Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

14 DANIELE ANDREUCCIEsercizio 1.9. Sia u ∈ C 2 (Ω); si dimostri che per ogni x ∈ Ω vale1[ ∫1]limR→0 R 2 u(x)−σ N R N−1 u(y)dσ y = − ∆u(x)2N . (1.52)Soluzione∂B R (x)Definizione 1.10. Una funzione u ∈ C 2 (Ω) che soddisfi ∆u = 0 [rispettivamente∆u ≤ 0; ∆u ≥ 0] in Ω, si dice armonica [rispettivamentesuperarmonica; subarmonica] in Ω.□La terminologia della Definizione 1.10, in apparenza in contrasto con l’intuizione,trova spiegazione nel Corollario 1.7.Osservazione 1.11. Il laplaciano è l’unico operatore lineare del second’ordinea coefficienti costanti che risulta invariante per rotazioni (vedi Esercizio1.12). D’altra parte in condizioni di isotropia l’equazione che regolail fenomeno deve risultare appunto invariante per rotazioni. Questochiarisce la presenza del laplaciano nelle e.d.p. fondamentali introdottesopra.□Esercizio 1.12. Mostrare che i multipli scalari del laplaciano sono gli unicioperatori differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine cherimangono invarianti per rotazioni.In termini più espliciti, poniamoLu =con b ij = b ji ∈ R, e poniamo ancheN∑ b ij u xi x j,i,j=1v(x) = u(Ax),con A matrice reale unitaria N×N, cioè tale che A −1 = A t .Allora si deve dimostrare cheLu(x) = Lv(x), per ogni A come sopra, (1.53)se e solo se b ij = bδ ij per un b ∈ R. Qui δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i ̸= j.Soluzione□Concludiamo la Sezione dimostrando che nel Corollario 1.7 le medie disuperficie possono essere sostituite da medie di volume.Lemma 1.13. Una u ∈ C(Ω) soddisfa la (1.51) se e solo se per ogni x ∈ Ω eogni sfera chiusa B ρ (x) ⊂ Ω valeu(x) = 1 ∫ω N ρ N u(y)dy. (1.54)B ρ (x)Dimostrazione. A) Supponiamo che u ∈ C(Ω) soddisfi la (1.51). Fissiamox ∈ Ω. Assumendo, come è sempre possibile, x = 0, e passando acoordinate polari in R N , si ha∫B ρ (0)u(y)dy =∫ ρ0∫∂B r (0)udσdr =∫ ρ0σ N r N−1 u(0)dr = ω N ρ N u(0).□