Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

8.4. SVILUPPI DI FUNZIONI REGOLARI 73La g ha uno sviluppo in serie nel sistema ortonormale prescelto (nellavariabile ξ), che dà luogo a uno sviluppo per f quando vi si sostituiscaξ = αx+β. Sia {ϕ n } un sistema ortonormale in L 2 ((c,d)). Alloraψ n (x) = √ αϕ n (αx+β)è un sistema ortonormale in L 2 ((a,b)).Più in particolare si ha quanto segue.Riconducendusi al caso del sistema di Fourier in (−π, π) si ottiene ilsistema ortonormale completo in (a,b):√1b−a , √2b−a cos( n(αx+β) ) ,Qui√2b−a sin( n(αx+β) ) , n ≥ 1.α = 2πb−a , β = −b+a b−a π.Il sistema di soli coseni in (0, π) dà luogo al sistema√ √1 2b−a , b−a cos( n(αx+β) ) , n ≥ 1,oveα = πb−a , β = − a π. (8.11)b−aNello stesso modo, il sistema di soli seni in (0, π) dà luogo a√2b−a sin( n(αx+β) ) , n ≥ 1,con α e β come in (8.11).Il sistema ˜C in (0, π/2) dà luogo al sistema√2b−a cos( (2n+1)(αx+β) ) , n ≥ 0,oveπα =2(b−a) , β = − aπ. (8.12)2(b−a)Nello stesso modo, il sistema ˜S in (0, π/2) dà luogo a√2b−a sin( (2n+1)(αx+β) ) , n ≥ 0,con α e β come in (8.12).8.4. Sviluppi di funzioni regolariLa completezza di un sistema ortonormale garantisce solo la convergenzain L 2 (I) dello sviluppo in serie corrispondente; dunque, a priori, neppurela convergenza q.o.. Tuttavia, se f ha regolarità aggiuntive, si può vedereche la convergenza della sua serie di Fourier migliora. In particolare valeTeorema 8.4. Sia f ∈ C 1( [−π, π] ) , f(−π) = f(π). La f quindi si puòconsiderare continua e periodica di periodo 2π in R. Allora la serie di Fourier dif converge uniformemente su R.