Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

Allorav(r, ϕ) = 12π= 12π= 12π= 12π9.5. AUTOFUNZIONI NEL CERCHIO 93∫ π−π∫ π−π∫ π−π∫ π−π{v 1 (θ){v 1 (θ)1+2∞∑n=11+2Re{v 1 (θ) 1+2ReRez n} dθ∞∑n=1z n} dθz}dθ1−zv 1 (θ){1+2 Rez−(Rez)2 −(Imz) 2 }(1−Rez) 2 +(Imz) 2 dθ.Ricordando la definizione di z si ottiene infinev(r, ϕ) = 12π∫ π−πr 2 1 −r2v 1 (θ)r1 2 +r2 −2r 1 rcos(ϕ−θ) dθ, r < r 1. (9.36)Questaformuladirappresentazionedellasoluzioneèdiscussain dettaglionella Sezione 11.5.∗•9.5. Autofunzioni nel cerchioUn caso significativo di dominio Ω non rettangolare è il cerchio B L (0) ⊂R 2 . In questo caso le autofunzioni del laplaciano possono essere espressein termini delle funzioni di Bessel.Consideriamo per definitezza il problema di Dirichlet∆ ϕ = −λϕ, in B L (0), (9.37)ϕ = 0, su ∂B L (0). (9.38)La simmetria radiale del problema suggerisce,volendo cercare soluzioni avariabili separate, di passare a coordinate polari. DenotiamoIl problema (9.37)–(9.38) divienev(r, ϕ) = ϕ(rcos ϕ,rsin ϕ).v rr + 1 r v r + 1 r 2v ϕϕ = −λv, 0 < r < L,−π < ϕ < π, (9.39)v(L, ϕ) = 0, − π < ϕ < π. (9.40)Andrebbero anche scritte le condizioni di periodicità in ϕ, e di regolaritàper r → 0, che per brevità omettiamo: si veda la Sezione 3.2 per queste eper altri commenti riguardo al cambiamento di coordinate da cartesiane apolari.Separiamo le variabili, sostituendov(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ)