Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

18.4. UN CASO CONCRETO DI RICERCA DI SOLUZIONI DEBOLI 17318.4.3. Passaggio al limite. Per passare al limite si usano risultati dell’analisifunzionale, cioè la teoria di base degli spazi L 2 e di Sobolev (vedisotto per questi ultimi). Il vantaggio di questa teoria è quello di esseremolto potente e flessibile, ossia applicabile con facilità a problemi diversidelle e.d.p. e più in generale della modellistica matematica.Per esempio, si sa che da una successione {u n } che soddisfa (18.21) si puòestrarre una sottosuccessione (che noi continuiamo, con abuso di notazione,a denotare come la successione intera {u n }) che converge nel senso diL 2 (Q T ) a una funzione misurabile u tale che(∫∫ )1‖u‖ = u 2 2dxdt < ∞, ossia u ∈ L 2 (Q T ).Q TPer di più, anche le derivate u nx e u nt convergono debolmente a due funzioniw e z in L 2 (Q T ) (vedi Sottosezione A.3.1). Dunque la convergenzaha luogo nel senso che per n → ∞u n → u in L 2 (Q T ), ossia ‖u n −u‖ → 0;u nx → w, u nt → v debolmente in L 2 (Q T );u n → u quasi ovunque in Q T .(18.23)Nella Sottosezione 18.4.4 vedremo che si possono identificare w = u x ,v = u t ; quindi queste derivate di u esistono come funzioni L 2 . Per ilmomento compiamo senz’altro questa identificazione.Per dimostrare che u risolve il problema originario, scriviamo la formulazionedebole, o integrale, del problema approssimante (18.15)–(18.18),cioè∫∫Q T{u nt ϕ+a n (x)u nx ϕ x }dxdt = 0, ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) . (18.24)Per n → ∞ la definizione di convergenza debole implica che∫∫ ∫∫u nt ϕdxdt → u t ϕdxdt.Q T Q TL’analoga convergenza, che pure è valida,∫∫∫∫a n (x)u nx ϕ x dxdt → a(x)u x ϕ x dxdtQ T Q Trichiederebbe in effetti un argomento aggiuntivo perché anche il coefficientea n varia con n. Comunque, per n → ∞, la (18.24) dà∫∫Q T{u t ϕ+a(x)u x ϕ x }dxdt = 0, ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) . (18.25)Perciò la u è una soluzione debole; il comportamento per t → 0, ossia ildato iniziale, verrà discusso nella Sottosezione 18.4.4. •