Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

58 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Possiamo limitarci al caso in cui z ∈ C 2,1 (Q T ); nel casogenerale si ragiona come nella dimostrazione del Teorema 6.5.Moltiplichiamo la (6.10) per z, e procediamo come nel Teorema 6.5. Siottiene∫12Ω∫∫z(x,t) 2 dx+DQ t|∇z(x, τ)| 2 dxdτ= 1 2∫Ω∫ tz(x,0) 2 dx+da cui, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz0∫ΩF(x, τ)z(x, τ)dxdτ,si haFz ≤ F22 + z22 ,∫∫z(x,t) 2 dx ≤∫ tz(x,0) 2 dx+∫F(x, τ) 2 dxdτΩΩ0Ω∫ t+∫z(x, τ) 2 dxdτ. (6.12)0ΩDefinendola (6.12) implica lay(t) =∫ t ∫0 Ωz(x, τ) 2 dxdτ,ovey ′ (t) ≤ K 0 +y(t), 0 < t < T,∫K 0 = z(x,0) 2 dx+Ω∫ T ∫0ΩF(x, τ) 2 dxdτ.Ragionando come nella dimostrazione del Teorema 6.1, si arriva aK 0 +y(t) ≤ K 0 e T 0 < t < T. (6.13)Sostituendola (6.13) nella (6.12) siottieneinfine la (6.11). Infattiil secondoestremo T nell’integrale di F 2 può in realtà, nella dimostrazione, esserefissato ad arbitrio, per esempio uguale a ¯t, ragionando per 0 < t < ¯t. Inquesto modo si perviene alla (6.11) scritta per t = ¯t, da cui appunto la tesiper l’arbitrarietà di ¯t.□•