Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

12.2. EQUAZIONE DELLE ONDE 133Alla (12.7) allora aggiungiamo le altre due condizioniz tt (x,t; τ)−c 2 z xx (x,t; τ) = 0, x ∈ R,τ < t < T, (12.8)z t (x, τ; τ) = f(x, τ), x ∈ R, (12.9)Come è noto, le (12.7), (12.8), (12.9) determinanola z come soluzione diunproblema di Cauchy con istante iniziale τ. Dalla formula di D’Alembert siottienez(x,t; τ) = 1 2cSostituendo nella (12.6) si ha infinew(x,t) = 1 2c∫ t0x+c(t−τ) ∫x−c(t−τ)x+c(t−τ) ∫x−c(t−τ)Ritroviamo il risultato in modo rigoroso:f(s, τ)ds.f(s, τ)dsdτ. (12.10)Teorema 12.2. Siano f, f x ∈ C ( R×[0,T] ) . Allora la w data dalla (12.10) è inC 2( R×[0,T] ) e risolve (12.3)–(12.5).Dimostrazione. I calcoli che hanno portato alla (12.10) sono in parte formali.Conviene quindi partire proprio dalla (12.10), che definisce senz’altrouna w ∈ C ( R×[0,T] ) , se f ∈ C ( R×[0,T] ) . Sotto la medesimaipotesiw x (x,t) = 1 2cw t (x,t) = 1 2∫ t0∫ tSe poi f x ∈ C ( R×[0,T] ) , valew xx (x,t) = 1 2c0∫ tw tt (x,t) = f(x,t)+ c 2w xt (x,t) = 1 20∫ t{f ( x+c(t−τ), τ ) − f ( x−c(t−τ), τ )} dτ,{f ( x+c(t−τ), τ ) + f ( x−c(t−τ), τ )} dτ.{f x(x+c(t−τ), τ) − fx(x−c(t−τ), τ) } dτ,∫ tLa tesi è così dimostrata.00{f x(x+c(t−τ), τ) − fx(x−c(t−τ), τ) } dτ,{f x(x+c(t−τ), τ) + fx(x−c(t−τ), τ) } dτ.Esercizio 12.3. Si ritrovi la formula (10.21) applicando il principio di Duhamel,e la (10.16).□□