Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

204 DANIELE ANDREUCCIQuesta è la decomposizione del gradiente di f nella terna u i . Si deveassumere r > 0, che comunque è un’ipotesi necessaria perché la trasformazionedi coordinate sia regolare.•B.1.2. Divergenza in coordinate cilindriche. Sia F una funzione vettorialeregolare quanto basta, e poniamoF = F 1 e 1 +F 2 e 2 +F 3 e 3 = F r u 1 +F ϕ u 2 +F z u 3 .Ricordando la definizione degli u i segueAlloraF r = cos ϕF 1 +sin ϕF 2 ,F ϕ = −sin ϕF 1 +cos ϕF 2 ,F z = F 3 .divF = ∂F1∂x + ∂F2∂y + ∂F3∂z= cos ϕ ∂F1∂r − sin ϕ ∂F 1 ∂F2+sin ϕr ∂ϕ ∂r + cos ϕ ∂F 2r ∂ϕ + ∂F3∂z= ∂Fr∂r + 1 ∂F ϕr ∂ϕ + 1 r Fr + ∂Fz∂z = 1 ∂r ∂r (rFr )+ 1 ∂F ϕr ∂ϕ + ∂F3∂z . (B.3) •B.1.3. Laplacianoincoordinatecilindriche. Perdefinizionedilaplaciano,e per (B.2), (B.3),( ∂f∆ f = div(∇f) = div∂r u 1+ 1 ∂fr ∂ϕ u 2+ ∂f )∂z u 3= 1 (∂r ∂f )+ 1 )∂ 1 ∂f+r ∂r ∂r r ∂ϕ( ∂ ( ) ∂fr ∂ϕ ∂z ∂zTalvolta è utile il seguente= 1 r∂∂r(r ∂f∂rLemma B.1. Sia f ∈ C 1 (R 2 ) a simmetria radiale, ossiaAllora l’origine è un punto critico per f, ossiae dunque g ′ (0+) = 0.)+ 1 r 2 ∂ 2 f∂ϕ 2 + ∂2 f∂z 2 . (B.4)f(x,y) = g(r), (x,y) ∈ R 2 . (B.5)∇f(0,0) = 0,(B.6)Dimostrazione. Consideriamolarestrizionedi f all’asse x,h(x) = f(x,0).Allora, questa funzione di x è pari in x, poichéh(x) = f(x,0) = g(|x|) = f(−x,0) = h(−x), x ∈ R.Dunque si deve averef x (0,0) = h ′ (0) = 0.In modo simile si dimostra che f y (0,0) = 0.□