Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

80 DANIELE ANDREUCCIprodotto S ×C:√2π sin(nx), 2sin(nx)cos(my),πn,m ≥ 1 (8.27)(e l’analogo sistema C ×S ottenuto invertendo x con y);prodotto C ×C:√ √2 2π cos(nx), π cos(my), 2cos(nx)cos(my),πn,m ≥ 1. (8.28)□Osservazione 8.14. Usando la notazione del Teorema 8.12, una volta chesi è dimostrata la completezza del sistema {ϕ n ψ m }, si può scriveref(x,y) =(f, ϕ n ψ m ) =∞∑m,n=1∫I×J(f, ϕ n ψ m )ϕ n (x)ψ m (y),f(ξ, η)ϕ n (ξ)ψ m (η)dξdη.(8.29)La serie doppia converge nel senso di L 2 (I × J), e la somma può esserecalcolata lungo qualunque successione (vedi Osservazione 7.21). Per contrasto,la(8.25) eraunaseriein cuiciascuno deiterminieraasuavolta unaserie.□Osservazione 8.15. È chiaro che il risultato del Teorema 8.12 può essereiterato un qualsiasi numero finito N di volte. Per esempio, per N = 3 siottiene che se {ϕ n } [risp. {ψ m }; {χ p }] è un sistema ortonormale completoin L 2 (I) [risp. L 2 (J); L 2 (K)], allora {ϕ n ψ m χ p } è un sistema ortonormalecompleto in L 2 (I × J ×K).□8.8. Serie di Fourier in forma complessaSia f ∈ L 2 ((−π, π)), e consideriamo per ogni k ≥ 1 la somma parzialedella sua serie di FourierPonendo dunqueS k (x) = a 0 += a 0 += a 0 +c 0 = a 0 ,k∑n=1k∑n=1k∑n=1a n cos(nx)+b n sin(nx)a ne inx +e −inx2a n −ib n2c m = a m −ib m2c m = c −m = a −m +ib −m2+b ne inx −e −inx2ie inx + a n +ib ne −inx .2, m > 0,, m < 0,