s la (19.5), ossia il sistema(19.13), che più in dettaglio si scrivea(Ψ(s))u x (Ψ(s))+b(Ψ(s))u y (Ψ(s)) = c ( Ψ(s),u 0 (Ψ(s)) ) ,ψ ′ 1(s)u x (Ψ(s))+ψ ′ 2(s)u y (Ψ(s)) = u ′ 0(s).(19.14)Questo è appunto un sistema lineare nelle incognite u x (Ψ(s)), u y (Ψ(s)).Per ogni fissato s il determinante del sistema coincide con la quantità in(19.11), e quindi il sistema è non singolare e la soluzione esiste unica.Questo permette di ricavare le funzioniu x (Ψ(s)), u y (Ψ(s)), s ∈ I. (19.15)Osservazione 19.7. La (19.11) consente inoltre di ricavare tutte le derivatedi u sulla curva γ, almeno finché la regolarità dei dati e dei coefficienti lopermette. Le derivate successive si trovano in modo simile a quanto visto□

184 DANIELE ANDREUCCInella Proposizione 19.6; per esempio derivando rispetto a x l’equazione(19.1), e rispetto a s la prima delle (19.15), si ottienea(Ψ(s))u xx (Ψ(s))+b(Ψ(s))u xy (Ψ(s)) = [ −a x u x −b x u y +c x +c u u x],ψ ′ 1(s)u xx (Ψ(s))+ψ ′ 2(s)u xy (Ψ(s)) = d ds u x(Ψ(s)).(19.16)Ilmembrodidestradellaprimadelle(19.16)vacalcolatoin(Ψ(s),u 0 (Ψ(s))),e dunque è noto per i dati del problema e per la (19.15); la stessacosa valeper il membro di destra della seconda equazione. Dunque u xx|γ e u xy|γpossono essere ricavate dal sistema, poiché il suo determinante coincidecon quello del sistema (19.14). Si noti che in (19.16) si è dovuto assumereche u x (Ψ(s)) sia derivabile in s, ossia che u 0 sia derivabile due volte. □19.4. Equazioni quasilineariUn’e.d.p. del primo ordine della formaa(x,y,u)u x +b(x,y,u)u y = c(x,y,u), (19.17)si dice quasilineare. Il problema di Cauchy è definito in modo analogoalla Definizione 19.1. Le curve caratteristiche sono ancora definite come lesoluzioni Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) del sistema di e.d.o.ϕ ′ 1 = a(ϕ 1, ϕ 2 , ϕ 3 ),ϕ ′ 2 = b(ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ),ϕ ′ 3 = c(ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ).Le prime due equazioni (a differenza che nel caso semilineare) non costituisconounsistemadisaccoppiatodallaterza. Dunque,benchésipossano,volendo, introdurre le caratteristiche al suolo come sopra, esse non risultanomolto utili per le e.d.p. quasilineari. Basta osservare che, nel casosemilineare, le due caratteristiche che passano per i due punti (¯x,ȳ, ¯z 1 ) e(¯x,ȳ, ¯z 2 ) hanno la stessa proiezione sul piano (x,y) (che è la caratteristicaal suolo per (¯x,ȳ)). Questo non è vero in genere nel caso quasilineare;dunque in questo caso per il punto (¯x,ȳ) passa più di una caratteristica alsuolo.Resta però vero (con dimostrazione simile) il Corollario 19.3, nel sensoche le curve caratteristiche che intersecano il grafico di una soluzione, vigiacciono sopra. In altri termini, i grafici di soluzioni sono composti dicurve caratteristiche.Il metodo delle caratteristiche comunque può essere usato anche nel casoquasilineare, in ipotesi di regolarità C 1 per a, b, c, e se vale la condizionea(Ψ(s),u 0 (s))ψ 2(s)−b(Ψ(s),u ′ 0 (s))ψ 1 ′ (s) ̸= 0, per ogni s ∈ I. (19.18)In sostanza vanno eseguiti i seguenti passi:A) (sostituisce i passi 1) e 2) della Sottosezione 19.2.1) Fissato s ∈ I sitrova l’unica caratteristica Φ(τ) tale che abbia come punto iniziale Φ(0) =(Ψ(s),u 0 (s)).B) (sostituisce i passi 3) e 4) della Sottosezione 19.2.1) Dobbiamo imporreche la caratteristica trovata nel passo A) passi per un punto (¯x,ȳ, ¯z); sia

19.4. EQUAZIONI QUASILINEARI 185s = ¯s il valore del parametro corrispondente a questa intersezione, e siaτ = ¯τ il valore del parametro su Φ nello stesso punto. Si osservi che nelmetododellecaratteristicheperequazionisemilineari, ègarantitochetuttele caratteristiche al suolo che originano in un intorno opportuno della γincontrino γ. Nelcasopresente,invece, le caratteristiche‘vicine’ alla curvaγ 1 riempiono una regione tridimensionale, mentre noi stiamo cercando lasuperficie descritta dalle caratteristiche che si appoggiano su γ 1 . Per esserepiù precisi, vogliamo risolvere nelle due incognite ¯τ, ¯s, il sistema di treequazioniϕ 1 (¯τ; ¯s) = ¯x, ϕ 2 (¯τ; ¯s) = ȳ, ϕ 3 (¯τ; ¯s) = ¯z, (19.19)che non è in genere risolubile (nella (19.19) si è indicata la dipendenzadella caratteristica dal punto iniziale). La condizione di risolubilità vienemessa nella forma di una restrizione sul punto (¯x,ȳ, ¯z). Se si riesce adesplicitarla nella ¯z, tornando ai vecchi nomi di variabile si ha proprio laz = u(x,y),che è la soluzione cercata. È possibile però che la soluzione vada lasciatain forma implicita.Esempio 19.8. Consideriamo il problemau x +uu y = 0,u(s,0) = u 0 (s), s > 0.La (19.18) è soddisfatta se u 0 ̸= 0.A) La caratteristica per (¯x,ȳ, ¯z) si trova risolvendoSi ottieneϕ ′ 1 = 1, ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = ϕ 3 , ϕ 2 (0) = 0,ϕ ′ 3 = 0,ϕ 3 (0) = u 0 (s).ϕ 1 (τ) = τ+s, ϕ 2 (τ) = τu 0 (s), ϕ 3 (τ) = u 0 (s), τ ∈ R.B) Si deve quindi avere, se la caratteristica passa per (¯x,ȳ, ¯z),¯τ+ ¯s = ¯x, ȳ = ¯τ¯z, ¯z = u 0 (¯s),per valori opportuni (¯τ, ¯s). Pertanto, se ¯z ̸= 0,¯τ = ȳ ȳ(, ¯s = ¯x−¯z ¯z , ¯z = u 0 ¯x− ȳ ).¯zIn genere la soluzione si trova quindi nella forma implicita(u(x,y) = z = u 0 x− y ). (19.20)zSe per esempio u 0 (s) = s, s > 0, allora, esplicitando z nella (19.20), si haoveu(x,y) = z = x+√ x 2 −4y2Q =, (x,y) ∈ Q,{(x,y) | y < x24 ,x > 0 }.□

186 DANIELE ANDREUCCI19.4.1. Daquasilineare asemilineare. Sipuòpassaredaunae.d.p.quasilineareaunasemilinearecambiandola variabile dipendente. Supponiamoche una soluzione z = u(x,y) di (19.17) sia definita implicitamente daH(x,y,z) = C ∈ R, ossia che H(x,y,u(x,y)) = C per ogni (x,y) ∈ Q.(19.21)Qui H è una funzione di classe C 1 . Allora, derivando in x e in y si ha cheH x +u x H z = 0, H y +u y H z = 0, (x,y) ∈ Q. (19.22)Usando (19.17) e (19.22) si ottiene subitoaH x +bH y +cH z = 0. (19.23)Per come l’abbiamo ricavata, la (19.23) vale quando tutte le funzioni inessa sono calcolate nell’argomento (x,y,u(x,y)), ma possiamo anche interpretarlacome e.d.p. per l’incognita H(x,y,z) in qualche aperto di R 3che contenga la superficie z = u(x,y), ossia cercare H tale chea(x,y,z)H x +b(x,y,z)H y +c(x,y,z)H z = 0. (19.24)Si noti che le caratteristiche di (19.17) corrispondono alle caratteristiche alsuolo di (19.24).Se viceversa una soluzione H di (19.24) è data, ragionando come sopra, sivede che le superfici z = u(x,y) definite in forma implicita daH(x,y,z) = Csono soluzioni di (19.17) (nei punti ove H z ̸= 0).Il problema di Cauchy per (19.24) si potrebberisolvere con il metododellecaratteristiche. Tuttavia, poiché si hanno ora tre variabili indipendenti, ildato andrebbe prescritto non su una curva, ma su una superficie.Le informazioni fornite dal problema di Cauchy per (19.17) sono quindiinsufficienti per costituire un problema di Cauchy per (19.24). Comeabbiamo già notato però, allo scopo di risolvere (19.17) ci basta trovarele caratteristiche che escono dalla curva γ 1 = {(Ψ(s),u 0 (s))}. Su tuttequeste caratteristiche H mantiene il valore costante C. Dal punto di vistaoperativo questo metodo è molto simile a quello delle caratteristiche vistosopra.Osservazione 19.9. Se H è soluzione di (19.24), anche f(H) lo è, per ognif di classe C 1 .□•

CAPITOLO 20Il teorema del trasportoIl teorema del trasporto è una regola di derivazione di integralicalcolati su domini variabili.Ha conseguenze fondamentali in meccanica dei continui.20.1. Moto di un continuoConsideriamo una famiglia di trasformazioni di coordinate, dette anchediffeomorfismi, in R N . Questa famiglia sarà parametrizzata dal tempot ∈ R.L’aperto di definizione di tutte le trasformazioni è denotato da G 0 ⊂ R N ,ed è assunto essere limitato, connesso e con frontiera regolare. Definiamopoi per ogni t ∈ R l’applicazionesu cui faremo le seguenti ipotesi:Denoteremo nel seguitoo, in coordinate, per i = 1, ..., N,Dunque, denotandoX(·,t) : G 0 → R N , (20.1)X(·,t) è iniettiva; (20.2)X ∈ C 2 (G 0 ×R). (20.3)x = X(ξ,t), ξ ∈ G 0 ,t ∈ R,x i = X i (ξ 1 ,...,ξ N ,t), ξ ∈ G 0 ,t ∈ R.G(t) := {x ∈ R N | x = X(ξ,t), per qualche ξ ∈ G 0 }.si ha che X(·,t) è biunivoca da G 0 in G(t).Introduciamo il gradiente di deformazione D come la matrice iacobiana⎛( ∂Xi)D(ξ,t) = = ⎝ X ⎞1ξ 1... X 1ξN.................. ⎠ , (20.4)∂ξ j ... X NξNe il relativo determinanteAssumiamo cheDefiniamo la velocità comeX Nξ1J(ξ,t) = detD(ξ,t). (20.5)J(ξ,t) > 0, per ogni (ξ,t) ∈ G 0 ×R. (20.6)V(ξ,t) := ∂X (ξ,t). (20.7)∂t187

188 DANIELE ANDREUCCIDefiniamo anche per ogni Ω 0 tale che Ω 0 ⊂ G 0 ,Ω(t) := {x ∈ R N | x = X(ξ,t), per qualche ξ ∈ Ω 0 }.Nel seguito supponiamo che Ω(t) sia un aperto connesso, limitato e confrontiera C 1 a tratti, così da poter applicare il teorema della divergenza.20.1.1. Il punto di vista euleriano. Le definizioni precedenti sono datenello spirito del punto di vista lagrangiano, in cui si segue il moto di unasingola particella identificata dalla variabile ξ ∈ G 0 .Unpuntodivistadiversoèquelloeuleriano,oveviceversasifadipenderelaquantità di interesse dalla posizione x; si passa a questa rappresentazionecomponendo le definizioni precedenti con la trasformazione inversaove appuntoξ = Ξ(x,t), (20.8)Ξ(·,t) = X −1 (·,t),per ogni fissato t ∈ R. Denotiamo questa composizione come seguef e (x,t) = f(Ξ(x,t),t).Inparticolare avràimportanza larappresentazioneeuleriana dellavelocitàv(x,t) := V e (x,t) = V(Ξ(x,t),t).Ricordiamo anche che, nelle ipotesi fatte, dal teorema di derivazione difunzioni composte segue subito che la matrice iacobiana dell’inversa Ξ èl’inversa della matrice iacobiana della X:( ∂Ξi)(x,t) = D −1 (Ξ(x,t),t). (20.9)∂x j•Denotiamo qui20.2. Il teorema del trasporto⎛D = (d ij ) = ⎝ D ⎞1∗... ⎠ ,D N∗ove appunto D i∗ indica l’i-esima riga di D. Indichiamo anche con D ij lasottomatrice che si ottiene da D rimuovendone la i-esima riga e la j-esimacolonna.Lemma 20.1. (Formula di Cauchy) Assumiamo (20.2), (20.3) e (20.6). Valein G(t)[ 1]e∂J(x,t) = divv(x,t). (20.10)J ∂t

20.2. IL TEOREMA DEL TRASPORTO 189Dimostrazione. Si ha (sottintendendo che tutte le funzioni dipendonodall’argomento (ξ,t))⎛1 ∂JJ ∂t = 1 ∂detDJ ∂t= 1 JN∑i=1⎞D 1∗...det∂D i∗⎜ ∂t ⎟⎝ ... ⎠ ,D N∗secondo l’usuale regola di derivazione per righe dei determinanti. Sviluppandociascuno degli N determinantirispetto alla riga che è stata derivatasi ottiene1 ∂JJ ∂t = 1 JN∑i=1N∑j=1(−1) i+j ∂d ijdetD ij =∂tN∑i,j=1∂ 2 X i(−1) i+jdetDij ,∂t∂ξ jJdove si è usata la definizione degli elementi d ij . Ricordando poi la regolaper calcolare gli elementi della matrice inversa D −1 = (d ′ hk), e poi ladefinizione di questi ultimi, si ottieneN1 ∂JJ ∂t = ∑i,j=1∂ 2 X i∂t∂ξ jd ′ ji = N∑i,j=1∂ 2 X i∂t∂ξ j∂Ξ j∂x i(X(ξ,t),t). (20.11)Vista la biunivocità della trasformazione X, la (20.11) è equivalente a[ 1J∂J](Ξ(x,t),t) =∂t=N∑i,j=1N∑i=1= div∂ 2 X i∂t∂ξ j(Ξ(x,t),t) ∂Ξ j∂x i(x,t)ove l’operatore div agisce nelle variabili x.) ( ∂X)(x,t) = div∂t (Ξ(x,t),t)∂( ∂Xei∂x i∂t( ∂Xe )∂t (x,t) = divv(x,t),□Teorema20.2. (Teorema del trasporto)Sia F ∈ C 1 (R N ×R). Allora, sottole stesse ipotesi del Lemma 20.1, per ogni Ω(t) come sopra,ddt∫Ω(t)F(x,t)dx =∫Ω(t)∫∂F∂t (x,t)dx+∂Ω(t)F(x,t)v(x,t)· νdσ x . (20.12)Dimostrazione. Usiamo la formula di cambiamento di variabiliddt∫Ω(t)∫=F(x,t)dx = d ∫F(X(ξ,t),t)J(ξ,t)dξdtΩ 0Ω 0∂∂t[ ]∫F(X(ξ,t),t) J(ξ,t)dξ + F(X(ξ,t),t) ∂ J(ξ,t)dξ. (20.13)∂tΩ 0

190 DANIELE ANDREUCCICalcoliamo poi∫∂ [ ]∫F(X(ξ,t),t) J(ξ,t)dξ =∂tΩ 0Inoltre, per il Lemma 20.1,∫Ω 0F(X(ξ,t),t) ∂J∂t (ξ,t)dξ = ∫=∫Ω(t)[ 1F(x,t)J∂J∂tΩ 0[=∇F·V + ∂F ](X(ξ,t),t)J(ξ,t)dξ∂t∫Ω(t)[[ 1F(X(ξ,t),t)JΩ 0]e ∫(x,t)dx =Ω(t)Dalle (20.13)–(20.15) segue∫ ∫dF(x,t)dx = ∇F·v+ ∂Fdt∂t +FdivvdxΩ(t)=Ω(t)∫Ω(t)div ( Fv ) + ∂F∂t dx = ∫∇F·v+ ∂F ](x,t)dx. (20.14)∂t∂J](ξ,t)J(ξ,t)dξ∂tF(x,t)divv(x,t)dx. (20.15)Ω(t)∫∂F∂t dx+∂Ω(t)Fv·νdσ x .□

Parte 8Appendici

APPENDICE AIntegrazione di funzioni non continueLe funzioni considerate in questo capitolo non sono in generecontinue nel loro dominio di definizione; vogliamo descrivere inbrevealcuneproprietàdell’integralediLebesgue,cheèmoltopiùpotente di quello di Riemann, e in pratica necessario per trattaree.d.p.. Una trattazione rigorosa dell’argomento è inattuabile quiper motivi di complessità e lunghezza; diamo invece alcune ideeintroduttive, e metodi di calcolo.In particolare sono usati nel corso gli Esempi A.10, A.11, A.12.A.1. Insiemi di misura (di Lebesgue) nullaPer ogni sfera aperta B ⊂ R N si definisce il volume di B|B| = ω N r N ,se B = {x ∈ R N | |x−x 0 | < r};ω N è quindi il volume di una sfera di raggio 1, eω 1 = 2, ω 2 = π, ω 3 = 4 π, ...3Definizione A.1. Un insieme E ⊂ R N si dice di misura nulla secondoLebesgue se e solo se, per ogni prefissato ε > 0, esiste una successione{B k } ∞ k=1 di sfere aperte di RN tali cheE ⊂∞⋃B k ,k=1∞∑k=1|B k | ≤ ε. (A.1)Esempio A.2. L’insieme dei numeri razionali di [0,1], ossia E = Q∩[0,1]ha misura nulla in R. La dimostrazione vale per ogni insieme numerabile:scriviamoE = {q k } ∞ k=1 .Fissiamo ε > 0 e definiamo le sfere di R (ossia gli intervalli)(B k = q k − ε2 k+1,q k + ε )2 k+1 , k ≥ 1.È ovvio che E ⊂ ∪ k B k , e∞∑k=1|B k | =∞∑k=12 ε = ε.2k+1 Si noti che ∪ k B k è un aperto denso, ma ‘di misura piccola’ in [0,1].193□□

194 DANIELE ANDREUCCIEsempio A.3. Il semiasse positivoE = {x ∈ R N | x 1 > 0,x 2 = 0,...,x N = 0},ha misura nulla se N > 1. Infatti: Fissiamo ε > 0, e definiamo le successionia k =k1∑nn=1(cosicché a k → ∞ se k → ∞), e}B k ={x ∈ R N | (x 1 − ε 1/N a k ) 2 +x2 2 +···+x2 N < ε2/Nk 2 .ValeB k ∩E = {x | x 1 ∈ I k ,x 2 = 0,...,x N = 0},ove I k = ( ε 1/N a k − ε 1/N /k, ε 1/N a k + ε 1/N /k ) . Si noti che gli I k coprono tutto il semiassepositivo, perché ‘si sovrappongono’ in parte:ε 1/N a k + ε1/Nk> ε 1/N a k + ε1/Nk+1 = ε1/N a k+1 , k ≥ 1.Perciò la prima delle (A.1) è soddisfatta; resta da provare la seconda, che segue subito da∞∑k=1|B k | =∞ε∑ ω Nk=1a patto di una inessenziale ridefinizione di ε.∞k N = ω Nε ∑k=11k N = C(N)ε,Osservazione A.4. La proprietà di un insieme di essere di misura nulla dipende dallospazio ambiente: per esempio il semiasse positivo non è certo di misura nulla in R. Unquadrato è di misura nulla in R 3 , ma non in R 2 , e così via.□OsservazioneA.5. Sipuòdimostrarechel’unionediunnumerofinitodiinsiemidimisuranulla, e anzi di una loro infinità numerabile, ha ancora misura nulla. □Definizione A.6. Si dice che una proprietà vale quasi ovunque (abbreviatoin q.o.) se l’insieme in cui non vale ha misura nulla. □In particolare date due funzioni f, g : R N → R, si dice chese e solo se l’insiemeha misura nulla in R N .f ≤ g q.o. in R N ,E = {x ∈ R N | f(x) > g(x)}A.2. Funzioni integrabiliUna funzione f : R N → R si dice misurabile secondo Lebesgue se esisteuna successione di funzioni continue ϕ n ∈ C(R N ) tale chelim ϕ n(x) = f(x), q.o. in R N . (A.2)n→∞Le funzioni continue a tratti sono misurabili.Esempio A.7. La funzione di Dirichlet{1, x è irrazionale,f(x) = χ R\Q (x) =0, x è razionale,□

A.2. FUNZIONI INTEGRABILI 195è misurabile su [0,1]. Infatti si sa che Q ∩ [0,1] ha misura nulla (vediEsempio A.2). Dunque la successioneϕ n (x) =(1−ndist ( [0,1],x )) + = ⎧⎪⎨⎪ ⎩1, 0 ≤ x ≤ 1,(1+nx) + , x < 0,( 1−n(x−1))+ , x > 1,èunasuccessionedifunzioni continue,nulle fuorididi[−1,2], e convergeq.o. su R a f χ [0,1] .□Troveremo l’integrale di funzioni misurabili in tre passi successivi.A.2.1. Funzionilimitate e nullefuoridi un limitato. Sia f : R N → R misurabilesecondoLebesgue e tale che esista un M > 0 con le proprietà|f(x)| ≤ M, x ∈ R N , f(x) = 0, |x| ≥ M. (A.3)Si noti che in questo caso non è restrittivo supporre che anche le ϕ n siano uniformementelimitate: assegnata una successione come in (A.2) basta infatti considerareψ n (x) = max ( − M−1,min(M+1, ϕ n (x)) ) .Allora ψ n soddisfa ancora (A.2), e |ψ n | ≤ M+1, per ogni n.Si ha allora∫ ∫f(x)dx = lim ϕ n (x)dx,n→∞R N {|x|≤M}(A.4)per una successione ϕ n di funzioni continue che soddisfino(A.2) e |ϕ n | ≤ M ′ , per ogni n eper qualche M ′ > 0. L’integrale a sinistra nella (A.4) è l’integrale di Lebesgue; gli integralia destra sono gli usuali integrali di Riemann di funzioni continue.Si noti che questo limite non dipende dalla particolare successione ϕ n scelta con questeproprietà; omettiamo la dimostrazione.•A.2.2. Funzioni non negative. Se f non è limitata, o non è nulla fuori di un limitato, nonè detto che il suo integrale si possa definire. Prima di trattare il caso generale occorrepremettere il caso di funzioni non negative, per le quali l’integrale è sempre definito.Sia f : R N → R misurabile e non negativa. Vale, posto B k = {|x| ≤ k},∫ ∫f(x)dx = lim χ Bk (x)min ( k, f(x) ) dx. (A.5)k→∞R N R NPer ciascun k fissato l’integrale a destra è definito nella Sottosezione A.2.1; la successionedi questi integrali è non decrescente in k, e dunque il limite esiste.L’integrale di funzioni misurabili non negative risulta perciò sempre definito; può essereun numero reale non negativo, o anche ∞.•A.2.3. Funzioni generali. Sia ora f : R N → R una qualunque funzione misurabile. Dobbiamoassumere che∫|f(x)|dx < ∞(A.6)R N(questo integrale è stato introdotto in (A.5); per questo abbiamo bisogno di trattare primail caso di funzioni non negative). Allora vale∫ ∫f(x)dx = lim χ Bk (x)max ( −k,min ( k, f(x) )) dx. (A.7)k→∞R N R NSi potrebbe dimostrare che in effetti il limite esiste ed è un numero reale.•

196 DANIELE ANDREUCCIInfine, si dice che E ⊂ R N è misurabile secondo Lebesgue se la sua funzione caratteristicaχ E è misurabile nel senso detto sopra. Per un qualunque insieme misurabile E, e funzionef : E → R si dice che f è misurabile in E se la funzione{f(x), x ∈ E,˜f(x) =0, x ∈ R N \Eè misurabile nel senso introdotto sopra. In questo caso si pone∫ ∫f(x)dx = ˜f(x)dx,E R Nse e solo se ˜f è integrabile in R N (o non negativa).(A.8)LadefinizioneinSottosezioneA.2.3puòessereapplicataanche allefunzioniilcuiintegraleerastato giàcalcolato inSottosezione A.2.1 o A.2.2; siottiene unintegrale che coincideconquello già definito. In modo analogo, l’integrale di Lebesgue di funzioni continue sucompatti regolari coincide con quello di Riemann. Le funzioni continue a tratti risultanointegrabili su intervalli limitati, e il loro integrale coincide con quello usuale.Esempio A.8. La funzione f dell’Esempio A.7 è integrabile in [0,1]: se ϕ n è come nell’EsempioA.7, si ha∫ 1 ∫f(x)dx =0 R∫2f(x)χ [0,1] dx = lim n→∞−1ϕ n (x)dx = lim(1+ 1 )= 1.n→∞ n□Osservazione A.9. Una funzione il cui integrale risulti definito in unodei casi precedenti si dice integrabile in R N , se il suo integrale è finito.Alcune funzioni non negative (non integrabili) hanno in effetti integraleinfinito.□L’integrale di Lebesgue soddisfa le usuali proprietà dell’integrale, se ristrettoalle funzioni integrabili, cioè di integrale finito. Per esempio lasomma di funzioni integrabili è integrabile, ed il suo integrale coincidecon la somma degli integrali delle singole funzioni. In particolare vale laproprietàdelconfronto,edunque,perogni f, g ed E misurabili, con f ≤ gq.o. in E,∫ ∫f ≤ g. (A.9)Ne segueE∫∣EE∫f∣ ≤ |f|.E(A.10)Si può anche dimostrare che se E 1 , E 2 sono misurabili con E 1 ∩E 2 di misuranulla, e f è integrabile su E 1 ∪E 2 , allora f è integrabile su ciascun E i ,e ∫ ∫ ∫f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx. (A.11)E 1 ∪E 2 E 1 E 2È facile vedere che l’integrale di qualunque funzione su un insieme dimisura nulla vale zero. In altri termini, se una funzione si annulla q.o. nel

A.2. FUNZIONI INTEGRABILI 197dominio di integrazione, il suo integrale è nullo. In particolare se f = gq.o. in E, allora∫|f(x)−g(x)|dx = 0E(e in effetti vale anche il viceversa).Un’altraconseguenzadiquestofattoèchenonèdisolitonecessariodistingueretral’integrale calcolato su [a,b] e quello calcolato su (a,b). Entrambisi denotano con il medesimo simbolo ∫ ba. Si scrive anche∫ ∞−∞∫= ,R∫ ∞a=∫(a,∞), e così via.Esempio A.10. Funzioni continue e limitate su insiemi illimitati. Perqueste f, se sono non negative su E illimitato, basta calcolare∫ ∫∫f(x)dx = lim f(x)χ {|x|≤k} dx = lim f(x)dx; (A.12)k→∞EEk→∞E∩{|x|≤k}spesso la successione di integrali a destra è calcolabile con le solite proceduredegli integrali di Riemann.Se f cambia di segno in E, prima ci si accerta (usando (A.12)) che |f| siaintegrabile in E. Poi si calcola l’integrale di f usando di nuovo la (A.12).Quest’ultima formula non è applicabile a funzioni non integrabili di segnovariabile.Sia per esempio per α ∈ R fissato,f(x) = 1 x α ,x ∈ E = [1, ∞).Allora,∫ k1dxx αQuindi, mandando k a ∞,∫k=k1−α −11−α , α ̸= 1;∫ ∞1{dx 1x α = α−1 , α > 1,+∞, α ≤ 1.1dxx = lnk.Esempio A.11. Funzioni illimitate su limitati. Se f ≥ 0 su E limitatobasta calcolare∫ ∫f(x)dx = lim min ( k, f(x) ) dx. (A.13)k→∞EESe f cambia di segno, dopo aver accertato che |f| è integrabile in E, si puòcalcolare∫ ∫f(x)dx = lim max ( −k,min ( k, f(x) )) dx.k→∞EE□

198 DANIELE ANDREUCCIPer esempio consideriamo per α ∈ R fissatoAllora se α ̸= 1, α > 0,∫ 10(1)min k,x α dx =Nello stesso modo∫ 1f(x) = 1 x α , x ∈ E = (0,1).k∫−1/α0∫k −1kdx+∫ 1k −1/α∫ 1dxx α= k1− 1 α +1−k 1− 1 α1−α .(min k, 1 )dxdx = kdx+x x = 1−ln 1 k = 1+lnk.00 k −1Perciò (il caso α ≤ 0 si riduce all’integrale di una funzione continua), perk → ∞ si ha∫ 10{dx 1x α = 1−α , α < 1,+∞, α ≥ 1.Esempio A.12. Il caso N > 1. I risultati sopra si estendono subito al casodi R N , N > 1, usando la formula di cambiamento di variabili∫r 1 N. (A.15)|x| αOsservazione A.13. Quanto detto sopra si può estendere a funzioni complessef : R N → C, considerando ciascuna delle funzioni reali Re f e Im f;si pone poi∫ ∫ ∫f(x)dx := Re f(x)dx+i Im f(x)dx,Ese entrambe Re f e Im f sono integrabili in E.Altri risultati importanti sono:ELemma A.14. Se f è integrabile su R, esistono due successioni c + n → ∞, c − n →−∞, tali chelimn→∞ f(c+ n ) = 0, lim f(c − n→∞n ) = 0. (A.16)E□□□

Lemma A.15. Se f è integrabile su [a, ∞), alloraA.3. LO SPAZIO L 2 (E) 199lim∫ ∞m→∞mf(x)dx = 0.(A.17)Lemma A.16. Se f n e f sono funzioni misurabili su un insieme limitato E, e selim f n(x) = f(x), |f(x)|,|f n (x)| ≤ C, q.o. in E,n→∞con C indipendente da x, allora∫ ∫lim f n = f .n→∞ELemma A.17. Se f è una funzione integrabile su (a,b), allora, postoF(x) =∫ xaEf(s)ds, a < x < b,la F risulta continua in (a,b), e la sua derivata F ′ esiste q.o., con F ′ = f q.o.. Inparticolare, se due funzioni integrabili f e g in (a,b) soddisfano∫ xvale f = g q.o. in (a,b).af(s)ds =∫ xag(s)ds, a < x < b,A.3. Lo spazio L 2 (E)Consideriamo le funzioni misurabili in E ⊂ R N che abbiano la proprietàf 2 è integrabile su E.(A.18)Per i motivi che sono chiariti nel Capitolo 7, tra due qualsiasi di questefunzioni f e g vogliamo introdurre una ‘distanza’ (o norma di f −g)(∫1/2.‖f −g‖ := |f(x)−g(x)| dx) 2ECome già osservato, questa quantità risulta nulla se f = g q.o.. Dunquevogliamo in realtà identificare due funzioni che sono uguali quasiovunque.In modo rigoroso, questo si ottiene considerando l’insieme delle classi di equivalenza[f] = {g | g = f q.o.},per ogni f come sopra. Lo spazio L 2 (E) dunque è definito come l’insieme di queste classidi equivalenza, e, per esempio, si definisce(∫ ) 1‖[f]‖ = f(x) 2 2dx .Con le operazioniEλ 1 [f 1 ]+λ 2 [f 2 ] := [λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ], λ 1 , λ 2 ∈ R,L 2 (E) risulta uno spazio vettoriale.Di solito, tuttavia, si lavora in termini delle funzioni f, ossia si sceglie (ad arbitrio) unrappresentante della classe [f].

200 DANIELE ANDREUCCIA.3.1. Proprietà di successioni di funzioni in L 2 (E). Lo spazio L 2 (E) risultauno spazio completo con la norma ‖·‖. Questo significa che unasuccessione di Cauchy in L 2 (E) ha limite in L 2 (E). Più in dettaglio: se lasuccessione {f n } ⊂ L 2 (E) soddisfaper ogni ε > 0 esiste un n ε tale che: ‖f n − f m ‖ ≤ εper ogni n, m ≥ n ε ,allora esiste un f ∈ L 2 (E) tale chelim ‖f n − f‖ = 0.n→∞(A.19)Perdefinizione,sevale la(A.19)sidiceche f n converge a f in L 2 (E). Sivedesubito che se vale (A.19) allora la {f n } è di Cauchy. Inoltre, ricordando la(7.9), dalla (A.19) segue chelim ‖f n‖ = ‖f‖.n→∞Un’altra proprietà interessante è:Data una successione f n che converge a f inL 2 (E), se ne può estrarre una sottosuccessione f nkche converge a f q.o. in E.(A.20)Non è vero però, in genere, che tutta la successione f n converga a f q.o.:la convergenza in L 2 (E) significa che una certa successione di integralidiventa piccola, ma i grafici delle f n possono comunque essere distanti daquello della f (almeno in insiemi piccoli).EsempioA.18. Siconsideriinfattiilseguentecontroesempio: siaE = [0,1];si prendano i due intervalli I 1 = [0,1/2) e I 2 = [1/2,1]; poi i quattroI 3 = [0,1/4), I 4 = [1/4,1/2), I 5 = [1/2,3/4), I 6 = [3/4,1], poi gli ottoI 7 = [0,1/8), I 8 = [1/8,1/4), ..., e così via. Si ponga f n = χ In . Poiché∫E|f n (x)| 2 dx =∫ 10χ In (x)dx → 0, n → ∞,vale che f n tende a zero in L 2 (E). Considerazioni abbastanza semplici,però, mostrano che f n (x) non tende a zero per alcun x ∈ E. □Comunque, se una successione converge sia nel senso di L 2 che in quelloq.o., allora i due limiti devono coincidere (questo segue per esempio dallaproprietà descritta sopra).•Un concetto molto importante è quello dellaconvergenza debole: sidice che una successione{f n } ⊂ L 2 (E) converge in modo debole in L 2 (E) a una funzione f ∈ L 2 (E) se e solo se, perogni fissata g ∈ L 2 (E), vale∫ ∫lim f n (x)g(x)dx = f(x)g(x)dx. (A.21)n→∞E ENella Sottosezione 7.3.1 si discute un esempio di successione che converge nel senso debole,ma non nel senso di (A.19). Viceversa, una successione che converge a f nel senso di(A.19), vi converge anche nel senso debole.Una proprietà notevole è la seguente:

A.3. LO SPAZIO L 2 (E) 201Data una successione {f n } di funzioni con norma limitatauniformemente, cioè tali che‖f n ‖ ≤ C, per ogni n ≥ 1(ove C non dipende da n), se ne può estrarre unasottosuccessione {f nk } che converge nel senso debole.

APPENDICE BCambiamenti di coordinateFormule relative a comuni cambiamenti di coordinate.B.1. Coordinate cilindricheQuanto detto in questa sezione vale anche per le coordinate polari nelpiano, qualora si prescinda dalla dipendenza da z.Le coordinate cilindriche in R 3 sono definite da⎧⎪⎨ x = rcos ϕ,y = rsin ϕ, 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < z < ∞.⎪⎩z = z;Lo iacobiano del cambiamento di coordinate valeJ(r, ϕ,z) = r.La terna ortonormale dei versori associati alle coordinate cilindriche è⎧⎪⎨ u 1 = cos ϕe 1 +sin ϕe 2 , versore radiale;u 2 = −sin ϕe 1 +cos ϕe 2 , versore tangenziale;⎪⎩u 3 = e 3 , versore assiale.(B.1)B.1.1. Gradiente in coordinate cilindriche. Dalle usuali formule di derivazionedi funzioni composte discende∂∂x = ∂r∂x∂∂r + ∂ϕ∂x∂∂ϕ + ∂z∂x∂∂z = cos ϕ ∂ ∂r − sin ϕr∂∂ϕ .Nello stesso modo∂∂y = sin ϕ ∂ ∂r + cos ϕ ∂r ∂ϕ ,∂∂z = ∂ ∂z .Perciò, per una funzione f, che qui e nel seguito assumeremo regolarequanto basta,∇f = ∂f∂x e 1+ ∂f∂y e 2+ ∂f∂z e 3= cos ϕ ∂f∂r e 1 − sin ϕ ∂fr ∂ϕ e 1+sin ϕ ∂f∂r e 2 + cos ϕ ∂fr ∂ϕ e 2 + ∂f∂z e 3= ∂f∂r u 1+ 1 ∂fr ∂ϕ u 2+ ∂f∂z u 3. (B.2)203

204 DANIELE ANDREUCCIQuesta è la decomposizione del gradiente di f nella terna u i . Si deveassumere r > 0, che comunque è un’ipotesi necessaria perché la trasformazionedi coordinate sia regolare.•B.1.2. Divergenza in coordinate cilindriche. Sia F una funzione vettorialeregolare quanto basta, e poniamoF = F 1 e 1 +F 2 e 2 +F 3 e 3 = F r u 1 +F ϕ u 2 +F z u 3 .Ricordando la definizione degli u i segueAlloraF r = cos ϕF 1 +sin ϕF 2 ,F ϕ = −sin ϕF 1 +cos ϕF 2 ,F z = F 3 .divF = ∂F1∂x + ∂F2∂y + ∂F3∂z= cos ϕ ∂F1∂r − sin ϕ ∂F 1 ∂F2+sin ϕr ∂ϕ ∂r + cos ϕ ∂F 2r ∂ϕ + ∂F3∂z= ∂Fr∂r + 1 ∂F ϕr ∂ϕ + 1 r Fr + ∂Fz∂z = 1 ∂r ∂r (rFr )+ 1 ∂F ϕr ∂ϕ + ∂F3∂z . (B.3) •B.1.3. Laplacianoincoordinatecilindriche. Perdefinizionedilaplaciano,e per (B.2), (B.3),( ∂f∆ f = div(∇f) = div∂r u 1+ 1 ∂fr ∂ϕ u 2+ ∂f )∂z u 3= 1 (∂r ∂f )+ 1 )∂ 1 ∂f+r ∂r ∂r r ∂ϕ( ∂ ( ) ∂fr ∂ϕ ∂z ∂zTalvolta è utile il seguente= 1 r∂∂r(r ∂f∂rLemma B.1. Sia f ∈ C 1 (R 2 ) a simmetria radiale, ossiaAllora l’origine è un punto critico per f, ossiae dunque g ′ (0+) = 0.)+ 1 r 2 ∂ 2 f∂ϕ 2 + ∂2 f∂z 2 . (B.4)f(x,y) = g(r), (x,y) ∈ R 2 . (B.5)∇f(0,0) = 0,(B.6)Dimostrazione. Consideriamolarestrizionedi f all’asse x,h(x) = f(x,0).Allora, questa funzione di x è pari in x, poichéh(x) = f(x,0) = g(|x|) = f(−x,0) = h(−x), x ∈ R.Dunque si deve averef x (0,0) = h ′ (0) = 0.In modo simile si dimostra che f y (0,0) = 0.□

B.2. COORDINATE SFERICHE 205B.2. Coordinate sfericheLe coordinate sferiche in R 3 sono definite da⎧⎪⎨ x = rcos ϕsin θ,y = rsin ϕsin θ, 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.⎪⎩z = rcos θ;Si calcola subito lo iacobiano del cambiamento di coordinateJ(r, ϕ, θ) = r 2 sin θ.Consideriamo poi la terna ortonormale associata alle coordinate sferiche⎧⎪⎨ u 1 = cos ϕsin θe 1 +sin ϕsin θe 2 +cos θe 3 , versore radiale;u 2 = −sin ϕe 1 +cos ϕe 2 , versore tangenziale;⎪⎩u 3 = cos ϕcos θe 1 +sin ϕcos θe 2 −sin θe 3 , versore meridiano.(B.7)B.2.1. Gradienteincoordinatesferiche. Vogliamoscomporreilgradientediunafunzione f secondolaternau i . Invecediprocedereusandolaregoladiderivazionedifunzionicomposte,usiamolaproprietàdelgradiente∇f∫f(P 1 )− f(P 2 ) = ∇f · τds, (B.8)ove la curva C congiunge P 2 a P 1 , e τ ne è il versore tangente.Scegliamo prima, per calcolare la componente di ∇f lungo u 1 , C come unsegmento di raggioC(s) = ((r+s)cos ϕsin θ,(r+s)sin ϕsin θ,(r+s)cos θ), 0 ≤ s ≤ h.Dunque, usando il simbolo f(r, ϕ, θ) per denotare la dipendenza dallecoordinate sferiche,f(r+h, ϕ, θ)− f(r, ϕ, θ) =∫ h0C∇f(r+s, ϕ, θ)·u 1 (ϕ, θ)ds.Dividendo per h e prendendo il limite per h → 0 si ottiene∇f ·u 1 = ∂f∂r .Prendiamo poi C come un arco di parallelo, ossiaC(ω) = (rcos(ϕ+ω)sin θ,rsin(ϕ+ω)sin θ,rcos θ), 0 ≤ ω ≤ h.In questo modo il vettore tangente a C è proprio rsin θu 2 . Allora∫ hf(r, ϕ+h, θ)− f(r, ϕ, θ) = rsin θ0∇f(r, ϕ+ω, θ)·u 2 (ϕ+ω, θ)dω.Dividendo per h e prendendo il limite per h → 0 si ottiene∇f ·u 2 = 1 ∂frsin θ ∂ϕ .•

206 DANIELE ANDREUCCIQuesta espressione ha senso per rsin θ ̸= 0, ma sappiamo del resto che incaso contrario il cambiamento dicoordinatepresentadellesingolarità (peresempio lo iacobiano si annulla).Infine si scelgaC(ω) = (rcos ϕsin(θ+ω),rsin ϕsin(θ+ ω),rcos(θ+ ω)), 0 ≤ ω ≤ h,in modo che C risulti un arco di meridiano e il suo vettore tangente siaru 3 . Quindi∫ hf(r, ϕ, θ+h)− f(r, ϕ, θ) = re si ottiene nel solito modoRiassumendo0∇f ·u 3 = 1 r∇f(r, ϕ, θ+ω)·u 3 (ϕ, θ+ω)dω,∂f∂θ .∇f = ∂f∂r u 1+ 1 ∂frsin θ ∂ϕ u 2+ 1 ∂fr ∂θ u 3.(B.9)B.2.2. Divergenza in coordinate sferiche. Usiamo la proprietà (teoremadella divergenza)∫ ∫divFdV = F·νdσ, (B.10)Ωove Ω è un qualunque aperto limitato con frontiera regolare, e ν è lanormale esterna a tale frontiera. Usiamo nel seguito la scomposizionedi FF = F r u 1 +F ϕ u 2 +F θ u 3 . (B.11)PrendiamoΩ = {(x,y,z) | ¯r ≤ r ≤ ¯r+h r , ¯ϕ ≤ ϕ ≤ ¯ϕ+h ϕ , ¯θ ≤ θ ≤ ¯θ+h θ },con (¯r, ¯ϕ, ¯θ) fissato ad arbitrio, e h r , h ϕ , h θ > 0 piccoli. Riscrivendo (B.10)in coordinate sferiche, si ottieneove¯r+h ∫ r¯r¯ϕ+h ϕ ∫¯ϕI r =¯θ+h ∫ θ¯θ∂ΩdivFr 2 sin θdrdϕdθ = I r + I ϕ + I θ ,∫∂Ω∩{r=¯r+h r }F r dσ−∫∂Ω∩{r=¯r}F r dσ,(B.12)e I ϕ , rispettivamente I θ , è definito in modo analogo, scambiando r con ϕ,rispettivamente con θ. Infatti la frontiera di Ω, per la definizione di Ω,risulta composta da porzioni di superficie regolari, e su ciascuna porzioneuna delle coordinate sferiche è costante; dunque la normale a tale porzionedi frontiera è uno dei vettori u i . Raccogliendo gli integrali sulle dueporzioniove risultacostantela stessacoordinata(per esempiola r nelcasodi I r ) si ottengono appunto I r , I ϕ , I θ .•

B.2. COORDINATE SFERICHE 207Calcoliamo (ricordando che le porzioni di frontiera ove r = costante sonoporzioni di superficie sferica, con elemento d’area r 2 sin θ) quando gliincrementi h i tendono a zero,I rh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯ϕ+h ϕ ∫¯ϕ¯θ+h ∫ θ¯θ[F r (¯r+h r , ϕ, θ)(¯r+h) 2 sin θ−F r (¯r, ϕ, θ)¯r 2 sin θ ] dϕdθ→ ∂ ∂r( )F r (r, ϕ, θ)r 2 sin θ (¯r, ¯ϕ, ¯θ).Con un argomento analogo (ricordando che le porzioni di frontiera oveϕ = costante sono porzioni di piano, con elemento d’area r)I ϕh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯r+h ∫ r¯r¯θ+h ∫ θ¯θ[F ϕ (r, ¯ϕ+h ϕ , θ)r−F ϕ (r, ¯ϕ, θ)r ] drdθ→ ∂ ( )F ϕ (r, ϕ, θ)r (¯r, ¯ϕ, ¯θ).∂ϕInfine (ricordando che le porzioni di frontiera ove θ = costante sono porzionidi superficie conica, con elemento d’area rsin θ)I θh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯r+h ∫ r¯r¯ϕ+h ϕ[F∫¯ϕθ (r, ϕ, ¯θ+h θ )rsin(¯θ+h θ )−F θ (r, ϕ, ¯θ)rsin ¯θ ] drdϕ→ ∂ ( )F θ (r, ϕ, θ)rsin θ (¯r, ¯ϕ, ¯θ).∂θD’altra parte, ilterminedisinistradi(B.12), sediviso per h r h ϕ h θ , halimite,quando ciascuno degli incrementi tende a zero,divF ¯r 2 sin ¯θ.Utilizzando tutte le uguaglianze sopra, si ottiene infine la rappresentazionecercata di divF, ossiadivF = 1 r 2 ∂∂r (Fr r 2 )+ 1rsin θ∂∂ϕ (Fϕ )+ 1rsin θ∂∂θ (Fθ sin θ).(B.13)•

208 DANIELE ANDREUCCIB.2.3. Laplaciano in coordinate sferiche. Per definizione di laplaciano, eper (B.9), (B.13),( ∂f∆ f = div(∇f) = div∂r u 1+ 1 ∂frsin θ ∂ϕ u 2+ 1 )∂fr ∂θ u 3= 1 (∂r 2 r 2 ∂f∂r ∂r= 1 r 2 ∂∂r)+ 1(r 2 ∂f∂rrsin θ)+∂∂ϕ( 1 ∂frsin θ ∂ϕ1r 2 sin 2 θ)+ 1∂ 2 f∂ϕ 2 + 1r 2 sin θ∂ 1rsin θ ∂θ(r∂∂θB.3. Coordinate polari in dimensione NIn R N introduciamo le coordinateQuiRisultax 1 = rsin ϕ 1 sin ϕ 2 ...sin ϕ N−2 sin ϕ N−1 ,x 2 = rsin ϕ 1 sin ϕ 2 ...sin ϕ N−2 cos ϕ N−1 ,x 3 = rsin ϕ 1 sin ϕ 2 ...cos ϕ N−2 ,x 4 = rsin ϕ 1 sin ϕ 2 ...sin ϕ N−3 ,...x N = rcos ϕ 1 .)∂f∂θ sin θ( ∂f∂θ sin θ ). (B.14)r ∈ [0, ∞), ϕ 1 , ... , ϕ N−2 ∈ [0, π], ϕ N−1 ∈ [−π, π].r = |x| = √∑N x 2 i .i=1Inoltre il determinante iacobiano della matrice di cambiamento di coordinateèDefiniamoJ = rN−1N−1∏i=1(sin ϕ i ) N−1−i .H = [0, π] N−2 ×[−π, π], ϕ = (ϕ 1 ,..., ϕ N−1 ).In particolare, per integrali calcolati su sfere di centro l’origine si ha∫B R (0)f(x)dx ===∫ R0∫ R0∫ R0∫drHr N−1 drdr∫∂B r (0)f ( x(r, ϕ) ) r∫∂B 1 (0)N−1N−1∏i=1f ( x(r, ϕ) ) dσ ϕf ( x(r, ϕ) ) dσ ϕ .(sin ϕ i ) N−1−i dϕ•

B.3. COORDINATE POLARI IN DIMENSIONE N 209(Si è usata la comune notazione degli integrali ripetuti per denotare integraliinterni uno all’altro.)Osservazione B.2. Per esempio, prendendo f = 1, R = 1 si haω N =∫B 1 (0)dx =∫ 10r N−1 dr∫∂B 1 (0)∫1dσ ϕ = σ N0r N−1 dr = σ NN .B.3.1. Il laplaciano di funzioni radiali. Calcoliamo il laplaciano in coordinatepolari, limitandoci a funzioni radiali: premettiamo chediv x|x| = divx x−x·|x| |x| 3 = N|x| − 1|x| = N−1 .|x|Dunque se f ∈ C 2 ((0, ∞)), si ha[∆[f(|x|)] = div∇[f(|x|)] = div f ′ (|x|) x ]|x|= f ′′ (|x|) x|x| · x|x| + f′ (|x|) N −1 = f ′′ (|x|)+ f ′ (|x|) N −1 .|x| |x|Con la notazione delle coordinate polari, si scrive∆[f(r)] = f ′′ (r)+ N−1rf ′ (r) = 1r N−1 ddr( )r N−1 f ′ (r) .□•

APPENDICE CRichiami e definizioniElenchiamo alcune formule e risultati usati nel corso.C.1. FunzioniDefinizione C.1. Sia [a,b] un intervallo limitato e chiuso di R. Una funzionef : [a,b] → R si dice continua a tratti su [a,b] se e solo se esiste unapartizione di [a,b], x 0 = a < x 1 < ··· < x n = b, tale che: f è continua su(x i ,x i+1 ) per i = 0, ..., n−1; esistono finiti i limiti f(x i +) per i = 0, ...,n−1; esistono finiti i limiti f(x i −) per i = 1, ..., n. □Definizione C.2. Sia I un intervallo illimitato e chiuso di R. Una funzionef : I → R sidice continuaatratti su I seesolose è continua a trattisu ogniintervallo limitato e chiuso J contenuto in I.□C.2. InsiemiDefinizione C.3. Una curva γ ⊂ R N si dice regolare se ha una parametrizzazioneΨ : I → R N , con I intervallo di R, tale che Ψ ∈ C 1 (R), e ˙Ψ(t) ̸= 0per ogni t ∈ I. La parametrizzazione Ψ si dice a sua volta regolare.Una curva regolare si dice semplice se Ψ(t 1 ) ̸= Ψ(t 2 ) per ogni t 1 , t 2 ∈ I cont 1 ̸= t 2 .□Definizione C.4. Un insieme aperto Ω ⊂ R N si dice connesso se ognicoppia di punti x 1 , x 2 ∈ Ω può essere congiunta da una curva regolareγ ⊂ Ω.□Di solito la proprietà precedente viene introdotta come connessione per archi; comunqueper insiemi aperti di R N essa equivale alla connessione, che per un insieme E ⊂ R Nqualunque viene introdotta spesso comeDefinizione C.5. Un insieme E ⊂ R N si dice connesso se daE = E 1 ∪E 2 , E 1 ∩E 2 = ∅, E i = E∩ A i , A i aperto,segue che vale almeno una delle dueE 1 = ∅, E 2 = ∅.Definizione C.6. Un insieme aperto Ω ⊂ R 2 si dice normale rispetto a unarettalse la suaintersezionecon ognirettaortogonalea l è connessa, ossiaè un intervallo.□Definizione C.7. Il supporto di una funzione f : R N → R è l’intersezionedi tutti i chiusi fuori dei quali la funzione si annulla. Quindi è il piùpiccolo chiuso fuori del quale la funzione si annulla, e, se è limitato, ècompatto.□211□

212 DANIELE ANDREUCCI• L’identità1+2k∑n=1C.3. Identità trigonometrichecos(nθ) =)sin(2k+12θsin θ 2, θ ̸= 2mπ, m ∈ Z (C.1)provienedallaparterealedellasommaparziale dellaseriegeometricak∑ e inθ = ei(k+1)θ −1n=0e iθ , (C.2)−1dopo l’applicazione di formule trigonometriche elementari.• L’identitàk∑ sin(2n+1)θ = sin2 (k+1)θ, θ ̸= mπ, m ∈ Z, (C.3)n=0sin θsegue dalla somma su n = 0, 1, ..., k, delle2sin(2n+1)θ sin θ = cos(2nθ)−cos2(n+1)θ,che a loro volta sono conseguenze immediate delle formule di addizione.C.4. DisuguaglianzeLemma C.8. (Cauchy-Schwarz) Se f, g ∈ L 2 (Ω),∫Ω(∫|f(x)g(x)|dx ≤La dimostrazione è data nel Lemma 7.4.Ω)1(∫|f(x)| 2 2dxΩ|g(x)| 2 dx)12. (C.4)Lemma C.9. (Poincaré) Sia Ω un aperto limitato di R N , contenuto in unasfera di raggio R. Sia u ∈ C 1 (Ω), con u = 0 su ∂Ω. Allora∫ ∫u(x) 2 dx ≤ (2R) 2 |∇u(x)| 2 dx. (C.5)ΩDimostrazione. Svolgiamo per semplicità la dimostrazione in R 2 ; il casogenerale è del tutto analogo. Supponiamo anche senza perdita digeneralità che la sfera che contiene Ω abbia centro nell’origine.Estendiamo la definizione di u a tutto R 2 , ponendo u ≡ 0 fuori di Ω.Continuiamo a denotare con u questa estensione.Fissiamo (¯x,ȳ) ∈ Ω. Integriamo u y sulla semiretta per (¯x,ȳ) parallelaall’asse y, per y < ȳ; definiamo ¯η < ȳ in modo che (¯x, ¯η) ∈ ∂Ω sia l’intersezionedi questa semiretta con ∂Ω più vicina a (¯x,ȳ). Per la regolarità diu, e visto che u(¯x, ¯η) = 0,u(¯x,ȳ) =∫ ȳ¯ηΩu y (¯x,y)dy,

C.5. RIFLESSIONI 213da cui, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (C.4),u(¯x,ȳ) 2 =( ȳ ∫¯η2 ∫u y (¯x,y)dy) ȳ≤ (ȳ− ¯η)¯ηu y (¯x,y) 2 dy ≤ 2RIntegriamo questa disuguaglianza su Ω: dato che u ≡ 0 fuori di Ω,∫Ω∫u(¯x,ȳ) 2 d¯xdȳ ≤ 2R= 2R∫R= (2R) 2−RΩ∫ R( R ∫−R[ R ∫−R −R( ∫R−Ru y (¯x,y) 2 dy( R ∫−Ru y (¯x,y) 2 dy)u y (¯x,y) 2 dy)d¯xdȳ)d¯x]d¯x = (2R) 2 ∫dȳΩ∫ R−Ru y (¯x,y) 2 dy.u y (¯x,y) 2 d¯xdy.□C.5. RiflessioniSia f : (a,b) → R, con a, b ∈ R. Vogliamo trovare un’estensione F di f chesia pari intorno a x = a, dispari intorno a x = b, e definita su tutto R (al difuori dell’insieme I definito sotto). Iniziamo con il costruire l’estensionesull’intervallo ‘riflesso a destra’ (a,2b−a), ponendo{f(x), a < x < b,F 1 (x) =(C.6)−f(2b−x), b < x < 2b−a.Poi estendiamo la definizione a (3a−2b,2b−a) mediante la{FF(x) = 1 (x), a < x < 2b−a,F 1 (2a−x), 3a−2b < x < a.(C.7)La F soddisfa la proprietà di simmetria richieste entro l’intervallo (3a −2b,2b−a), che ha lunghezza 4(b−a). Si noti che F non risulta definita suipunti traslati di a e b di multipli interi di b−a, ossia sull’insiemeI = {x ∈ R | x = a+k(b−a), o x = b+k(b−a),k ∈ Z}.Questo non ha in genereimportanza nelle applicazioni del seguenterisultato.Lemma C.10. La F : R\ I → R costruita in (C.7), e poi estesa come funzioneperiodica di periodo 4(b−a) è l’unica estensione di f con le proprietà richieste.Dimostrazione. Dimostriamo che la F ha le proprietà di simmetria indicate,e in particolare che è dispari intorno a x = b. Siano x 1 e x 2 ∈ R\ I,tali cheb−x 1 = x 2 −b > 0.(C.8)

214 DANIELE ANDREUCCIDobbiamo mostrare che F(x 1 ) = −F(x 2 ). Risultano determinati in modounivoco n, m ∈ Z tali che3a−2b+4n(b−a) < x 1 < 2b−a+4n(b−a),3a−2b+4m(b−a) < x 2 < 2b−a+4m(b−a).Queste si possono scrivere come(−4n+3)(b−a) > b−x 1 > −(4n+1)(b−a),(4m+1)(b−a) > x 2 −b > (4m−3)(b−a).Ne segue per (C.8) che m ≥ 0, n ≤ 0 e32 > m−|n| > −2 , ossia che o m = |n| o m = |n|+1.3Poniamoξ 1 = x 1 −4n(b−a), ξ 2 = x 2 −4m(b−a).Risultano ξ 1 , ξ 2 ∈ (3a−2b,2b−a). Per la periodicità di F basta far vederecheF(ξ 1 ) = −F(ξ 2 ).(C.9)i) Caso m = |n| = −n. Valeb−ξ 1 = b−x 1 +4n(b−a) = x 2 −b−4m(b−a) = ξ 2 −b.Quindi ξ 1 e ξ 2 sonosimmetrici rispettoa x = b. Poiché F è percostruzionedispariintornoa x = b all’internodi(3a−2b,2b−a), la(C.9)èdimostrata.ii) Caso m = |n|+1 = −n+1. Vale2a−b−ξ 1 = 2a−2b+b−x 1 +4n(b−a) = ξ 2 −(2a−b).Quindi ξ 1 e ξ 2 sono simmetrici rispetto a x = 2a − b. Poiché F è percostruzione dispari intorno a x = 2a−b all’interno di (3a−2b,2b−a), la(C.9) è dimostrata anche in questo caso.In modo analogo si mostra che F è pari intorno a x = a.Resta da dimostrare l’unicità dell’estensione F. Come primo passo, osserviamoche l’unicità è ovvia su (b,2b−a), per riflessione dispari intornoa x = b. Riflettendo poi in modo pari intorno a x = a, segue l’unicitàsu (3a−2b,a). A questo punto, di nuovo per riflessione dispari intorno ax = b, l’unicità segue su (b,4b−3a). Ripetendo il ragionamento, l’estensioneviene identificata in modo univoco su tutto R\ I, in una successionenumerabile di passi.□Osservazione C.11. In modo simile si estende la f in modo che l’estensioneabbia una qualunque prescelta coppia di simmetrie (pari o dispari)intorno a x = a e x = b.Selesimmetriein a ein b sonodellostessotipo(entrambeparioentrambedispari), sipuòvederechelafunzione estesarisultain effettiperiodicaconperiodo 2(b−a).□Risultano spesso utili le seguenti osservazioni di dimostrazione elementare.Lemma C.12. Sia f ∈ C([0,b]). Denotiamo con f D [f P ] la riflessione dispari[pari] di f intorno a x = 0. Allora:(1) La f D è in C([−b,b]) se e solo se f(0) = 0.

C.6. INTEGRALI 215(2) Se f ∈ C 1 ([0,b]), e f(0) = 0, allora f D ∈ C 1 ([−b,b]).(3) Sia f ∈ C 2 ([0,b]), e f(0) = 0. Allora f D ∈ C 2 ([−b,b]) se e solo sef ′′ (0) = 0.La riflessione pari soddisfa:(1) La f P è in C([−b,b]).(2) Sia f ∈ C 1 ([0,b]). Allora f P ∈ C 1 ([0,b]) se e solo se f ′ (0) = 0.(3) Sia f ∈ C 2 ([0,b]), e f ′ (0) = 0. Allora f P ∈ C 2 ([−b,b]).C.6. IntegraliLemma C.13. Per ogni f : R → R integrabile su (0,T) e periodica di periodoT > 0, valea+T ∫af(x)dx =Dimostrazione. Infatti,a+T ∫a∫ T0∫ Tf −perché, cambiando variabile,0f(x)dx, per ogni a ∈ R.∫ af = −0f +a+T ∫Tf = 0,a+T ∫f(x)dx =∫ af(y+T)dy =∫ af(y)dy,per l’ipotesi di periodicità.T00□Lemma C.14. Siano f ∈ C 1 ([1, ∞)), g ∈ C([1, ∞)) due funzioni tali cheef ′ (x) ≤ 0, x ≥ 1; f(x) → 0, x → ∞, (C.10)∣ ∣∣∣∣∣ b ∫con C indipendente da a e b.AlloraaY(s) :=g(x)dx≤ C,per ogni a, b ≥ 1,∣ (C.11)∫ sper un numero reale opportuno L.1f(x)g(x)dx → L, s → ∞,Si noti che il Lemma C.14 vale a prescindere dalla sommabilità dellafunzione fg su [1, ∞): si veda l’Osservazione 8.7 per un esempio.Dimostrazione. Per il criterio di Cauchy, basta dimostrare che per ognifissato ε > 0 esiste un h 0 > 1 opportuno tale che|Y(k)−Y(h)| ≤ ε, per ogni h, k ≥ h 0 . (C.12)

216 DANIELE ANDREUCCISi haY(k)−Y(h) =ove si è definito∫ kh∫ kf(x)g(x)dx = f(k)G(k)− f(h)G(h)−G(x) =∫ x1g(s)ds.È ovvio chef(k)G(k), f(h)G(h) → 0, h,k → ∞,perché f ha limite nullo e G resta limitata per ipotesi. Inoltre∫ kf ′ ∫k(x)G(x)dx∣ ∣ ≤ ∣ f ′ (x)G(x) ∣ ∫kdx ≤ C ∣ f ′ (x) ∣ dxhh∫ k= −Chhhf ′ (x)G(x)dx,f ′ (x)dx = C[f(h)− f(k)] → 0, h,k → ∞.□

APPENDICE DSimboli e notazione usati nel testoLeggete la Notazione.D.1. NotazioneSi noti che il testo è diviso in Capitoli, Sezioni, Sottosezioni e Sottosottosezioni;per vari motivi, tra i quali una precisa definizione del programmadi esame, è bene tenere presente che i seguenti simboli indicano la fine dialcune di queste suddivisioni:•: Sottosezione (numerazione a.b.c)∗: Sottosottosezione(numerazione a.b.c.d)□: dimostrazioni, osservazioni, definizioni ...D.2. Simboli usati nel testoa·b prodotto scalare dei vettori a e b; talvolta omesso.Ω un aperto limitato e connesso di R N ,con frontiera C 1 a tratti.∂Ω frontiera di Ω.ν = (ν i ) versore normale esterno a Ω.B r (x) sfera aperta con centro x e raggio r.Q T cilindro spazio-temporale Q T = Ω×(0,T).x → s 0 + x tende a s 0 da destra.x → s 0 − x tende a s 0 da sinistra.f(s 0 +) denota il limite di f(x) per x → s 0 +.f(s 0 −) denota il limite di f(x) per x → s 0 −.s + parte positiva di s ∈ R, s + = max(s,0).s − parte negativa di s ∈ R, s − = max(−s,0).sign(x) funzione segno di x ∈ R, definita da sign(x) = x/|x|,per x ̸= 0.∇f gradiente spaziale della funzione f(x,t): ∇f = ( ∂f∂x,...,1D 2 f matrice hessiana della funzione f.χ I funzione caratteristica dell’insieme I:χ I (x) = 1 se x ∈ I, χ I (x) = 0 se x ̸∈ I.δ x massa di Dirac centrata in x.f |B restrizione a B ⊂ A di una funzione f : A → R N .C(A)C n (A)C n ◦(A)classe delle funzioni continue in A. Lo stesso che C 0 (A).classe delle funzioni continue in A insieme conle loro derivate fino all’ordine n.classe delle funzioni in C n (A), il cui supporto è217∂f∂x N).

218 DANIELE ANDREUCCIcompatto e contenuto in A.C 2,1 (A) classe delle funzioni f, tali che f, ∂f∂t , ∂f∂x, e ∂2 fi ∂x i ∂x jsono continue in A per ogni i, j = 1,...,N.i unità immaginaria: i·i = −1.e.d.p. equazione/equazioni a derivate parziali.e.d.o. equazione/equazioni a derivate ordinarie.q.o. quasi ovunque.ω N volume N-dimensionale della sfera {|x| ≤ 1} in R N .σ N area (N−1)-dimensionale della superficie sferica {|x| = 1} in R N ;vale σ N = Nω N .

APPENDICE ERisposte agli esercizi2.7 ∫ ∫gdx = f dσ.Ω ∂Ω5.3u(x,t) = 1 3c cos(3ct)sin(3x).5.4u(x,t) = e −5Dt sin(x 1 )sin(2x 2 ).5.12 √2L sin (n π L x ), n = 1,2,...5.13 √1L , √2L cos (n π L x ), n = 1,2,...10.17|u(x,t)| ≤ γ(x) sup|u 0|+sup|∇u 0 |t 2 + sup|u 1|,tove γ dipende anche dalle aree dei supporti di u 0 e u 1 .11.27{x ∈ R N | Γ t (x,t) > 0} = {x ∈ R N | |x| > √ 2NDt}.11.2813.3c critico = λ 1 D,(|x| 2 ) [ N] N2 1Γ x, =2ND 2πe |x| N .λ 1 : primo autovalore del problema di Dirichlet.219

220 DANIELE ANDREUCCISoluzioni1.9 Dalla formula (1.49) si ha, definendo J(R) la quantità di cui si deve calcolareil limite, si haJ(R) = − 1 ∫γ N R 2 (Ψ N (x−y)−Ψ N (R)) ∆u(y)dyB R (x)= − 1γ N R 2 ∫B R (x)− 1γ N R 2 ∫Vale, se N ≥ 3,B R (x)(Ψ N (x−y)−Ψ N (R)) ∆u(x)dy(Ψ N (x−y)−Ψ N (R))[∆u(y)−∆u(x)]dy =: J 1 (R)+ J 2 (R).J 1 (R) = − ∆u(x)γ N R 2 ∫B R (x)(Ψ N (x−y)−Ψ N (R))dy= − ∆u(x) ∫ Rγ N R 2 σ N r N−1 [r −N+2 −R −N+2 ]dr= − ∆u(x)γ N R 2 σ N0[ R22 − R2N= − ∆u(x)γ N R 2 σ NR 2N−22N = − ∆u(x)2N .](E.1)In modo simile si vede che la quantità J 2 (R) → 0 per R → 0. Se poi N = 2, siprocede in modo analogo, ricordando che∫ R0rlnrdr = R2 lnR2− R24 .1.12 Sia A = (a ij ) una matrice corrispondente a un’isometria in R N . Denotiamoanche (b ij ) = B.Allora, per il teorema di derivazione di funzioni composte,Per le seguenti scelte di u:Lv(x) =u(x) = x m x n ,si ottiene, imponendo la (1.53), se m ̸= n,2b mn =N∑ b ij (a nj a mi +a mj a ni ) =i,j=1N N∑ b ij ∑ a kj a hi u xh x k(Ax).i,j=1 h,k=1=N∑i,j=1N∑i,j=1m,n = 1,... ,N,b ij a nj a mi +b ij a nj a mi +N∑r,s=1N∑i,j=1b ji a mj a nib rs a mr a ns = 2N∑i,j=1b ij a nj a mi .

E. RISPOSTE AGLI ESERCIZI 221Se poi m = n si perviene comunque alla medesima uguaglianza, in modo diretto.Quindi valeNb mn = ∑ b ij a nj a mi , per ogni m, n. (E.2)i,j=1Si vede subito che questo equivale, in notazione matriciale, aB = ABA t ,ossia al fatto che B commuta con tutte le rotazioni. Questo implica che B è unmultiplo dell’identità. Ridimostriamo questo risultato ben noto: consideriamo,per fissare le idee, la rotazione di π/2 nel piano (x 1 ,x 2 ), cioè la matrice che siottiene lasciando invariate le righe 3–N nella matrice identità N×N, sostituendole prime due righe con( ) 0 1 0 ... 0.−1 0 0 ... 0Prendendo m = n = 1 nella (E.2) si ha subitob 11 =Prendendo invece m = 1, n = 2 si hab 12 =N∑ b ij δ 2j δ 2i = b 22 .i,j=1N∑ b ij (−δ 1j )δ 2i = −b 21 = −b 12 ,i,j=1e quindi b 12 = 0.Poiché questo argomento si può ripetere per ogni coppia (m,n), m ̸= n, si ottieneinfine cheB = bI .10.14 In tutti i calcoli che seguono, il termine 1/|x| è moltiplicato da fattori chesi annullano in un intorno di |x| = 0, e quindi non dà luogo a singolarità.Si ha (sottintendendo gli argomenti delle funzioni)∇u = − x|x| 3 f + x|x| 2 f′ ,u t = − c|x| f′ .Dunque, passando nell’integrale a coordinate polari in R 3 ,∫∫∞u 2 t +c 2 |∇u| 2 dx = 4πc(2f 2 ′ (r−ct) 2 + f(r−ct)2r 2R 3 0∫∞= 8πc 2−ct∫r 2= 8πc 2∫∞f ′ (s) 2 ds−4πc 2r 1f ′ (s) 2 ds.0− 2 )r f(r−ct)f′ (r−ct) drd( f(r−ct)2dr r)drDato che l’ultimo integrale non dipende da t, abbiamo dimostrato la tesi.

Parte 9Indici

Indice analiticoLe voci con il numero della pagina in neretto si riferisconoa definizioni dell’argomento.approssimazionecon funzioni regolari, 110del dominio, 52armoniche, 30autofunzione, 43normalizzata, 44autofunzioniortogonali, 44autovalore, 43comportamento asintoticoequazione del calore, 115equazione di Laplace, 114condizionidi diffrazione, 169condizioni al contornodel terzo tipo, 56di Dirichlet, 16di Neumann, 16di Robin, 56convoluzioneprodotto di, 107corda semiinfinita, 104delta di Dirac, 111diffeomorfismo, 181dipendenza continua, 103secondo Hadamard, 19teoremi di, 19distribuzione, 112disuguaglianzadi Cauchy-Schwarz, 54, 58, 206di Poincaré, 206dominiodi dipendenza, 98effetto regolarizzante, 121equazionedel calore, 4della diffusione, 4delle onde, 10, 11di Bessel, 92di Laplace, 8fenomenodi Gibbs, 110formuladella media, 13di Cauchy, 182di D’Alembert, 98, 102di Kirchhoff, 100–102di Poisson, 101, 102, 121trasformata di Fourierinversione, 140frontiera parabolica, 17funzionedi Bessel, 92armonica, 13sorgente, 20subarmonica, 13superarmonica, 13gradientedi deformazione, 181Gram-Schmidt, 82identitàdi Green, 11di Stokes, 12interno parabolico, 17leggedi Fick, 4di Fourier, 3, 16lemmadi Hopf, 36massa puntiforme, 7, 111metododell’energia, 165della discesa, 101mollificazione, 110nodi, 30nuclei di approssimazione, 107ondesferiche, 100225

226 DANIELE ANDREUCCIstazionarie, 30parte principale, 155principiodi Duhamel, 127di massimo forte, 31, 34problemaben posto, 19di Dirichlet, 43di Neumann, 43condizione necessaria, 17, 21propagazione con velocità infinita, 119regolarizzazione, 110, 125reversibilità dell’equazione delle onde,98riordinamentodi serie, 63di serie doppia, 78di sistema ortonormale, 63sistema ortonormalecompleto, 46soluzionedebole, 159soluzione fondamentaledell’equazione del calore, 7, 115dell’equazione di Laplace, 11velocitàeuleriana, 182