Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

90 DANIELE ANDREUCCIdati da∫ rR(r) = k 1 +R(r) = k 1 r n + rn2n0( rγ(ρ)ρln dρ, n = 0,ρ)∫ rr 1γ(ρ)ρ −n+1 dρ− r−n2n∫ r0γ(ρ)ρ n+1 dρ, n ≥ 1,Osservazione9.5. Mostriamochelasoluzioneparticolarew(r) checomparenegliintegraliR è regolare anche per r → 0. Per brevità limitiamoci al caso di α n , n ≥ 1 e a considerareSi noti chew ′′ (r) = γ(r)+ n−12∫rr n−2γ(ρ)ρ −n+1 dρ− n+12r 1∫rr −n−20γ(ρ)ρ n+1 dρ.γ(r) = 1 ∫ πg(r, ϕ)cos(nθ)dθ → 1 ∫ πf(0,0)cos(nθ)dθ = 0, r → 0,ππ−π−πe anzi (vedi la Sezione 3.2)|γ(r)| ≤ 1 ∫ π|g(r, θ)− f(0,0)| dθ ≤ 1 ∫ πmax|∇ f|rdθ ≤ 2max|∇ f|r.ππ−π−πConsideriamo il secondo addendo in w ′′ (r), gli altri essendo anche più semplici: taleaddendo è maggiorato in valore assoluto dan−12∫ r 1r|γ(ρ)| rn−2∫r 1ρ n−1 dρ ≤ (n−1)e quindi rimane limitato per r → 0.rmax|∇ f| rn−2ρ n−2 dρ ≤ (n−1)r 1max|∇ f|,9.4.3. Il caso dell’equazione omogenea nel cerchio. Se prendiamo f ≡ 0in (9.31), per gli argomenti svolti sopra, si hanno per lo sviluppo in seriedella soluzione (9.30) i coefficientiα 0 (r,r 1 ) = 12πα n (r,r 1 ) = rnr n 1β n (r,r 1 ) = rnr n 1∫ π−π∫ π1π1π−π∫ π−πu(r 1 cos θ,r 1 sin θ)dθ,u(r 1 cos θ,r 1 sin θ)cos(nθ)dθ,u(r 1 cos θ,r 1 sin θ)sin(nθ)dθ.□(9.33)Si noti che abbiamo ridefinito i coefficienti α n , β n come funzioni delle duevariabili r, r 1 . In particolare α 0 non dipendedi fatto dar. Definiamo ancheper brevità di notazioneα ∗ n(r 1 ) = α n (1,r 1 ), β ∗ n(r 1 ) = β n (1,r 1 ). (9.34)Tuttavia, gli argomenti svolti fin qui non sono rigorosi. Rendiamo tale ilrisultato nel prossimo Teorema:•