Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

102 DANIELE ANDREUCCIUsando la (1.5) si ha dalla (10.13) (scritta per τ = 0)U(¯x,0) = 1 ∫ [1 ∂U4π |y− ¯x| ∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν∂Ω∫− 14π= 14πΩ∫[∂Ω∫+ 14πΩ1|y− ¯x| ∆U(y,0)dy1|y− ¯x|∂U∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν1|y− ¯x|1|y− ¯x|2 ∂( )c|y− ¯x| 2 |y− ¯x|U τ (y,0) dy.∂r)]dσ y)]dσ y(10.15)Passiamo oraacoordinatesferiche (r, ϕ, θ) nell’ultimo integrale,che diviene,ponendo per chiarezza ρ = c¯t,∫ ρ ∫02 ∂cr 2 ∂r (rU τ)r 2 drdσ = 2 ∫ρU τ dσc∂B 1 ∂B 1= 2 c∫∂B 11Sostituendo nella (10.15) si arriva subito alla (10.14).ρ U τρ 2 dσ = 2 c∫∂B ρ1ρ U τdσ.Teorema 10.10. (Formula di Kirchhoff) Se u risolve (10.9)–(10.11), alloravale per ogni (x,t) ∈ Q ∞ ,u(x,t) = 1 ∫ [ 14π c 2 t 2u 0(y)+ 1 ∂u 0ct ∂ν (y)+ 1 ]c 2 t u 1(y) dσ y . (10.16){|y−x|=ct}Dimostrazione. Intantoosserviamochenella(10.14)perovvimotivigeometrici∂(1)= − 1∂ν |y− ¯x| |y− ¯x| 2 = − 1(c¯t) 2 .Restanodacalcolare ivalori diU edellesuederivatepresentinella(10.14).Dalla definizione di U e dalle (10.2) si ha, sotto l’ipotesi r = |y− ¯x| = c¯t,U(y,0) = u(y,0) = u 0 (y),U τ (y,0) = u t (y,0) = u 1 (y),∂U y− ¯x(y,0) = ∇U(y,0)·∂ν ry− ¯x= ∇u(y,0)·=() y− ¯x∇u(y,0)−kU τ (y,0)∇r ·r−ku t (y,0) = ∂u 0∂ν (y)−ku 1(y).rSostituendo nella (10.14) si ha la (10.16), quando si torni alla notazione(¯x,¯t) = (x,t).□Teorema 10.11. Se u 0 ∈ C 4 (R 3 ), e u 1 ∈ C 3 (R 3 ), la u definita da (10.14) è diclasse C 2( R 3 ×[0, ∞) ) e soddisfa (10.9)–(10.11).La dimostrazione del Teorema 10.11 viene omessa.□