Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

A.2. FUNZIONI INTEGRABILI 195è misurabile su [0,1]. Infatti si sa che Q ∩ [0,1] ha misura nulla (vediEsempio A.2). Dunque la successioneϕ n (x) =(1−ndist ( [0,1],x )) + = ⎧⎪⎨⎪ ⎩1, 0 ≤ x ≤ 1,(1+nx) + , x < 0,( 1−n(x−1))+ , x > 1,èunasuccessionedifunzioni continue,nulle fuorididi[−1,2], e convergeq.o. su R a f χ [0,1] .□Troveremo l’integrale di funzioni misurabili in tre passi successivi.A.2.1. Funzionilimitate e nullefuoridi un limitato. Sia f : R N → R misurabilesecondoLebesgue e tale che esista un M > 0 con le proprietà|f(x)| ≤ M, x ∈ R N , f(x) = 0, |x| ≥ M. (A.3)Si noti che in questo caso non è restrittivo supporre che anche le ϕ n siano uniformementelimitate: assegnata una successione come in (A.2) basta infatti considerareψ n (x) = max ( − M−1,min(M+1, ϕ n (x)) ) .Allora ψ n soddisfa ancora (A.2), e |ψ n | ≤ M+1, per ogni n.Si ha allora∫ ∫f(x)dx = lim ϕ n (x)dx,n→∞R N {|x|≤M}(A.4)per una successione ϕ n di funzioni continue che soddisfino(A.2) e |ϕ n | ≤ M ′ , per ogni n eper qualche M ′ > 0. L’integrale a sinistra nella (A.4) è l’integrale di Lebesgue; gli integralia destra sono gli usuali integrali di Riemann di funzioni continue.Si noti che questo limite non dipende dalla particolare successione ϕ n scelta con questeproprietà; omettiamo la dimostrazione.•A.2.2. Funzioni non negative. Se f non è limitata, o non è nulla fuori di un limitato, nonè detto che il suo integrale si possa definire. Prima di trattare il caso generale occorrepremettere il caso di funzioni non negative, per le quali l’integrale è sempre definito.Sia f : R N → R misurabile e non negativa. Vale, posto B k = {|x| ≤ k},∫ ∫f(x)dx = lim χ Bk (x)min ( k, f(x) ) dx. (A.5)k→∞R N R NPer ciascun k fissato l’integrale a destra è definito nella Sottosezione A.2.1; la successionedi questi integrali è non decrescente in k, e dunque il limite esiste.L’integrale di funzioni misurabili non negative risulta perciò sempre definito; può essereun numero reale non negativo, o anche ∞.•A.2.3. Funzioni generali. Sia ora f : R N → R una qualunque funzione misurabile. Dobbiamoassumere che∫|f(x)|dx < ∞(A.6)R N(questo integrale è stato introdotto in (A.5); per questo abbiamo bisogno di trattare primail caso di funzioni non negative). Allora vale∫ ∫f(x)dx = lim χ Bk (x)max ( −k,min ( k, f(x) )) dx. (A.7)k→∞R N R NSi potrebbe dimostrare che in effetti il limite esiste ed è un numero reale.•