Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

3.3. L’EQUAZIONE DELLE ONDE O DELLA CORDA VIBRANTE 31Osservazione 3.2. (Soluzioni in settori di piano) Consideriamo β ∈(0,2π], e il settore di pianoLe funzioni della formaQ β := {(rcos ϕ,rsin ϕ) | r > 0,0 < ϕ < β}.corrispondono a soluzioni del problema(v(r, ϕ) = c 1 r π β π)sinβ ϕ , (3.13)∆u = 0, (x,y) ∈ Q β , (3.14)u(x,y) = 0, (x,y) ∈ ∂Q β . (3.15)In genere esistono anche altre soluzioni. Per esempio, se β = 2π, esisteanche la soluzionev(r, ϕ) = rsin ϕ,ossia u = y.□L’equazione3.3. L’equazione delle onde o della corda vibranteu tt −c 2 u xx = 0, (3.16)è un modello per la propagazione di onde in un mezzo unidimensionale,ove c > 0 è la velocità di propagazione delle onde, e u può assumere significatidiversi. Per esempio, se la (3.16) rappresentale piccole vibrazionidi una corda tesa, la u si interpreta come scostamento dalla posizione diriposo della corda. Il punto (x,t) ∈ R 2 varia in domini determinati dalparticolare problema al contorno che stiamo risolvendo.A differenza che nel caso dell’equazione del calore, o di Laplace, o dellastessa equazione delle onde in dimensione N > 1, per la (3.16) si riesce atrovare un’espressionerelativamente semplice che caratterizza tutte e solele soluzioni.Teorema 3.3. Sia u ∈ C 2 (Q) una soluzione di (3.16) in Q = (a,b)×(α, β).Allora esistono due funzioni f e g di una variabile, di classe C 2 , tali cheu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct), in Q. (3.17)Dimostrazione. Introduciamo la trasformazione di coordinateξ = x−ct, η = x+ct, (3.18)e definiamo v come la u riletta nelle nuove variabili, ossia( ξ + ηv(ξ, η) = u , −ξ + η ), u(x,t) = v(x−ct,x+ct). (3.19)2 2cSi noti che v è definita e C 2 nel rettangolo Q racchiuso dalle retteξ + η = 2a, ξ + η = 2b, −ξ + η = 2αc, −ξ + η = 2βc.Calcoli elementari mostrano che la validità di (3.16) in Q implicav ξη = 0, in Q. (3.20)•