Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

19.4. EQUAZIONI QUASILINEARI 185s = ¯s il valore del parametro corrispondente a questa intersezione, e siaτ = ¯τ il valore del parametro su Φ nello stesso punto. Si osservi che nelmetododellecaratteristicheperequazionisemilineari, ègarantitochetuttele caratteristiche al suolo che originano in un intorno opportuno della γincontrino γ. Nelcasopresente,invece, le caratteristiche‘vicine’ alla curvaγ 1 riempiono una regione tridimensionale, mentre noi stiamo cercando lasuperficie descritta dalle caratteristiche che si appoggiano su γ 1 . Per esserepiù precisi, vogliamo risolvere nelle due incognite ¯τ, ¯s, il sistema di treequazioniϕ 1 (¯τ; ¯s) = ¯x, ϕ 2 (¯τ; ¯s) = ȳ, ϕ 3 (¯τ; ¯s) = ¯z, (19.19)che non è in genere risolubile (nella (19.19) si è indicata la dipendenzadella caratteristica dal punto iniziale). La condizione di risolubilità vienemessa nella forma di una restrizione sul punto (¯x,ȳ, ¯z). Se si riesce adesplicitarla nella ¯z, tornando ai vecchi nomi di variabile si ha proprio laz = u(x,y),che è la soluzione cercata. È possibile però che la soluzione vada lasciatain forma implicita.Esempio 19.8. Consideriamo il problemau x +uu y = 0,u(s,0) = u 0 (s), s > 0.La (19.18) è soddisfatta se u 0 ̸= 0.A) La caratteristica per (¯x,ȳ, ¯z) si trova risolvendoSi ottieneϕ ′ 1 = 1, ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = ϕ 3 , ϕ 2 (0) = 0,ϕ ′ 3 = 0,ϕ 3 (0) = u 0 (s).ϕ 1 (τ) = τ+s, ϕ 2 (τ) = τu 0 (s), ϕ 3 (τ) = u 0 (s), τ ∈ R.B) Si deve quindi avere, se la caratteristica passa per (¯x,ȳ, ¯z),¯τ+ ¯s = ¯x, ȳ = ¯τ¯z, ¯z = u 0 (¯s),per valori opportuni (¯τ, ¯s). Pertanto, se ¯z ̸= 0,¯τ = ȳ ȳ(, ¯s = ¯x−¯z ¯z , ¯z = u 0 ¯x− ȳ ).¯zIn genere la soluzione si trova quindi nella forma implicita(u(x,y) = z = u 0 x− y ). (19.20)zSe per esempio u 0 (s) = s, s > 0, allora, esplicitando z nella (19.20), si haoveu(x,y) = z = x+√ x 2 −4y2Q =, (x,y) ∈ Q,{(x,y) | y < x24 ,x > 0 }.□