Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

B.2. COORDINATE SFERICHE 207Calcoliamo (ricordando che le porzioni di frontiera ove r = costante sonoporzioni di superficie sferica, con elemento d’area r 2 sin θ) quando gliincrementi h i tendono a zero,I rh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯ϕ+h ϕ ∫¯ϕ¯θ+h ∫ θ¯θ[F r (¯r+h r , ϕ, θ)(¯r+h) 2 sin θ−F r (¯r, ϕ, θ)¯r 2 sin θ ] dϕdθ→ ∂ ∂r( )F r (r, ϕ, θ)r 2 sin θ (¯r, ¯ϕ, ¯θ).Con un argomento analogo (ricordando che le porzioni di frontiera oveϕ = costante sono porzioni di piano, con elemento d’area r)I ϕh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯r+h ∫ r¯r¯θ+h ∫ θ¯θ[F ϕ (r, ¯ϕ+h ϕ , θ)r−F ϕ (r, ¯ϕ, θ)r ] drdθ→ ∂ ( )F ϕ (r, ϕ, θ)r (¯r, ¯ϕ, ¯θ).∂ϕInfine (ricordando che le porzioni di frontiera ove θ = costante sono porzionidi superficie conica, con elemento d’area rsin θ)I θh r h ϕ h θ= 1h r h ϕ h θ¯r+h ∫ r¯r¯ϕ+h ϕ[F∫¯ϕθ (r, ϕ, ¯θ+h θ )rsin(¯θ+h θ )−F θ (r, ϕ, ¯θ)rsin ¯θ ] drdϕ→ ∂ ( )F θ (r, ϕ, θ)rsin θ (¯r, ¯ϕ, ¯θ).∂θD’altra parte, ilterminedisinistradi(B.12), sediviso per h r h ϕ h θ , halimite,quando ciascuno degli incrementi tende a zero,divF ¯r 2 sin ¯θ.Utilizzando tutte le uguaglianze sopra, si ottiene infine la rappresentazionecercata di divF, ossiadivF = 1 r 2 ∂∂r (Fr r 2 )+ 1rsin θ∂∂ϕ (Fϕ )+ 1rsin θ∂∂θ (Fθ sin θ).(B.13)•