Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

86 DANIELE ANDREUCCI9.2. Il caso di dati al contorno non nulliNel caso che i dati al bordo, di Dirichlet o di Neumann, non siano omogenei,cioè nulli, il metodo di Fourier in effetti non si può applicare. Peròè possibile ridursi al caso con dati nulli, sottraendo dall’incognita unafunzione nota, che abbia gli stessi dati al bordo. Questo come è ovviomodificherà la funzione sorgente nell’equazione, e i dati iniziali.Conviene procedere con un esempio.Cerchiamo la soluzione diu t −Du xx = 0, 0 < x < π,0 < t,−Du x (0,t) = 0, 0 < t,Du x (π,t) = e γt , 0 < t,u(x,0) = 0, 0 < x < π.Per ridursi a un caso con condizioni al contorno omogenee, cambiamo levariabili, introducendo la nuova incognitav(x,t) = u(x,t)− x22πD eγt ,che risolve il problemav t −Dv xx =(1− eγt γx2 ), 0 < x < π,0 < t,π 2D−Dv x (0,t) = 0, 0 < t,Dv x (π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = − x22πD , 0 < x < π.Cerchiamo la v come serie di coseni in (0, π), in vista delle condizioni diNeumann prescritte sul contorno laterale del dominio. Scriviamo allorav(x,t) = α 0 (t)+∞∑n=1α n (t)cos(nx),ove gli α n si troveranno imponendo che la serie risolva l’e.d.p. termine atermine. Aquestoscopointroduciamolosviluppodellafunzionesorgentee γt (1− γx2 )πf 0 (t) = eγtπ2D(1− cπ26D= f 0 (t)+∞∑n=1), f n (t) = eγtπf n (t)cos(nx),2(−1) n+1 γn 2 D, n ≥ 1.Si ottiene dunque, sostituendo le serie nell’equazione differenziale, scambiandoformalmenteleoperazionididerivazione conla serie,euguagliandoi due membri dell’equazione termine a termineDalla condizione iniziale per v si ottieneα ′ n+n 2 Dα n = f n , n ≥ 0. (9.14)α n (0) = γ n , (9.15)