Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

66 DANIELE ANDREUCCIDato che per ogni k vale (per (7.15), (7.16))si ha0 ≤ (f −S k , f −S k ) = ‖f‖ 2 −k∑n=1(f, ϕ n ) 2 , (7.17)Lemma7.17. Laserie ∑(f, ϕ n ) 2 èconvergente,evaleladisuguaglianzadiBessel∞∑ (f, ϕ n ) 2 ≤ ‖f‖ 2 . (7.18)n=1Proposizione 7.18. Se una stessa funzione f ∈ L 2 (I) ha due sviluppi in serie∞∞f = ∑ α n ϕ n = ∑ β n ϕ n ,n=1 n=1allora α n = β n per ogni n ≥ 1.Dimostrazione. Segue dal Corollario 7.9:( ) (α k = ϕ k , α n ϕ n = ϕ k ,∞∑n=1∞∑n=1β n ϕ n)= β k .7.3.1. Convergenza di sistemi ortonormali. Sia {ϕ n } ∞ n=1un sistema ortonormale.Certo ϕ n non può convergere nel senso di L 2 (I) (vedi SottosezioneA.3.1), perché altrimenti la successione ϕ n sarebbe di Cauchy nellanorma ‖·‖, mentre‖ϕ n − ϕ m ‖ 2 = (ϕ n , ϕ n ) −2(ϕ n , ϕ m ) +(ϕ m , ϕ m ) = 2 ̸→ 0.Invece, un qualunque sistema ortonormale infinito converge debolmente a zero: infattiper ogni f ∈ L 2 (I),∫f(x)ϕ n (x)dx∣ ∣ = |(f, ϕ n)| → 0;Il’ultima relazione di limite è un’ovvia conseguenza della disuguaglianza di Bessel. •7.4. Sistemi ortonormali completiDefinizione 7.19. Un sistema ortonormale si dice completo se e solo se,per ogni f, valelim ‖f −S k‖ = 0. (7.19)k→∞La (7.19) si scrive in modo equivalente come∞f = ∑ (f, ϕ n )ϕ n . (7.20)n=1Talvolta si indica anche la dipendenza da x, fermo restando il fatto che laserie converge nel senso di L 2 (I), ossia nel senso indicato da (7.19), e nonin quello puntuale:f(x) =∞∑ (f, ϕ n )ϕ n (x). (7.21)n=1□□