Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

166 DANIELE ANDREUCCIquesto però non è vero per problemi di e.d.p. più generali, ove la distinzionetra soluzioni deboli e classiche è effettiva. Dunque è importantesviluppare tecniche per trattare le soluzioni deboli.Si potrebbe anche dimostrare che J 1 ha in effetti un minimo u ∈ K 1 (sottoipotesi opportune su u 0 e Ω nel cui dettaglio non entriamo). □18.1.1. Le formulazione debole è troppo forte? Quando si definisce unasoluzione debole, è necessario accertarsi che una soluzione classica (ammessoche esista) soddisfi tale definizione, ossia sia anche soluzione debole.Questogarantisce che non stiamo introducendonelproblema restrizioniindebite, estranee alla sua formulazione originale.Teorema 18.3. Una u ∈ C 2 (Ω)∩C 1 (Ω) che sia soluzione di (1.20)–(1.21) insenso classico, ne è anche soluzione debole.Dimostrazione. Vanno verificate le tre richieste della Definizione 18.1:a) regolarità: u ∈ C 1 (Ω) per ipotesi;b) equazione differenziale (in forma integrale), ossia la (18.1): se u ∈C 2 (Ω) basta integrare per parti∫ ∫0 = ϕ ∆udx = − ∇u·∇ ϕdx,Ωper ogni ϕ ∈ C 1 (Ω) con ϕ = 0 su ∂Ω. Se u ∈ C 1 (Ω), ma non valeu ∈ C 2 (Ω), la (18.1) segue ancora approssimando la ϕ con funzioni inC 1 (Ω) che si annullino su un intorno di ∂Ω. Omettiamo i dettagli.c) dato al bordo: u = u 0 su ∂Ω per ipotesi. □Osservazione 18.4. Si potrebbeobiettareche in effettila soluzione classicadefinitanelCapitolo 2 nonèperforzadiclasse C 2 (Ω)∩C 1 (Ω), ma solodiclasse C 2 (Ω)∩CΩ. In effetti, esistono soluzioni classiche che non appartengonoaC1 (Ω), e quindi non possonoesseresoluzioni deboli secondolaDefinizione 18.1. In genere questa viene ritenuta una questione attinentealla regolarità delle soluzioni che non tocca il significato del problema; inaltri termini si assume per la soluzione classica tutta la regolarità necessariaper dimostrare che è anche debole (come nel Teorema 18.3). Non èdetto però che sia sempre possibile trascurare questo aspetto. □18.1.2. La formulazione debole è troppo debole? La definizione di soluzionideboli quindi deve essere abbastanza generale da includere almenole soluzioni classiche; d’altra parte, non deve essere troppo generale. Peresempio, in linea di principio, potremmo omettere la richiesta c) relativaal dato al bordo dalla Definizione 18.1, e il Teorema 18.3 sarebbe ancoravalido. È chiaro però che le ‘soluzioni deboli’ in questa nuova accezionenon conserverebbero traccia della condizione al bordo; in particolare esisterebberoinfinite ‘soluzioni deboli’ ciascuna relativa a un diverso dato albordo.Per evitare rischi simili, in generesi ritiene necessario dimostrare un risultatodi unicità di soluzioni deboli, che garantisca che le richieste fatte sullaΩ•