Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

17.1. EQUAZIONI A COEFFICIENTI COSTANTI IN DUE VARIABILI 163In questo caso l’equazione (17.1) si dice parabolica. Supponiamo per orache B ̸= 0, cosicché anche A e C sono non nulli. Allora l’unica soluzionedi (17.5) è ω = −B/A. Consideriamo allora, per questa scelta di ω, ilcambiamento di coordinateξ = x, η = ωx+y. (17.10)Il coefficiente di v ηη si annulla, e quello di v ξη anche, perché uguaglia2(Aω+B) = 0.Dunque la parte principale si riduce a v ξξ (a meno di coefficienti diversida zero), che ne è la forma canonica per le equazioni paraboliche.Le rette η = costante si dicono caratteristiche dell’equazione parabolica: leequazioni paraboliche hanno una sola famiglia di caratteristiche, mentrele equazioni iperboliche ne hanno due.Se poi B = 0, allora uno tra A e C si annulla, per (17.9), e quindi la parteprincipale è già nella forma u xx (o u yy ).Esempio 17.2. L’equazione del caloreu t −u xx = 0,in cui A = −1, B = C = 0, soddisfa (17.9). Le sue caratteristiche sono lerette t = costante.L’equazione del calore è l’equazione modello delle equazioni paraboliche.□Infine, consideriamo il caso in cuiB 2 − AC < 0. (17.11)Questo è il caso delle equazioni ellittiche. La trasformazioneξ = Cx−By, η = λy, (17.12)con λ ̸= 0 da scegliere, annulla il coefficiente di v ξη (per qualunque sceltadi λ). Poicoefficiente di v ξξ = C(AC−B 2 ), coefficiente di v ηη = Cλ 2 ,sonouguali se λ = √ AC−B 2 , sceltaammissibile in vista di(17.11). Quindi,amenodicostantimoltiplicative,laparteprincipalesiriduceallaformacanonica v ξξ +v ηη = ∆v.Esempio 17.3. L’equazione di Laplaceu xx +u yy = 0,in cui A = C = 1 e B = 0, soddisfa (17.11), e serve da modello per leequazioni ellittiche.□