Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

11.4. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELL’EQUAZIONE DEL CALORE 123ove a > 0 è una costante, per ora non identificata. La positività di a segue dal fatto cheR dovrà essere crescente. Osserviamo che le due quantità in parentesi quadre nell’equazioneper f si prestano ad essere trasformate in derivate esatte, possedendo l’omogeneitàappropriata. Moltiplicando cioè la e.d.o. per s N−1 si haa[Ns N−1 f(s)+s N f ′ (s)]+[s N−1 f ′′ (s)+(N−1)s N−2 f ′ (s)] = 0,ossia secondo la regola di LeibnizNe segue chea[s N f(s)] ′ +[s N−1 f ′ (s)] ′ = 0.as N f(s)+s N−1 f ′ (s) = 0,ove si è anche usata la condizione di simmetria f ′ (0) = 0 (si veda anche il Lemma B.1). Aquesto punto abbiamo due e.d.o. del primo ordine risolubili in modo immediato.A causa della condizione iniziale (11.35) si deve avere R(0) = 0. Una integrazioneelementare dà alloraR(t) = √ 2at, t ≥ 0. (11.38)Poida cuiR N e − a|x|2f ′ (s) = −asf(s),f(s) = f(0)e − as22 , s ∈ R. (11.39)La funzione f(|x|), secondo la teoria dei nuclei di approssimazione, deve avere integralepari ad 1 su R N , quindi∫ [∫ ] N [1 = f(0) 2 dx = f(0) e − as2 2π] N22 ds = f(0) .aQuesto determina f(0), cosicché[ a] N2f(s) = e − as22 , s ∈ R. (11.40)2πSostituendo (11.38) e (11.40) in (11.36) si ottiene l’espressione (11.31) della soluzione fondamentale.Si noti che è scomparsa ogni dipendenza dalla scelta della costante a.Si verifica a questo punto per ispezione diretta che la Γ soddisfa le (11.34)–(11.35). Inparticolare la seconda è verificata nel senso∫lim g(ξ)Γ(ξ,t)dξ = δ(g) = g(0), per ogni g ∈ C(R N ) limitata.t→0R N11.4. Proprietà qualitative di soluzioni dell’equazione del calore11.4.1. Propagazione con velocità infinita. Qui supponiamo sempre cheu 0 ≥ 0. Quindi la soluzione di (11.28), (11.29) risulta anch’essa non negativa.Consideriamo il caso in cui il dato iniziale u 0 è non negativo, ediverso da zero solo su un dominio limitato, per esempio B L (0). Allora lasoluzione corrispondente vale∫1u(x,t) = u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ, (x,t) ∈ Q ∞ . (11.41)2B L (0)È facile osservare che per ogni scelta di (x,t) ∈ Q ∞ , la u(x,t) è espressadall’integrale su B L (0) di una funzione strettamente positiva (per quanto,in generale, ‘piccola’). Perciò, per ogni fissato t > 0, u(x,t) risulta positivoper ogni x ∈ R N , nonostante che il dato iniziale fosse nullo fuori di B L (0).R•